- •1. Определённые интегралы
- •1.1. Понятие определённого интеграла
- •1.2. Некоторые свойства определённого интеграла
- •1.3. Простейшие определённые интегралы
- •1.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •1.5. А если подвести функцию под знак дифференциала?
- •1.6. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •1.7. Геометрический смысл определённого интеграла
- •1.8. Как вычислить площадь фигуры с помощью определённого интеграла?
- •1.9. Объём тела вращения
- •1.10. Интеграл от чётной функции по симметричному относительно 0 отрезку
- •1.11. А если подынтегральная функция нечётная?
- •2. Несобственные интегралы
- •2.1. Понятие несобственного интеграла
- •2.2. Несобственный интеграл первого рода
- •2.3. Несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом
- •2.4. Что делать, если оба предела интегрирования бесконечны?
- •2.5. Несобственные интегралы второго рода
- •2.6. Когда разрывы на обоих концах и / или внутри отрезка интегрирования
- •2.7. Интегралы-«ассорти»
- •3. Решения и ответы
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Решения и ответы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 2: Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
7dx |
|
7 5 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
7(ln x) |
5 |
7(ln 5 ln 1) 7(ln 5 0) 7 ln 5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4: Решение: подробный способ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
(2x2 |
3x 1)dx 2 |
|
x2dx 3 |
|
xdx |
|
dx |
(x3 ) |
1 |
|
(x2 ) |
1 |
(x) |
1 |
|
|||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
|||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 (13 ( 3)3 ) 32 (12 ( 3)2 ) (1 ( 3))
32 (1 27) 32 (1 9) (1 3)
32 28 32 ( 8) 4
563 12 4 563 16 563 483 83 2 32
Короткий способ:
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
27 |
|
|
7 |
|
3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(2x |
|
3x 1)dx |
|
x |
|
|
|
x |
|
x |
3 |
|
|
|
|
1 |
18 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
3 |
2 |
2 |
6 |
2 |
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6: Решение:
а) / 2 cos2 x 1 ( )
Проведем замену переменной: cos x t , следовательно:
d (cos x) dt |
|
|
sin xdx dt |
|
sin xdx dt |
Вычислим новые переделы интегрирования: t1 cos 2 0;
t2 cos 1
1 dt |
0 |
dt |
|
0 |
|
|
|
||||
( ) |
|
|
|
|
|
(arctg(t)) |
|
arctg0 arctg( 1) 0 arctg1 |
|
||
t2 1 |
t2 1 |
1 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание 1: После замены удобно применить свойство b |
f (x)dx a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
83 2 23
f (x)dx .
Примечание 2: Вспоминаем, что арктангенс – есть функция нечётная: f ( x) f (x)
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
45 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
e x dx |
|
|||
б) |
|
|
(*) |
|
|
x2 |
|||
1 |
|
|
|
|
Проведём замену: 1x t , следовательно:
1 |
|
|
|
|
|
|
||
d |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
dx dt |
|
dx |
dt |
|||
|
|
|
|
|
||||
x2 |
|
x2 |
Вычислим новые пределы интегрирования:
|
|
|
t |
|
|
1 |
|
|
1, |
|
|
|
t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(*) |
|
et dt |
|
et dt (et ) |
1 |
|
e1 |
e2 |
e |
|
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Пример 7. Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
dx 3 sin |
|
|
|
d |
|
|
3 cos |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
3 cos |
|
|
|
cos 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (1 e 2 x )dx 1 dx 1 e 2 x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(x) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
e |
2 x |
d ( 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
(e 2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
(1 0) |
(e 2 x ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
e |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
e 2 |
|
|
e 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e ln xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
в) Определённого интеграла |
|
|
|
|
|
|
не существует, т.к. подынтегральная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функция не определена на промежутке 1;0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Примечание: также не существует и определённых интегралов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ln |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
, |
|
ln |
x |
dx |
, т.к. подынтегральные функции не определены в точке x 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
46 |
|
Пример 9: Решение:
12
arccos 2xdx (*)
12
Интегрируем по частям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
u arccos 2x du d (arccos 2x) |
|
|
|
1 |
|
(2x) dx |
|
2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 (2x)2 |
1 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dv dx v x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
udv uv |
b |
|
|
vdu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
xdx |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 1 2 |
d (1 4x2 ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(*) (x arccos 2x) |
1 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
arccos1 |
|
arccos( 1) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1 4x |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
8 1 2 |
1 4x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
(0 0) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
|
|
2( 1 4x2 ) |
1 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
1 2 |
2 |
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример 11. Решение: найдём несколько опорных точек для построения гиперболы |
||||||||||||||
xy 4 |
y |
4 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
и выполним чертеж:
На отрезке 2;4 |
график функции y |
4 |
|
расположен над осью OX , поэтому: |
||||||
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
4dx |
|
|
4 |
|
||||
S |
|
4(ln x) |
4 |
4(ln 4 ln 2) 4ln |
4ln 2 |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
x |
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
2
Ответ: S 4ln 2 ед.2 2,77 ед.2
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
47 |
|
Пример 14. Решение: а) найдём опорные точки для построения параболы:
и выполним чертеж:
На отрезке 1;3 2x 1 x2 2 , по соответствующей формуле:
S 3 2x 1 (x2 2) dx 3 (2x 1 x2 2)dx 3 (3 2x x2 )dx
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x3 |
|
|
1 |
5 |
|
2 |
||
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
3x |
x |
|
|
|
|
1 |
9 9 9 3 1 |
|
9 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
Ответ: S 10 32 ед.2
б) Найдём опорные точки для построения графика y 2x (ветвь параболы):
и выполним чертёж:
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
48 |
|
На отрезке 0;2 : 2x 2x , по соответствующей формуле:
2
S
0
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
||||||
2x |
|
|
dx |
2x |
|
dx |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
2 |
2 |
1 |
1 |
2 |
|
2 x 2 dx |
xdx |
|||
2 |
||||
0 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(4 0) |
2 2 |
|
( |
|
0) 1 |
8 |
1 |
11 |
|
|||
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
(x2 ) |
|
2 |
|
|
( x3 ) |
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
8 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
0 |
3 |
|
|
0 |
4 |
3 |
3 |
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: S 113 ед.2 3,67 ед.2
Пример 16. Решение: найдем опорные точки для построения графика функции
y |
2 |
|
|
: |
|
|
|||
|
|
|
||
1 x |
и выполним чертёж:
Площадь фигуры найдём как сумму площадей:
1) На отрезке 0;1 : |
2 |
|
|
|
|
1 x , по соответствующей формуле: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
dx |
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||
S1 |
|
|
|
|
|
|
(1 x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 x dx 2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
xdx (*) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
1 |
x |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
x |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
В первом интеграле проведём замену: x t2 dx 2tdt . Так как t x , то новые пределы интегрирования:
t1 0 0, t2 1 1
|
1 |
2tdt |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
(1 t 1)dt |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
(*) 2 |
|
(x) |
10 |
(x2 ) |
10 |
4 |
|
(1 0) |
(12 |
02 ) |
|
|
|
|||||||||||||||
1 t |
2 |
|
|
1 t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 1 |
|
|
|
|
dt 1 |
|
|
|
|
4(t ln(1 t)) |
0 |
|
|
|
4(1 ln 2 (0 0)) |
|
4(1 ln 2) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
1 |
t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
49 |
|
2) На отрезке 1; 4 : |
2 |
|
|
|
0 , следовательно: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
x |
||||||||||||||||||
|
4 |
|
2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S2 |
|
|
|
|
dx (*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используем ту же замену x t2 |
dx 2tdt и найдём новые пределы |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
интегрирования: t1 1 1, |
t2 |
|
|
|
4 2 |
|||||||||||||||
|
2 |
|
2 2tdt |
|
|
|||||||||||||||
(*) |
|
dt 4(t ln(1 t)) |
2 |
4(2 ln 3 (1 ln 2)) 4(1 ln 3 ln 2) |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
1 t |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, искомая площадь:
S S1 S2 4(1 ln 2) 12 4(1 ln 3 ln 2)4(1 ln 2 1 ln 3 ln 2) 12 4(2 ln 3) 12
Ответ: S 4(2 ln 3) 1 ед.2 3,11 ед.2
2
Пример 18. Решение: выполним чертеж:
Вычислим объем тела вращения:
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
3 |
||||
V |
|
f (x)dx |
|
(2x 2) dx 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||
|
|
|
(x 2x 1)dx 4 |
3 |
x x |
|
||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
8 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|||
4 9 |
9 |
3 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
4 3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
Ответ: V |
|
32 |
|
|
ед.3 |
33,51 ед.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
50 |
|
Пример 20. Решение: выполним чертеж:
Объём тела вращения вычислим как сумму объёмов с помощью формулы
V b f 2 (x)dx , при этом каждую часть вычислим как разность объёмов:
a
1) На отрезке 1;0 : 1 x , поэтому:
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(x3 ) |
|
|
|||||
V |
|
12 dx |
|
( x)2 dx |
|
dx |
|
|
x2dx (x) |
0 |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(0 |
( 1)) |
|
(0 |
3 |
( 1) |
3 |
) (0 |
1) |
|
(0 1) |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) На отрезке 0;1 : |
1 x3 , поэтому: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V |
|
1 dx |
|
(x |
|
) |
|
dx |
|
dx |
|
x |
dx |
(x) |
|
|
(x |
|
) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
1 |
|
|
7 |
|
1 |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
7 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(1 0) (1 0) |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, объём искомого тела:
V V V |
2 |
|
6 |
|
14 |
|
18 |
|
32 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
3 |
|
7 |
21 |
21 |
21 |
|||||
|
|
|
||||||||||
Ответ: V |
|
32 |
ед.3 |
4,79 ед.3 |
|
|
||||||
21 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 22. Решение: так как подынтегральная функция чётная, а отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, то:
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x5 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
2 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
(2x |
|
x 3)dx 2 |
|
(2x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
3)dx 2 |
5 |
|
3 |
3x |
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
|
1 |
3 (0 0 0) |
|
2 |
|
6 |
|
|
5 |
|
45 |
2 |
46 |
|
92 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
15 |
|
15 |
|
15 |
|
|
15 |
15 |
|
|
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
51 |
|
Пример 24. Решение: выполним чертёж:
Поскольку круг симметричен относительно оси OX , то достаточно вычислить площадь его верхней половины, которая в свою очередь симметрична относительно оси OY , таким образом:
S 2 2 4 x2 dx 42 4 x2 dx (*)
2 |
0 |
|
Проведём замену: |
x 2sin t |
dx (2sin t) dt 2 cos tdt |
Выясним, во что превратится корень:
4 x2 4 (2sin t)2 4 4sin 2 t 4(1 sin 2 t) 2cos2 t 2cost
Если x 2sin t , |
то sin t |
x |
|
|
t arcsin |
|
x |
, откуда вычислим новые пределы |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
интегрирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t arcsin |
0 |
0, |
t |
|
arcsin |
2 |
arcsin 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(*) 4 2 |
2cos t 2cos tdt 16 2 cos2 tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16 |
|
(1 cos 2t)dt 8 t |
|
|
|
sin 2t |
02 |
8 |
|
|
|
0 (0 0) |
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
Ответ: S 4 ед.2
Примечание: неопределённый интеграл вида r2 x2 dx обычно решают другим способом, который можно найти в статье Сложные интегралы (ссылка на сайт).
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
52 |
|
Пример 29. Решение:
а) Подынтегральная функция непрерывна на 1; :
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
d (x 2) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 4x 5 |
(x2 |
4x 4) 1 |
(x 2)2 |
1 |
|
||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(arctg(x 2)) |
b |
|
lim arctg(b 2) 2 |
arctg1 |
|
|||||||||
b |
|
|
|
1 |
b |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. несобственный интеграл сходится.
– конечное число,
4 4
Примечание 1: при затруднениях с пределом удобно ориентироваться по графику арктангенса, значение же arctg 1 можно найти по тригонометрической таблице (см. соответствующие Приложения)
Примечание 2: по условию, требуется исследовать ряд на сходимость, и поэтому здесь желательно письменно констатировать факт сходимости.
б) Подынтегральная функция непрерывна на 0; , таким образом:
|
xdx |
|
|
d (x |
2 |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
b2 1 |
1) 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x2 1 |
b lim ( |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
2 x |
2 |
1 |
b |
b |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Несобственный интеграл расходится.
Пример 31. Решение: сначала найдём неопределенный интеграл:
xex dx (*)
u x du dx dv exdx v ex
udv uv vdu
(*) xex ex dx xex ex (x 1)ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Контроль: ((x 1)ex ) (x 1) ex (x 1)(ex ) ex (x 1)ex (1 x 1)ex |
xex |
||||||||||||||||||
Вычислим несобственный интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a 1) |
0 |
|
|
|
|||||
|
xex dx lim |
((x 1)ex ) |
0 |
lim ((0 1)e0 |
(a 1)ea ) lim 1 |
|
|
|
|
1 0 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a |
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
e |
a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Примечание: |
|
(a 1) |
0 , так как e a |
более высокого порядка роста, |
чем (a 1) . |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
e a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кроме того, неопределённость |
можно устранить по правилу Лопиталя, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
продифференцировав числитель и знаменатель по «а»: lim |
((a 1)) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
||||||||
(e a ) |
e a |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
53 |
|
Пример 34. Решение: подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой.
Способ первый:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
xe x 2 dx |
|
e x 2 d (x2 ) |
lim (e x 2 |
) |
ba |
|
|
|
lim (e b 2 |
0 |
e a 2 |
0 ) |
(0 0) 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 b |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 b |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Способ второй: представим интеграл в виде суммы двух интегралов: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xe |
|
dx |
|
xe |
|
|
|
dx |
|
xe |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим первый интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
x 2 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
xe |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
d ( x |
|
) |
|
|
|
|
lim (e |
|
|
|
) |
a |
|
|
|
|
|
lim (e |
|
e |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 a |
|
|
|
ea |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим второй интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
xe |
|
dx |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
d ( x |
|
) |
|
|
lim (e |
|
|
|
) |
0 |
|
lim (e |
|
0 |
1) |
|
(0 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 b |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xe x 2 dx |
|
|
|
|
0 |
– интеграл сходится и равен нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: xe |
|
|
|
dx 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание 1: В частности, равно нулю и главное значение интеграла. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
Примечание 2: Будет серьезной оплошностью сразу записать, что |
xe |
|
dx 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пользуясь нечетностью подынтегральной функции и симметричностью промежутка интегрирования. Стандартный алгоритм обязателен!!!
Пример 36. Решение:
а) Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке a 1:
0 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1) |
2 d (x 1) |
2 lim |
(x 1) |
2 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
(x 1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x 1 0 |
|
x 1 |
x |
|
|
x 1 0 |
0 1 |
|
|
|
x 1 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пояснение: чтобы разобраться с пределом, подставляем под корень 1 0 :
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
(единица, делённая на бесконечно малое |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
1 |
0 1 |
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
положительное значение равна «плюс» бесконечности)
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
54 |
|
б) Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке a 0 :
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
dx |
|
|
|
e |
ln 4 |
xd(ln x) |
1 |
|
lim (ln 3 x) |
|
e 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x ln 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
( 1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 0 |
|
3 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
e |
|
|
|
ln |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
( 1) |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||
Пояснение: разбираемся, куда стремится дробь |
|
|
1 |
|
|
. Если x 0 0 , то |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln 3 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln( 0 0) |
|
(см. график логарифмической функции!), тогда: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( )3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(бесконечно малое отрицательное значение) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 38. Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
а) Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке b 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
2xdx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
d (x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 arcsin 0) 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(arcsin x2 ) |
x lim ((arcsin x2 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 (x |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Примечание: чтобы разобраться в пределе, проще всего посмотреть на график |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
арксинуса (см. Приложение Графики основных функций и их построение). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке b 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
xd(ln x) |
|
lim (ln |
2 x) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2) x 1 0 |
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
x 1 0 |
|
|
2 |
x |
0,5 |
|
|
2 |
|
x 1 0 |
|
2 |
x) |
0 |
|
|
|
|
|
ln |
2 |
0,5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ln |
2 |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Несобственный интеграл расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Разбираемся, почему |
|
|
|
|
1 |
|
. Если x |
1 0 , то ln(1 0) 0 |
|
(см. график |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln 2 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
логарифма), и тогда |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( 0)2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будьте ОЧЕНЬ внимательны в знаках!
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
55 |
|
Пример 40. Решение: подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в
точках a |
, |
b |
. Представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов: |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
tgxdx |
tgxdx |
|
tgxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислим первый интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 tgxdx |
0 |
sin xdx |
0 |
|
d (cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
lim |
(ln |
|
cos x |
|
) |
0x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
cos x |
|
x |
0 |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
(ln 1 ln |
(cos x) 0 |
|
) (0 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим второй интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos x) 0 |
|
|
|||||||||||||||
|
tgxdx lim (ln |
|
cos x |
|
) |
b |
lim |
(ln |
|
ln 1) ( 0) |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
Таким образом: tgxdx – значение не определено.
2
Вывод: значение данного несобственного интеграла не определено.
Примечание 1: Грамотным будет именно такой ответ, т.к. и здесь существует понятие сходимости по Коши, которое я оставлю за рамками настоящего курса.
Примечание 2: Если рассматривать «половинки» интеграла по отдельности, то каждая из них расходится.
Пример 42. Решение: подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в точках x 1, однако на отрезок интегрирования попадает лишь значение x 1. Представим интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов второго рода:
3 |
|
|
dx |
1 |
dx |
3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x2 1 |
x2 1 |
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим первый интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
x 1 |
|
x |
|
|
|
|
ln |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
lim ln |
|
|
|
lim |
|
|
|
ln |
1 |
|
|
0 ln( 0) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
1 |
x 1 0 |
|
|
x 1 |
|
0 |
|
x 1 0 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Вычислим второй интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
dx |
lim ln |
|
|
x 1 |
|
|
|
lim |
|
|
ln |
|
2 |
|
ln |
|
x 1 |
|
|
ln |
1 |
ln |
|
0 |
|
ln |
1 |
ln( 0) |
( ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
2 |
1 |
x 1 0 |
|
|
x |
1 |
|
|
x |
|
x 1 0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, значение |
|
не определено. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание: см. Примечания к предыдущему примеру.
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
56 |
|