∞ |
(x −2) |
n |
|
|
|
Ответ: ∑ |
|
|
сходится при |
x [−3; 7). |
|
n |
|
1 |
|||
n=1 |
5 2n + |
|
|
||
|
|
|
Задача 8 |
|
|
Разложить функцию |
|
f (x) в ряд Тейлора в окрестности |
|||
точки x0 . Найти интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n
членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом вычислении:
f (x)= e2 x ,
x0 = 0 , x1 = − 12 , n = 5 .
Справочный материал
(для примеров 8-11)
Разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена
|
∞ |
|
x |
n |
|
|
x |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ex = ∑ |
|
|
=1+ |
+ |
|
|
|
+ ... + |
|
|
+... . |
Интервал |
|
сходимости |
|||||||||||||||||||||||
n! |
|
|
|
|
n! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(−∞; +∞). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∞ |
|
|
x |
2n |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
x |
2n |
|
|
|
|||||||||
|
cos x = ∑(−1)n |
|
|
|
|
|
=1− |
|
|
|
+ |
|
−... +(−1)n |
|
|
+... . |
||||||||||||||||||||||
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Интервал сходимости (−∞; +∞). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
x |
2n+1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
x |
2n+1 |
|
|
|
|||||||
|
sin x = ∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
+... +(−1)n |
|
|
|
|
|
|
+... . |
||||||||||||||||
(2n +1)! |
|
|
|
|
|
(2n +1)! |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=0 |
|
1! 3! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Интервал сходимости (−∞; +∞).
17