Лекции

На самом деле это уравнение линий тока совпадает с уравнением траектории. Их легко привести к одинаковой форме, если, например, положить в уравнении траектории

Совпадение объясняется тем, что течение в данной задаче стационарное.

Задача 2. Найти линии тока и траектории движения частиц жидкости, если движение определяется уравнениями

Решение. Согласно теории, траектории движения частиц определяются из решения системы

В этом случае уравнения системы нельзя решать по отдельности. Продифференцируем первое уравнение системы еще раз по времени. Тогда

если воспользоваться выражением в правой части второго уравнения. Таким образом, для получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с

постоянными коэффициентами

Решение такого уравнения, как известно, состоит из суммы общего и частного решений. Общее решение находится с помощью определения корней характеристического уравнения.

Частное решение легко определить методом неопределенных коэффициентов, если

положить	A=const. Подстановка в неоднородное уравнение дает			и
таким образом
Уравнение для	находится из первоначальной системы с			помощью

дифференцирования полученного уравнения для

Итак, окончательно, уравнение траектории имеет вид

Для определения линий тока подставим координаты скорости в уравнение линий тока, но при этом положим , т.к. линии тока можно вычислить только в конкретный момент времени.

И таким образом линия тока в момент времени			представляет собой окружность с
уравнением

5. Вихревое движение.

Рассмотрим движение, при котором происходит вращение частиц жидкости. Как известно из теоретической механики, скорость при вращении с угловой скоростью определяется по формуле Эйлера

Если координаты вектора угловой скорости

, то

и, соответственно,

Можно разрешить эти формулы относительно угловой скорости и записать

В некоторых частях жидкости при движении образуются локальные области с вращательным движением. Это вихри. Примеры: смерчи, тайфуны, а также завихрения позади тела, движущегося в жидкости. Мерой интенсивности таких завихрений служит так называемый вектор вихря скорости.

По определению ротора легко вычислить, что

Таким образом, вихрь скорости по направлению совпадает с угловой скоростью

вращения, а по модулю в два раза больше. При безвихревом движении .

Векторы угловых скоростей бесконечно малых объемов создают поле угловых скоростей, а если умножить элементы на ½, получится поле вихрей. Это поле может быть стационарным и нестационарным. Линия, в каждой точке которой вектор угловой скорости направлен по касательной к ней, есть вихревая линия, а часть жидкости, ограниченная вихревыми линиями, проведенными через все точки замкнутого контура, находящегося в жидкости – вихревая трубка или вихревая нить. Уравнение вихревой линии аналогично уравнению линии тока и записывается в виде

Считается, что в природе существует два режима течения жидкости.

1.Ламинарное – слоистое, при котором весь поток состоит из бесконечно большого числа тонких элементарных струй. При таком характере движения частицы жидкости не переходят из одной струйки в другую и движение осуществляется без пульсации скорости.

2.Турбулентное – беспорядочное движение, когда частицы в потоке движутся по самым разным траекториям без видимой закономерности. В этом случае

движение происходит с пульсацией скорости и, следовательно, с перемешиванием.

Ламинарное движение может быть стационарным и нестационарным, а турбулентное – только нестационарным.

Примеры решения задач.

Задача 1. Определить поле вихрей скорости, а также уравнение вихревых линий, если поле скоростей имеет вид

Решение. По определению вихря скорости

В этом случае модуль вихря скорости равен

Поскольку задача плоская, вихревые линии определяются из уравнения

Подстановка полученных выше координат вектора вихря даст нам следующее дифференциальное уравнение

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим

Поскольку x тоже может быть произвольным, полученные нами уравнения – это уравнения окружностей произвольного радиуса, перпендикулярных к оси Ox.

Задача 2. Жидкость вращается вокруг оси Oz как твердое тело. Определить поле вихрей скорости.

Решение. Как известно, определяется по формуле Эйлера: угловая скорость имеет координаты

, а поле скоростей при вращении твердого тела

. Т.к. вращение происходит вокруг оси Oz, , и можно вычислить линейную скорость

Далее по определению вычисляем поле вихрей скорости.

Таким образом, интенсивность вихря равна .

Задача 3. Определить поле вихрей при сдвиге, считая, что

Решение. Вычислим поле вихрей скорости

Следовательно, интенсивность вихря равна с. Что же касается вихревых линий, то подстановка координат в уравнение дает нам выражение

Преобразование этого двойного равенства в систему из двух равенств позволит нам записать следующее

И, значит, уравнение искомых линий имеет вид

Это уравнение прямых, параллельных оси Oz.

6.Скорость объемного расширения жидкости.

Впроцессе движения жидкость может деформироваться, а значит, может происходить изменение расстояния между жидкими частицами. Изменение расстояний между частицами, расположенными на линиях, параллельных координатным осям Ox, Oy,

Oz, как известно, выражается через относительные удлинения , , . Пусть изначально выделенный малый объем в жидкости – это параллелепипед со

сторонами dx, dy, dz и объемом	. Допустим, в процессе движения он превратился в
параллелепипед со сторонами	,	и с объемом	. Скорость изменения объема
в этом случае можно выразить формулой

Выразим новые длины ребер параллелепипеда через старые длины ребер и вычислим новый объем, чтобы можно было оценить его изменение. Очевидно, что

Если раскрыть в объеме все скобки и отбросить за малостью все слагаемые, в которых присутствует произведение более чем четырех дифференциалов, то останется следующая сумма

Таким образом

Величина

называется скоростью объемного расширения жидкости. Поле скоростей называется

соленоидальным, если скорость объемного расширения равна нулю. Поле вихрей всегда является соленоидальным, поскольку

Примеры решения задач.

Задача 1. Определить скорость объемного расширения жидкости, если поле скоростей имеет вид

Решение. По определению дивергенции

Задача 2. Определить скорость объемного расширения жидкости, если поле скоростей имеет вид

Решение. Аналогично задаче 1

7. Тензор скоростей деформации. Тензор напряжений.

Движение жидкости отличается от движения твердых тел тем, что в процессе движения может значительно меняться расстояние между частицами.

Рассмотрим точки , М с малым расстоянием между ними. Раскладывая проекции скорости частицы М, движущейся в окрестности частицы , в ряд с точностью до малых первого порядка, получим

С другой стороны, как известно из теоретической механики, движение частиц складывается из поступательного, вращательного (как у твердого тела) и деформационного. Для твердого тела в теоретической механике записывают формулу

Следовательно, для проекций скорости при движении жидкости как твердого тела справедливы следующие соотношения

Или, если вспомнить формулы для координат угловой скорости из параграфа 6 (вихревое движение)

Логически рассуждая, скорость деформационного движения – это разность между полной скоростью движения жидкости и скоростью движения жидкости как абсолютно твердого тела. Таким образом, вычитая одни выражения из других, сокращая и приводя подобные слагаемые, получим

Совокупность коэффициентов при , , , входящих в формулы для координат скорости деформации, называется тензором скоростей деформации и обозначается

где

Физический смысл этих компонент. Диагональные элементы , , характеризуют деформации первого рода и представляют собой скорости относительных удлинений бесконечно малых отрезков, расположенных параллельно координатным осям Ox, Oy, Oz. Недиагональные компоненты характеризуют деформации второго рода – скос прямого угла между жидкими линиями и равны половинам скоростей сдвигов.

Коэффициент ½ не является случайным. Из рисунка видно, что при скашивании прямого угла меняется длина диагонали AC. Т.к. площадь остается той же, то удлинение диагонали

равно половине уменьшения	.
Тензор напряжений. Рассмотрим тетраэдр OABC. Пусть		– нормаль грани ABC,
грань ABC имеет площадь , а грани OBC, OAB, OAC – площади		, ,	(индексы
означают координатную ось, перпендикулярную к грани).

Запишем уравнение движения центра инерции этого жидкого объема. Считаем, что его

масса dm, – плотность распределения объемных сил жидкости,			, , , – векторы
напряжений, приложенных к сторонам площадок	,	,	.

(знак «минус» ставится потому, что при данном направлении осей векторы напряжений отрицательны). Пусть масса , т.к. она пропорциональна объему, а объем считается малым. Если в уравнении движения отбросить все слагаемые, содержащие этот малый множитель, то получим

Но из рисунка очевидно, что площадки		,	можно выразить как проекции
площадки	на соответствующие координатные плоскости

Таким образом

Если же это векторное равенство спроектировать на оси координат, то получим следующие выражения

Совокупность этих девяти коэффициентов при координатах вектора нормали образуют тензор напряжений

			.
Величины	,	,	называются нормальными напряжениями, а остальные –

касательными напряжениями. Как и тензор скоростей деформации, тензор напряжений тоже является симметричным.

Если считать все касательные напряжения равными нулю, то жидкость называется идеальной. В этом случае полагают

где – давление. Если же касательные напряжения не равны нулю, то жидкость называется вязкой. Иными словами, жидкость называется вязкой, если поверхностные силы, приложенные к элементам поверхности любого объема жидкости, кроме нормальных, имеют еще и касательные напряжения.

8. Потенциал скорости. Функция тока.

Рассмотрим безвихревое движение, при котором, как известно,									. Кроме
того, у оператора ротора есть свойство, упоминавшееся ранее: что									для
любой функции	. Сопоставляя эти два равенства, логично предположить, что при
любом безвихревом движении существует функция							, такая, что		, т.е.
Функция	называется потенциалом скорости.						Легко доказать,		что при

существовании потенциала линейный интеграл от скорости не зависит от пути интегрирования.

где А, В – начало и конец пути интегрирования. Из существования потенциала следует также, что циркуляция скорости по замкнутому контуру равна нулю и то, что линии тока при безвихревом течении не могут быть замкнуты, т.к. при циркуляции скорости по линии тока интеграл не обращается в ноль. Действительно, из уравнения линий тока

следует, что

А значит, линейный интеграл

Если , то скорость является потенциальным вектором. Легко показать, что ускорение в этом случае тоже будет потенциальным вектором, правда, с другим потенциалом. В самом деле, вспоминая формулы для вычисления координат ускорения (см. параграф 3)

Аналогично,

Таким образом,				.

Движение жидкости называется плоским, если все частицы движутся параллельно некоторой плоскости (например, плоскости Oxy). В этом случае движение будет двумерным и уравнение линии тока имеет вид

Можно ввести некоторую функцию ψ

Тогда на линии тока для функции ψ

будет справедливо равенство

Эта функция называется функцией тока, т.к. она, очевидно, сохраняет постоянное значение на линии тока. Легко также определить выражение для вихря скорости через функцию тока

Отсюда следует, что в случае плоского безвихревого потока функция тока должна удовлетворять уравнению Лапласа

Свойства функции тока.

1.Функция тока является постоянной величиной вдоль линии тока

2.Величина градиента функции тока пропорциональна величине скорости. Этот факт легко установить, используя определение функции тока.

3.Линии, на которых функция тока сохраняет постоянное значение, перпендикулярны линиям, на которых сохраняет постоянное значение потенциал скорости (другими словами, изолинии функции тока и изолинии потенциалов взаимно ортогональны). Это свойство тоже является следствием определений. Как известно, при плоском движении с одной стороны

ас другой стороны

Следовательно,

т.е.

а это как раз и означает, что линии с постоянными значениями потенциала и функции тока перпендикулярны друг другу.

Примеры функции тока.
1. Равномерный поток. Пусть	. Тогда, очевидно,

И поток можно изобразить в виде прямых, параллельных оси Oy (течение происходит сверху вниз). Это движение называют еще однородным поступательным потоком.

2. Источник (или сток). Пусть теперь , где – полярный угол. Такое уравнение функции тока означает, что линии тока – это лучи, отходящие в разные стороны от начала координат. Если m>0, то в начале координат находится источник и линии направлены от него, если же m<0, то в начале координат сток и линии направлены к нему.

Источник может быть непосредственно соединен со стоком, но тогда движение жидкости от источника к стоку возможно лишь при наличии в этих точках (полюсах) разности давлений. Линии тока при таком движении изображены на расположенном ниже рисунке.

Если источник и сток совмещаются в одной точке, то эта точка называется диполем. Диполь с одной стороны всасывает жидкость и одновременно в том же количестве выбрасывает ее в противоположную сторону. Линиями тока в этом случае становятся окружности со смещенным центром.

При совместном использовании потенциала скорости и функции тока их можно объединить в одну комплексную функцию, которую называют комплексным потенциалом.

Производную от комплексного потенциала можно вычислять двумя способами, но в каждом случае получается одно и то же выражение.

Таким образом,

На этом основании производную от комплексного потенциала называют комплексной скоростью.

Примеры решения задач.
Задача 1. Пусть функция тока	. Определить характер

движения жидкости, найти составляющие скорости и показать линии тока.

Решение. Используя определение функции тока, легко найти составляющие скорости

Это явно плоское безвихревое движение, а значит, функция тока должна удовлетворять уравнению Лапласа:

Линии тока – это кривые, на которых функция тока сохраняет постоянное значение. Поскольку , получаем следующее уравнение