Лекции

Это уравнение равносторонней гиперболы. Подставляя координаты точек, лежащих на разных ветвях гиперболы, в формулы для составляющих скорости, легко найти направление течения жидкости.

Движение такого типа рассматривается при решении задачи об обтекании идеальной жидкостью прямого угла.

Задача 2. Определить характер движения жидкости, если

.

Решение. Определим сначала составляющие скорости.

Легко заметить, что

Таким образом, это плоское безвихревое движение. При x=0, y=0 скорость течения оказывается равна , а значит, в начале координат мы имеем особую точку. Это течение носит название течения точечного вихря. Вычислим циркуляцию скорости на расстоянии r от центра вихря.

Если перейти к полярным координатам, считая r=const, то

Тогда

Линии тока определяются из уравнений

Это уравнения окружностей произвольного радиуса с центром в начале координат. Можно также определить, используя уже проведенные вычисления, уравнения линий с постоянным потенциалом скорости.

Это уравнения лучей, выходящих из начала координат под произвольными углами.

Задача 3. Найти изопотенциальные линии и линии тока, если комплексный потенциал

Решение. По определению комплексного потенциала

Таким образом,

Запишем теперь уравнения соответствующих кривых. Для изопотенциальных

линий

Приведя это уравнение к каноническому виду, получим

Это уравнения окружностей со смещенными по оси Ox центрами, касающиеся начала координат.

Соответственно, для линий тока

Здесь центры окружностей смещены по оси Oy и они по-прежнему касаются начала координат.

9. Закон сохранения массы. Закон движения жидкости.

Масса жидкости, очевидно, может	быть определена следующей формулой:
где – плотность жидкости,	– её объем. При отсутствии источников

жидкости масса должна сохраняться. Иначе это можно записать

Это закон сохранения массы в интегральной форме. Можно записать это уравнение и без интегралов, если рассмотреть бесконечно малый объем жидкости и сохранение его массы в процессе движения

Вычислим производную в левой части равенства как производную от произведения. Получим

Поделив обе части равенства на					и вспомнив, что скорость объемного расширения
жидкости				, запишем закон сохранения массы в дифференциальной
форме или уравнение неразрывности

У этого закона есть и другая форма записи. Раскроем полную производную от плотности по времени (см. параграф 3, индивидуальная производная в переменных Эйлера), тогда

Вспомнив определение дивергенции (а также правило вычисления производной от произведения функций), можем снова сократить эту запись, но по-другому, чем раньше

Различие первой и второй форм записи в том, что в первой из них производная от плотности по времени полная, а во второй – частная. Для несжимаемой жидкости, хотя бы

и неоднородной,			(хотя			), так что уравнение неразрывности сокращается еще
больше и имеет вид
Рассмотрим теперь вывод закона движения жидкости. За основу закона берется,
конечно, второй закон Ньютона						, где	– равнодействующая всех сил,
действующих на тело. В нашем случае

а – это сумма объемных и поверхностных сил, действующих в жидкости

Подставляя все интегралы во второй закон Ньютона, получим

Это уравнение движения жидкости в интегральной форме. Чтобы записать уравнение в дифференциальной форме, необходимо объединить интегралы, а для этого перевести двойной интеграл от поверхностной силы в тройной. Ранее мы уже доказали, что

Подставим это разложение в двойной интеграл и применим формулу Гаусса (см параграф 1, теорема Гаусса).

Таким образом, мы преобразовали двойной интеграл в тройной и, подставляя его в уравнение движения, можем объединить интегралы

Т.к. объем жидкости выбран абсолютно произвольно, то равенство нулю этого интеграла возможно только в том случае, если подынтегральная функция равна нулю. Таким образом, получаем уравнение движения жидкости в дифференциальной форме.

или

Это векторное равенство, оно эквивалентно трем скалярным, которые получатся, если спроектировать уравнение движения на оси координат

Приведенная выше система называется уравнением движения жидкости в напряжениях.

Чаще всего, однако, её решают в упрощенном виде, поскольку жидкость считается идеальной. В этом случае (см. параграф 7, тензор напряжений идеальной жидкости):

где – давление. Тогда уравнение движения жидкости в напряжениях принимает вид

или в векторной форме

Это так называемое уравнение движения идеальной жидкости.

10. Закон сохранения энергии.

Выберем малый объем dV массой dm и плотностью . Тогда				–

кинетическая энергия этого объема. Если Е – внутренняя энергия единицы массы, то

– внутренняя энергия этого объема. Сумма кинетической и внутренней энергии даст нам полную энергию элементарного объема, а чтобы вычислить полную энергию всего тела, необходимо проинтегрировать по всему объему. Таким образом, полная энергия объема V определяется выражением

Как известно из физики, закон сохранения энергии состоит в следующем: изменение энергии за некоторый промежуток времени равно работе всех сил,

совершенной в этот промежуток времени, плюс количество теплоты, переданной телу за этот же промежуток времени. В нашем случае этот закон принимает следующий вид

где – работа объемных сил, – работа поверхностных сил, – приток энергии через поверхность.

Работа объемных сил зависит от величины самой силы, массы тела, его скорости и времени. Следовательно, можем записать

Аналогично, работа поверхностных сил зависит от напряжения , площади поверхности, скорости и времени

Обозначим	через	количество теплоты, переданное через	единичную площадку с
нормалью	в единицу времени. Тогда количество теплоты,		полученное телом через
поверхность, зависит от , площади поверхности и времени, т.е.

Подставив все приведенные выражения в закон сохранения энергии, получим

Если поделить обе части равенства на и устремить к нулю, то равенство примет вид

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу математического анализа, позволяющую вносить производную под знак кратного интеграла

В нашем случае применение этой формулы даст нам следующее

Если в тройном интеграле вычислить производную от произведения, раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые так, чтобы получилось уравнение неразрывности (которое, как известно, равно нулю), это позволит значительно упростить выражение

В правой части закона сохранения энергии также можно преобразовать работу поверхностных сил с помощью теоремы Гаусса, чтобы получить выражение для работы в виде тройного интеграла.

Подставив преобразованные выражения в закон сохранения энергии и объединив тройные интегралы, получим следующее выражение

Раскрывая в левой части равенства производные от произведений и перегруппировывая слагаемые, можем получить уравнение движения (которое тоже равно нулю) и таким образом упростить формулу.

Это интегральная форма записи закона сохранения энергии. Чтобы перейти к дифференциальной форме записи, необходимо преобразовать выражение для суммарного количества теплоты, переданного телу, таким образом, чтобы получился тройной интеграл. Для этого в физике вводят так называемый вектор потока тепла, характеризующий перенос тепла в разных направлениях.

Если , жидкость называется нетеплопроводной, в противном случае –

теплопроводной.

Тогда величина , входящая в интегральную форму записи закона сохранения энергии, является проекцией вектора потока тепла на нормаль к поверхности тела, и, следовательно, к двойному интегралу в правой части равенства можно применить теорему Гаусса.

Таким образом, можно объединить все интегралы, входящие в закон сохранения энергии, а поскольку объем тела выбран совершенно произвольно, то из равенства нулю тройного интеграла следует равенство нулю подынтегральной функции.

Это дифференциальная запись закона сохранения энергии. Если жидкость идеальна, то вектора напряжений имеют координаты , , и можно вычислить скалярные произведения, входящие в уравнение

Аналогично

И уравнение можно записать в виде

Это закон сохранения энергии для идеальной жидкости.

11. Гидростатика. Основные уравнения.

Рассмотрим уравнение неразрывности и уравнение движения жидкости в случае, когда жидкость покоится. В этом случае , , A – любой гидродинамический параметр. Тогда уравнение неразрывности

обращается в тождество (0=0) и, следовательно, автоматически выполняется. Что касается уравнения движения, то рассмотрим уравнение движения идеальной жидкости

Его левая часть, очевидно, обращается в ноль, так что получаем равенство или в проекциях на оси координат

Умножим эти уравнения на dx, dy, dz соответственно и сложим. Тогда получится

Обычно	– это сила тяжести, а она является потенциальной, т.е. существует
функция	, такая, что

Подставляя эти выражения в уравнение, получим

Проинтегрировать полученное выражение можно только в том случае, если предварительно определимся с плотностью . Тут возможны несколько вариантов.

1. Несжимаемая жидкость. В этом случае											и мы можем внести ее под
знак дифференциала. Тогда
Если вспомнить, что					, то можем записать следующую зависимость

где – удельный вес. Это основное гидростатическое уравнение; из него видно, что давление в какой-либо точке жидкости равно весу столба жидкости, приходящегося на единицу площади и имеющего высоту от данной точки до поверхности, сложенному с давлением на поверхности. Из этого уравнения можно получить некоторые основные величины, используемые в гидростатических задачах. Например,

называется избыточным давлением, а

-пьезометрической высотой.

2.Изотермический процесс. Пусть рассматриваемая нами среда такова, что удовлетворяет уравнению состояния идеального газа

где – универсальная газовая постоянная, – молярная масса газа, – его температура. Пусть теперь температура газа постоянна. В таком случае можем записать

Т.е. плотность среды уже не постоянное число, а функция, но зависит только от давления. Такая среда называется баротропной. Для баротропной среды можем ввести функцию

Эта функция замечательна тем, что по ее определению

и в выражении, полученном из уравнения движения, мы снова можем объединить дифференциалы.

Подставив в формулу выражения для функции	и для функции	в случае
изотермического процесса, получим следующую зависимость

3. Адиабатический процесс. Это тоже случай баротропной среды, только в этой среде давление и плотность удовлетворяют уравнению адиабаты Пуассона:

Тогда легко вычислить, что

Следовательно, подставив результат вычислений в формулу, полученную из уравнения движения для баротропной среды, имеем следующую зависимость

Если же в задачах отсутствует несжимаемая жидкость и процесс нельзя считать изотермическим или адиабатическим, то надо вычислять зависимость между и непосредственно из уравнений движения.

Примеры решения задач.

Задача. Пусть в некотором слое атмосферы зависимость температуры от высоты имеет вид

Определить давление и плотность атмосферы на высоте , считая, что для атмосферы справедливо уравнение состояния идеального газа.

Решение. Система уравнений, полученная из уравнений движения, в данном случае имеет вид

Из системы следует, что давление зависит только от переменной , а зависимость можно получить, решая обыкновенное дифференциальное уравнение

Разделив переменные и интегрируя, получим

Произвольная постоянная, как всегда, находится из начальных условий. Пусть при давление . При подстановке в уравнение легко вычислить, что . Следовательно,

Если обозначить		, то, используя свойства логарифмов, можем записать

искомую зависимость давления от высоты

Формулу для плотности получим из выведенной зависимости и уравнения состояния идеального газа

12. Силы, действующие на тело в покоящейся жидкости. Закон Архимеда.

Зная гидростатическое давление в любой точке жидкости, можно вычислить силу давления жидкости на любую элементарную площадку (оно направлено по нормали к площадке). Равнодействующую этих элементарных сил давления на данную поверхность называют полным давлением жидкости на эту поверхность.

Рассмотрим сначала давление жидкости на наклонную стенку.

Вточке М , а полное давление на стенку можно вычислить с помощью интегрирования

Вфизике и теоретической механике вводится понятие центра масс плоской фигуры и

твердого тела. По определению, координата центра масс плоской фигуры вычисляется следующим образом

где S – площадь фигуры. Следовательно,

Изменение гидростатического давления в зависимости от глубины площадки, на которую оно действует, можно изобразить графически, т.е. представить это изменение в виде эпюры гидростатического давления.

Стрелки показывают направление давления. Пунктир разделяет				эпюру на две части:
прямоугольную с	постоянным	давлением	и треугольную	с увеличивающимся
давлением от 0 до	. Если	– атмосферное давление, то прямоугольная часть эпюры

уравновешивается такой же эпюрой с противоположной стороны стенки. В этом случае представляет практический интерес только треугольная эпюра.