Лекции

Аналогично объясняются муссоны (неравномерное нагревание материка и океана зимой и летом) и бризов (неравномерное нагревание суши и воды днем и ночью).

2. Первоначальное образование циклона вследствие местного нагревания солнцем, распространенного на большую площадь.

Изобарические поверхности приблизительно горизонтальны, а изостерические в нагретых местах опускаются ближе к поверхности земли, в ненагретых поднимаются выше (т.к. в ненагретых местах у поверхности земли плотность воздуха большая, следовательно, удельный объем мал и делается большим только на некоторой высоте). Образуется восходящее движение воздуха в центре области, нисходящее движение на границах ее, причем внизу воздух притекает к центру области, наверху оттекает от центра.

Обратная картина получится, если вначале имела место местное охлаждение воздуха на большой площади.

3. Морские течения. Здесь роль неравномерного нагревания играет неравномерная соленость воды. Более соленая вода оказывается при одинаковом давлении и температуре более плотной. Поэтому, если соленость убывает в сторону положительного направления оси Ox, то изостерические поверхности снова будут наклонены к горизонту, причем вектор будет иметь составляющую в сторону убывания солености.

Получается, что возникнет два течения: течение понизу более соленой воды и течение поверху менее соленой воды. Так что в этом случае тоже можем говорить о вихревом движении идеальной жидкости.

15. Вязкая жидкость. Уравнения Навье – Стокса.

До сих пор мы рассматривали только идеальную жидкость, т.е. считали, что поверхностные силы любого объема жидкости являются нормальным давлением. Но реальные жидкости все являются в той или иной степени вязкими.

Например, при течении жидкости между подвижной и неподвижной пластинами слой жидкости, примыкающей к верхней пластине, будет двигаться с той же скоростью, что и сама пластина. Любой промежуточный слой будет двигаться со скоростью v, пропорциональной расстоянию y от неподвижной пластины.

При этом и к верхней, и к нижней пластине нужно приложить силу: к верхней силу, лежащую в ее плоскости и направленную в сторону . К нижней же пластине нужно приложить силу, тоже лежащую в ее плоскости, но имеющую противоположное направление. Величина этих сил, отнесенная к единице площади

Коэффициент имеет для каждой жидкости при заданной температуре свое значение и называется коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости. Происхождение сил вязкости кроется в молекулярной природе строения материи. Отдельные молекулы переносят из одной части пространства в другую определенное количество движения, материи и энергии. Гидродинамические величины – это средний результат суммарного учета молекул.

Когда мы записываем уравнение движения жидкости, мы учитываем силы, которые на нее действуют. Это внешние силы (сила тяжести и сила инерции) и внутренние (давление и внутреннее трение). Учесть все эти силы невозможно, а значит нельзя полностью проинтегрировать уравнения движения вязкой жидкости. Необходимо что-то исключить. Силу тяжести исключить нельзя, давление тоже, т.к. с его помощью осуществляется равновесие всех остальных сил. Если отбросить внутреннее трение, то мы получим уравнение движения идеальной жидкости. Исследования показывают, что приближенно решить задачи для вязкой жидкости можно, если пренебречь силами инерции.

Сильно вязкая жидкость – такая жидкость, в которой можно пренебречь силами инерции ввиду их малости по сравнению с силами вязкости. Мало вязкой жидкостью считают жидкость, в которой силы внутреннего трения малы по сравнению с другими силами, действующими на жидкость.

В гидродинамике вязкой жидкости принято считать, что тензор скоростей деформации вязкой жидкости будет таким же, как и для идеальной жидкости.

Тензор напряжений мы раньше обозначали

Для идеальной жидкости	, где	– давление, а остальные
компоненты

Чтобы найти компоненты тензора напряжений вязкой жидкости, в гидродинамике используются следующие допущения.

1. Составляющие тензора напряжений при отсутствии вязкости должны приводится к составляющим тензора напряжений идеальной жидкости. Т.е.

2. Величины

,

,

являются линейными однородными функциями от

составляющих тензора скоростей деформации, причем коэффициенты этих функций не зависят от выбора прямолинейной прямоугольной системы координат.

Таким образом, нормальные напряжения будем искать в виде

где – коэффициент вязкости, а – тоже коэффициент, который можно найти. Согласно первому предположению гидродинамики вязкой жидкости

Т.е.						. Но ведь давление должно определяться только
диагональными компонентами тензора напряжений
значит	. Используя приведенные выше формулы для нормальных
напряжений, получим

Таким образом, получим

В случае несжимаемой жидкости, как известно,	и формулы для нормальных
напряжений содержат в правой части только два слагаемых.

Касательные напряжения вязкой жидкости аналогичным образом считаются пропорциональными недиагональным компонентам тензора скоростей деформации

Коэффициент вязкости зависит вида жидкости и от температуры. Обычно с ростом температуры вязкость жидкости убывает, а газа возрастает.

Уравнения Навье – Стокса. Ранее мы вывели закон движения жидкости в дифференциальной форме

Спроектируем это уравнение на оси координат и подставим соответствующие значения тензора напряжений.

Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, легко получить следующее

Предпоследнее слагаемое в правой части формулы содержит производную по x от дивергенции скорости, а последнее слагаемое – так называемый оператор Лапласа от функции (см. лекцию 1). Следовательно, в сокращенном виде это уравнение запишется в виде:

Аналогичным образом преобразовываются проекции уравнения движения на другие оси координат. В итоге получим следующую систему уравнений:

Или в векторном виде

Эти уравнения называются уравнениями Навье-Стокса. Они имеют очень сложный вид, поэтому их точное интегрирование удается только в редких случаях. Однако в ряде случаев экспериментальные данные совпадают с результатами вычислений.

В случае несжимаемой жидкости уравнение Навье – Стокса в векторном виде имеет вид

и, как легко видеть, при

приводятся к уравнениям движения идеальной жидкости.

16. Некоторые точные решения уравнений вязкой жидкости.

1. Рассмотрим течение несжимаемой вязкой жидкости между двумя параллельными плоскими стенками. Уравнения этих стенок z=h, z=-h. Допустим еще, что внешних сил нет, движение стационарно и происходит параллельно оси Ox, так что

Запишем систему уравнений, состоящую из уравнения неразрывности и уравнений движения вязкой жидкости.

При отсутствии внешних сил и стационарном течении параллельно оси Ox эта система примет вид

Кроме того, существуют очевидные граничные условия, которым должно удовлетворять решение системы

Получается, что скорость v может зависеть только от y, z, давление p может зависеть только от x; но тогда второе уравнение показывает – это может быть только тогда, когда левая и правая части уравнения являются постоянными величинами. Таким образом,

Даже при таких предположениях уравнение получается слишком сложным для интегрирования. Упростим задачу еще больше: предположим, что скорость зависит только от переменной z. Тогда

где А, В – произвольные постоянные. Их легко определить с помощью граничных условий

Следовательно,

2. Пусть теперь жидкость течет между параллельными стенками, но одна стенка (z=0) неподвижна, а другая (z=h) перемещается параллельно оси Ox со скоростью u. Сделав те же вычисления, получим ту же систему уравнений

Аналогично рассуждая, приходим к выводу, что								. Для простоты предположим,
что		. Тогда, если	, то
В этой задаче у нас уже другие граничные условия:								при z=0	, а при z=h	.

Подстановка этих условий в решение уравнения дает нам систему для произвольных постоянных А и В.

Следовательно, и получаем следующую формулу для скорости

Это так называемое линейное распределение скорости.

3. Пусть теперь на жидкость действует сила тяжести и пусть она ограничена сверху свободной поверхностью, снизу же неподвижной плоскостью Oxy, наклоненной к горизонту под углом , причем ось Oy горизонтальна. Согласно рисунку (см. ниже) можно легко спроектировать силу тяжести на оси координат.

Если течение жидкости идет

параллельно оси Ox и

, то система

уравнений, состоящая из уравнения

неразрывности и уравнений движения вязкой

жидкости, примет вид (жидкость предполагается несжимаемой):

Проведя рассуждения, аналогичные рассуждениям предыдущих задач, можно установить, что . Предположим, что . Тогда, если , то

Разберем, какие в этой задаче граничные условия. Очевидно, что при z=0	.
При z=h давление на свободной поверхности должно быть равно атмосферному, так что

Если вспомнить, чему равны компоненты тензора напряжений вязкой жидкости (см параграф 15), то

Следовательно, при z=h.

Вычислим сначала давление . Из системы уравнений получается, что зависит только от .

Поскольку	при z=h, можно легко вычислить, что					и записать
формулу для давления
Считаем	теперь, что скорость			зависит только от		z. Тогда можем два раза
проинтегрировать дифференциальное уравнение

Произвольные постоянные А и В найдем из граничных условий. Поскольку при z=0				,
то, очевидно, В=0. При	, как мы установили выше,		, так что

И окончательно получаем формулу, связывающую скорость течения жидкости с глубиной