Теперь воспользуемся разложением функции (1+ x)α в

ряд Маклорена:
(1+ x)α =1+αx +					α (α −1)						x2 +... +			α (α −1)...(α −n +1)										xn +... ,
																			n!
							2!
тогда
									5(1+0.04)13 =
				1			1							1			−	2	−	5
			1	3			3	−1				2		3						3			3
																		3
= 5	1	+	3 0.04 +								0.04		+									0.04		+K	=
							2!											3!

= 5 + 13 0.2 − 19 0.008 + 815 0.00032 −K .

Начиная со 2–го члена этот ряд является знакочередующимся, поэтому модуль его остатка не превосходит первого отброшенного члена. Вычислим модули членов ряда:

u1 = 5 > 0.001;

u2 = 13 0.2 = 151 ≈ 0.067 > 0.001;

u3 = 19 0.008 = 11251 ≈ 0.00088 < 0.001.

Как видим, уже модуль третьего члена меньше 0.001 , поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак,

3 130 ≈ 5 +0.0667 ≈ 5.066 с точностью ε =10−3 . N = 2 .

Задача 10

Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд:

0,8∫ sin xdx , ε = 0, 0001.

0 x

22

Решение задачи 10

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд Маклорена. Для этого воспользуемся разложением синуса:

sin x = x −

x3

+

x5

−... , тогда

sin x

=1−

x2

+

x4

−... .

3!

5!

x

3!

5!

Подставим полученное разложение:

0,8

sin xdx =

0,8

x

2

x

4

x

3

x

5

0,8

∫

∫

1−

+

−... dx = x −

+

−...

=

3 3!

5

5!

0

x

0

3! 4!

8

= 0,8 − 0,83

+ 0,85

−... = 0,8 − 0,512 +

0,32768 −K+ R ,

3 3! 5 5!

18

600

n

Ряд знакочередующийся, члены его по абсолютной величине убывают, общий член стремится к нулю, т.е. ряд удовлетворяет всем условиям признака Лейбница. Поэтому должно выполняться условие

Rn

un+1

0.82n−1

<

=

< 0.0001 =ε .

(2n −1) (2n −1)!

Рассмотрим абсолютные величины членов ряда:

u

= 0.8 >ε ,

u

2

= 0,83

= 0.512

≈ 0.028 >ε ,

1

3 3!

18

= 0,85

u

= 0.32768 ≈ 0.0005 >ε ,

3

5 5!

600

R

<

u

4

=

0.87

= 0.2097152 ≈ 0.0000059 <ε .

3

7 7!

35280

Теперь вычислим приближенно сумму ряда, взяв три

первых члена,

которые обеспечивают

заданную точность

ε = 0.0001:

0,8

sin xdx ≈ 0,8 −0, 0287 +0, 00055 ≈ 0, 7718 .

∫

0

x

23

Задача 11

Вычислить сумму ряда:

∞

x

2n

∑(−1)n

.

(2n −

1)!

n=1

Решение задачи 11

∞

x

2n

x

2

x

4

x

6

x

x

3

x

5

∑(−1)n

= −

+

−

+K = −x

−

+

−K

(2n −1)!

n=1

1!

3!

5!

1!

3!

5!

Сравним этот ряд с разложениями основных элементарных функций в ряд Маклорена. Ряд записанный в скобках не что иное, как ряд

∞

x

2n+1

x

x

3

x

2n+1

sin x = ∑(−1)n

=

−

+... +(−1)n

+... ,

(2n +1)!

(2n +1)!

n=0

1! 3!

с интервалом сходимости (−∞; +∞).

∞

x

2n

Таким образом, сумма ряда ∑(−1)n

= −x sin x .

(2n −

1)!

n=1

24

Вариант 1

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

	∞	cos2 n
	∑		.
		n4 + n arctg (1 n)
	n=1

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∞	2n п2 +1
∑n=1	( )	.
	(n +1)!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞

n

2

+1

Коши: ∑

.

3

+4) ln (n −1)

n=3 (n

∞

(−1)

n

2

4.

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

∑

n

.

4

2

n=1

n −n

+1

5.

Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N -

наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

(−1)

n

суммы ряда: ∑

, ε =10−3 .

n=1 n ! (2n +1)

∞

x

2n

6.

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

3n (n +1)

3 2

n=1

∞

(x +1)

n

7.

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

(n +1) ln

2

(n +1)

n=1

8.

Разложить функцию f (x)

в ряд Тейлора в окрестности точки

x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x)

в точке

x1 , оставляя в

разложении только

n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении:

f (x) = ln x ,

x0 =1, x1 =1, 2 ,

n = 4 .

ε

9.

Вычислить

приближенно

с

заданной

точностью

значение

функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд.

Указать N -

наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.

точность:

e , ε =10−3 .

ε

Вычислить

приближенно

с

точностью

значение интеграла,

разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд:

0∫.2

sin x

dx ,

ε =10−3 .

0

x

∞

x

n−1

11.

Вычислить сумму ряда: ∑

.

n=1

n!

25

Вариант 2

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	sin	2	x
∑				.
	4 n5 +		n +1
n=1

2.Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера имость:

∞	n !
∑				.
	(n +1)	2	n
n=1

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

	∞	1
	Коши: ∑				.
		(2n +3) ln	2	(n +1)
	n=2
					∞	n
						(−1)
	4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑						.
						ln (n +1)
					n=1

5. Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞		(−1)	n
суммы ряда: ∑					, ε =10−3 .
		2		3)
n=1 n		(n +
						∞	x	n
6. Найти область сходимости степенного ряда:						∑				.
							n 2		n
						n=1
						∞					n
							(x +n		3) .
7. Найти область сходимости степенного ряда:						∑
						n=1	2		n

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

	вычислении: f (x) =	1	, x	=1 , x =1, 3 , n = 5 .
		х
			0	1

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: cos1° , ε =10−4 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд:				0∫.1	ex −1	dx , ε =10−4 .
				0	x
∞		2n+1
11. Вычислить сумму ряда: ∑	x		.
		n !
n=1

26

Вариант 3

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

	∞	arctg n
	∑		.
		n3 +n n +1
	n=1

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∞		n
∑n=1	n ! 2		.
	(2п)!	n

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞			n2 +1
Коши: ∑						.
		2	+2) ln	2	(3n +1)
n=2 (n
						∞	(−1)n sin π
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑							n	.
						n=1	3n +1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

	∞	(−1)	n
	суммы ряда: ∑				, ε =10−3 .
		(2n +1)!
	n=1
						∞		xn
	6. Найти область сходимости степенного ряда:					∑					.
							(n +	1)ln (n +1)
						n=1
						∞	(x +n	5)	2n−1
	7. Найти область сходимости степенного ряда:					∑				.
						n=1	4	2n

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) =1 3 x , x0 =1 , x1 =1, 5 , n = 3 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.	точность: sin10° , ε =10−4 .		точностью ε
	Вычислить приближенно с				значение интеграла, разлагая
					0.1	ln (1+ x)
	подынтегральную функцию в степенной ряд:				∫		dx , ε =10−3 .
					0	x
	∞		n+1
11.	Вычислить сумму ряда: ∑	x		.
	n=1 n !

27

Вариант 4

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

	∞	arcsin	1
			n2 +4
	∑				.
		n + n + n
	n=1
					∞	n	+2
	2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера: ∑							.
						n
					n=1	2	n !

3.	Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-
	∞			1
	Коши: ∑							.
		(n +3) ln				2	(2n +1)
	n=2
4.	Исследовать			ряд			на	абсолютную	и	условную	сходимость:
	∑(−1)n+1 2n +1 .
	∞
	n=1		n (n +1)

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

суммы ряда: ∑∞ (−1)n+1 , ε =10−3 .

n=1 n !

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ (3 nn++12) xn .n=1

∞

(x

−1)

n−1

7.

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

n

n=2

3 n ln n

8.

Разложить функцию

f (x)

в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x) в точке x1 , оставляя в

разложении только

n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении:

f (x) = 1

,

x

=1, x

=1, 5 , n = 4 .

x

0

1

ε

9.

Вычислить

приближенно

с

заданной

точностью

значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд.

Указать

N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.

точность:

cos10° , ε =10−4 .

ε

Вычислить приближенно

с

точностью

значение

интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд:

0.5 1−cos x

dx , ε = 0.001 .

∫

x

2

0

∞

x

2n

11.

Вычислить сумму ряда: ∑

.

n!

n=1

28

Вариант 5.

1.	Исследовать			сходимость		ряда	с	помощью	признака	сравнения:
	∞		1
	∑	3 n arctg			.
			3
	n=1			n
2.	Исследовать			сходимость		ряда	с	помощью	признака	Даламбера:
	∞	(n +2)!
	∑			.
		n
	n=1	(n +5) 3

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

	∞			n +3
	Коши: ∑						.
		(2n	2	+3) ln	2	(2n +1)
	n=1
							∞	(−1)	n
	4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑									.
								n ln (n +1)
							n=1

5. Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

n

2

суммы ряда: ∑(−1)n

n

,

ε =10−2 .

n=1

3

∞

n x

n−1

6.

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

n−1

n

n=1

2

3

∞

(x −2)

n

7.

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

n ln (n +1)

n=1

8.

Разложить функцию

f (x)

в ряд Тейлора в окрестности точки

x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x)

в точке

x1 , оставляя в

разложении только

n членов. Оценить погрешность,

допускаемую при этом

вычислении: f (x) =

1

,

x = −1 ,

x = −1,5 ,

n = 3 .

3

x2

0

1

9.

ε

Вычислить приближенно

с

заданной

точностью

значение

функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд.

Указать

N -

наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.

точность:

3 e ,

ε =10−3 .

ε

Вычислить приближенно

с

точностью

значение

интеграла,

разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд:

∫1

sin x

dx ,

ε =10−4 .

0

x

∞

2n−1

11.

Вычислить сумму ряда: ∑

x

.

n!

n=1

29

Вариант 6.

1.	Исследовать			сходимость		ряда	с	помощью	признака	сравнения:
	∞	1	(e 1	n+1 −1).
	∑
		n + 2
2.	n=1
	Исследовать			сходимость		ряда	с	помощью	признака	Даламбера:
	∑(n + 2)sin 1n .
	∞
	n=1	(n +1)!		2

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

	∞	n + 4
	Коши: ∑		.
		9n3 +4 ln2 (5n + 2)
	n=1
			∞	sin n
	4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑				.
			n=1	n !

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞	(−1)	n
суммы ряда: ∑				, ε =10−3 .
	(2n +1)!!
n=1
					∞		x	n
6. Найти область сходимости степенного ряда:					∑					.
						n ln	2
					n=1		(n +1)
					∞	(x +1)			n
7. Найти область сходимости степенного ряда:					∑						.
						n 3 n3 +3
					n=1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = cos x , x0 = π2 , x1 = −π4 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

точность: ln(1, 003) , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫1 e−x2 dx , ε =10−3 .

0

	∞	x	2n+1
	11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n				.
		(2n)!
	n=1

30

n2 +1

Вариант 7.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞

∑ n +3 ln

n=1

2.Исследовать

n2 +n + 2 .

∞ arctg 2

сходимость ряда с помощью признака Даламбера: ∑ n .

n=1 (n +1)!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞			n2 +2
Коши: ∑						.
	(n	2	+5) ln	2	(n +1)
n=2

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑∞ (−1)n tg 1n .n=1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞	1				2	n		−3
суммы ряда: ∑				−			, ε =10		.
	n	2			5
n=1

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑2n (2xnn −1) .∞n=1

	∞	n
		(x +3)
	7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑		.
	n=1	n n2 +4

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = e−4 x , x0 = 0 , x1 =1, n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 4 e , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫1 3 хcos x dx , ε =10−3 .

0

	∞	x	2n
	11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n				.
		(2n)!
	n=1

31

Вариант 8.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

	∞	1		1
	∑		tg		.
	n=1	n2 + n +1		n

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∞	4	n
∑				.
	(n +1)!
n=1			n

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞					n +1
Коши: ∑							.
		(		3	) (	)
n=	2		n		+ 2 ln	3n −1
							∞	(−1)	n−1
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑											.
								(n +1) 2		2n
							n=1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

суммы ряда: ∑∞ 1 (−2 3 )n , ε =10−3 .

n=1 n

	6.	∞		x	n
		Найти область сходимости степенного ряда: ∑					.
		n=1	ctg 1			n
		∞						n
				n (x + 2)
	7.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑							.
		n=1		n3 + n +1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = 3 27 − x3 , x0 = 0 , x1 =1, n =1 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

	точность:	1	e	, ε =10−4 .
					точностью ε
10.	Вычислить	приближенно с								значение интеграла, разлагая
	подынтегральную функцию в степенной ряд:									∫1	x sin xdx , ε =10−3 .
										0
				∞		x	2n−1
11.	Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n								.
						(2n)!
				n=1

32

Вариант 9.

1.

Исследовать

сходимость ряда с помощью признака

сравнения:

∞

2

+5

∑ n + n3 +1 ln

n

.

2

+4

n=1

n

∞

n

4

2.

Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∑

.

(n +1)!

n=1

3.

Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞

n2 −1

Коши: ∑

.

n=5 (n2

−2) ln (n −3)

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑∞ (−1)n−1 22n .

n=1 (n +1) 32n

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

(−1)

n

суммы ряда: ∑

, ε =10−3 .

n=1

3n !

∞

x

n

6.

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

n

n=1 n

(

5

)

+1

∞

n

(x −3)n

7.

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

(n +1)

2

n=1

2n

8.

Разложить функцию

f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки

x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x)

в точке x1 ,

оставляя в

разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) =

3 8 − x3 , x = 0 ,

x = 0,5 ,

n = 4 .

0

1

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 31e , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫1 sin3 xx dx , ε =10−3 .0

	∞	x	4n+1
	11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n				.
		(2n)!
	n=1

33

Вариант 10.

1.	Исследовать		сходимость ряда с помощью признака			сравнения:
	∞	1		1
	∑		sin		.
	n=1	n + n + 2		n +3
						∞
2.	Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:					∑	n !		.
						n=1 (3n)!

3.	Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-
	∞	arctg	1
			n
	Коши: ∑				.
		ln (n −2)
	n=4
					∞	n
4.						(−1) (n +3) .
	Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑
					n=1	ln (n +4)

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

n

(−1) (2n +1) , ε =10−3 .

суммы ряда: ∑

n=1

(2n)! n !

∞

x

n

6.

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

n

(

)

(

3

)

n=1

n +1

+1

∞

n

2

7.

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

(x +2)n .

(n +1)

3

n=1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом вычислении: f (x) = sin x , x0 = π2 , x1 = π4 , n = 3 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 1 4 e , ε =10−4 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд:				0.∫25	1+ x3 dx , ε =10−3 .
				0
∞	x	n+1
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n			.
n=1		n

34

Вариант 11.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	(n2 +3)2 sin2 (3n)
∑	n	6	+1	.
n=1
2. Исследовать			сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
∞	n ! n +1
∑n=1			.
	(2n)!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞ arcsin 1

Коши: ∑ n . n=1 ln2 (n +1)

	∞	(−1)	n			π
4.	Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑			tg			.
	n=1	5n −1		4		n

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

	∞		1
	суммы ряда: ∑(−1)n				, ε =10−4 .
		3	n
	n=1		n !
					∞	x	n
	6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑							.
						n 3 n3 +3
					n=1

7.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ lnn(n++11) (x +1)n .n=1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = sin2 x , x0 = 0 , x1 =1, n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.	точность: 4 17 , ε =10−3 .	точностью ε
	Вычислить приближенно с					значение			интеграла, разлагая
						0.5	x2
						∫e−		dx ,	ε =10−4 .
	подынтегральную функцию в степенной ряд:						2
						0
	∞		x	n−1
11.	Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n				.
				n
	n=1

35

Вариант 12.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	2	+1 cos	2	n
∑	n				.
	3	+ n +2
n=1	n

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∑∞ (n +1)2 6n .

n=1 n !

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞

1

en

−1

Коши: ∑

.

ln

2

n=2

(n +7)

4. Исследовать

ряд

на

абсолютную

и

условную

сходимость:

∞

n sin

2

(n n )

∑(−1)

.

n

n

n=1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞		π n
суммы ряда: ∑	cos		, ε =10−3 .
	n
n=0 3 (n +1)
			∞		x	n
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑								.
					n		n
			n=1				3
			∞					n
					(x −1)
7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑									.
					n
			n=1		4		n +1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = cos2 x , x0 = 0 , x1 =1, n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 4 15 , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд:				0∫.5		dx		, ε =10−3 .
					4	1+ x	4
				0
∞	x	2n
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n			.
n=1	n

36

Вариант 13.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

	∞	1
	∑4 n4 +n3 +1 sin		.
	n=1	3 n4

2.Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера: ∑∞ (n4+n1)! .n=1

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞	sin		1
			n2
Коши: ∑					.
		2
n=2	ln		n

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

	(−1)
∞	n
∑n=3		.
	n ln n (ln ln n)

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞	(−1)	n
суммы ряда: ∑				, ε =10−3 .
	(n +1)		n
n=0
				∞	n x	n
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑							.
				n=1	n4 +1

∑(x −1)n

7.Найти область сходимости степенного ряда: n=2 2n n ln n .

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в

разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом вычислении: f (x) = 3 8 + x , x0 = 0 , x1 = −1 , n = 4 .∞

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: ln 5 , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

	подынтегральную функцию в степенной ряд:				0∫.1	1−e−2 x	dx , ε =10−4 .
						x
					0
	∞	x	4n−1
	11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n			.
			n
	n=1

37

Вариант 14.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	1			n
∑		arctg			.
	4 n +1		n	2
n=1				+1

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

	∞	π
	∑n! sin		.
		n
	n=1	2

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞

1

+ 1

n

−1

Коши: ∑

.

n=2

ln n

4. Исследовать

ряд

на абсолютную и условную сходимость:

∞

n

n

n

∑(−1)

.

2n +1

n=1

5.

Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N -

наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

sin (π 2 +πn)

−3

суммы ряда: ∑

, ε =10

.

n

3

n=1

∞

xn

6.

Найти область сходимости степенного ряда: ∑

.

n

(n +1)ln (n +1)

n=1

2

∞

n

(x −2)

7.

Найти область сходимости степенного ряда: ∑

.

n

n=1

3

n +

4

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом вычислении: f (x) = e−x2 , x0 = 0 , x1 = 2 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 4 28 , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫1 cos (x2 )dx , ε =10−3 .

0

	∞	x	3n
	11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n			.
		n
	n=1

38

Вариант 15.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

		arcsin	1
	∞		n2	+ 4
	∑				.
	n=1	n + n +		n
					∞	n!
	2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера: ∑						.
						n
					n=1	2

3.	Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-
	∞			1
	Коши: ∑							.
		(n +3)ln			2		(2n −1)
	n=2
4.	Исследовать			ряд			на	абсолютную	и	условную	сходимость:
	∑(−1)n+1 2n +1 .
	∞
	n=1		n (n +1)

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

суммы ряда: ∑∞ (−1)n+1 , ε =10−3 .

n=1 n!

	∞	n−1
6.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑	x		.
		n	ln n
	n=2	n3
	∞		n
		(x −1)n .
7.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑
	n=1	n 5

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) =1 x , x0 =1, x1 =1, 5 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.	точность: 4 19 , ε =10−3 .			точностью ε
	Вычислить приближенно	с				значение			интеграла, разлагая
						0,5	1−cos x			−4
	подынтегральную функцию в степенной ряд:					∫			dx , ε =10		.
							x	2
						0
	∞		x	2n
11.	Вычислить сумму ряда: ∑				.
			n!
	n=1

39

Вариант 16.

1.

Исследовать

сходимость

ряда

с

помощью

признака

сравнения:

∞

n +1

∑n=1

.

2.

n2 +ln2 n

Исследовать

сходимость

ряда

с

помощью

признака

Даламбера:

∞

arcsin

n +1

∑n=1

n2

+1

.

(n +1)!

3. Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞ (e1 n −1)2

Коши: ∑n=2 ln2 (3n +1) .

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

∑∞ (−1)n+1 3nn+1 n .

n=1

5. Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

	∞	1
	суммы ряда: ∑(−1)n+1			, ε =10−3 .
		3n	2
	n=1
				∞			x	n
6.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑										.
					4	n	n ln		2	n
				n=2
				∞			n
7.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑									(x +2)n .
						n4 +			1
				n=1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = 3 125 + x , x0 = 0 , x1 = −2 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

точность: ln 6 , ε =10−3 .

10. Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

0,2

подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫ e−3x2 dx , ε =10−3 .

0

∞xn+2

11.Вычислить сумму ряда: ∑(n +1)! .n=0

40

Вариант 17.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	n	2	+n	+1		n +1
∑					sin		.
n=1	4 n4 + n3 +2					n 4 n +5

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∑∞ n3 arctgn2

n=1 (n +1)! .

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

		sin		1
	∞			n2 +1
	Коши: ∑				.
		ln	2
	n=1			(n +2)
					∞	1
	4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑(−1)n n sin						.
						2
					n=1	n

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

	∞		1
	суммы ряда: ∑(−1)n				, ε =10−4 .
		2	n
	n=1		n!
					∞			1
	6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑xntg								.
								2
					n=1			n
					∞				n
						n (x	+2)
	7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑									.
					n=1	n4 +1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = 9 − x2 , x0 = 0 , x1 = −1 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.

точность: sin 36° , ε =10−3 .

точностью ε

Вычислить приближенно с

значение

интеграла,

0,2

ln 1− x2

)

подынтегральную функцию в степенной ряд:

∫

(

dx , ε =

x

2

0

∞

x

n

11.

Вычислить сумму ряда: ∑

.

n=1 n (n +1)

разлагая

10−3 .

41

Вариант 18.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞		3	n		1
∑
	en		−1 −1 tg			.
					n
n=1

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
∑∞ 2n (n3 +1).
n=1	n!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞

ln

n +1

Коши: ∑

n

.

ln(n + 2)

n=1

4. Исследовать

ряд

на

абсолютную

и

условную

сходимость:

∞

n

1

∑(−1)

+

ln 1

.

n

2

n=1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

	∞	(−1)	n
	суммы ряда: ∑				, ε =10−3 .
		n!(2n)!
	n=1

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ xntg 2 1n .n=1

∞	(2n −1)(x −3)n				.
7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑	n	2	2	n+1
n=1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = 16 + x2 , x0 = 0 , x1 = −1 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

точность: ln (1, 002), ε =10−4 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫1 x2e−2 x2 dx , ε =10−3 .

0

∞	x	n−1
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n			.
		n
n=1

42

(−1)n

Вариант 19.

	1.	Исследовать	сходимость ряда с помощью признака		сравнения:
		∞	n +2
		∑ 1+n2 sin		.
			3
		n=1	n +1			(2n)!
					∞
	2.	Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:			∑		.
					n=1	2n +5

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

				1
		n ln 1	+
∞				n	2
Коши: ∑								.
		ln (n −1)
n=	3

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

∞

∑n=1 n2 +sin2 n .

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

	∞	(−1)	n
	суммы ряда: ∑			, ε =10−3 .
		(2n)!2n
	n=1

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ xn sin 1n .n=1

∑∞ (x +1)n

7. Найти область сходимости степенного ряда: n=2 2n n ln n .

8. Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом вычислении: f (x) = 1−xe2−x2 , x0 = 0 , x1 =1, n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 3 25 , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: 0∫.2 ln (1+x x 2 )dx , ε =10−3 .

0

	∞	x	n+2
	11. Вычислить сумму ряда: ∑			.
		n!
	n=1

43

Вариант 20.

1.

Исследовать

сходимость

ряда

с

помощью

признака

сравнения:

∑

(

n

)

.

∞

1

−cos 1

2

n2

2.

n=1

n + n +1

Исследовать

сходимость

ряда

с

помощью

признака

Даламбера:

∞

n

∑n=1

2

.

5n (n +1)!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞	arctg 1
Коши: ∑	n	.
	n +2 ln (n +1)
n=1			(−1)	n
		∞
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑						.
			(2n +1)	2	2n+1
		n=0

5. Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

суммы ряда: ∑∞ (−1)n , ε =10−3 .

n=1 (2n)!

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ xn sin2 1n .n=1

∞

(x +1)

n

7.

Найти область сходимости степенного ряда: ∑

.

n

2

(n +1)

n=1

3 (n +1)ln

8.

Разложить функцию

f (x)

в ряд Тейлора в окрестности точки

x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f

(x) в точке x1 ,

оставляя в

разложении только n членов. Оценить погрешность,

допускаемую при этом

вычислении: f (x) =

1

, x

=1, x

=

1

,

n = 4 .

x +2

0

1

2

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 5 e , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

	подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫1 sin					x2	dx , ε =10−3 .
						4
					0
	∞	x	4n
	11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n+1				.
		(2n)!
	n=0

44

Вариант 21.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

	∞	n +1		n	+1
	∑		arctg			.
				2	+ 2
	n=1	n2 +2		n

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∑∞ 4n (n +1)!

n=1 (2n)! .

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

	1−cos			1
∞				n +2
Коши: ∑					.
	ln	2
n=1			(n + 2)

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑∞ (−1)n n +1 .

n=1

n3

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

n

суммы ряда: ∑(−1)n

, ε =10−3 .

n

n=1

7

∞

n

6.

Найти область сходимости степенного ряда: ∑

nx

.

2

2

n

n=1 (n

+1)

∞

(x +2)

n

7.

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

n

(n +1)ln n

n=2 2

8.

Разложить функцию

f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки

x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x) в точке

x1 ,

оставляя в

разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = ln x , x0 =1, x1 =1 2 ,

n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 1 8 e , ε =10−3 .

10.	Вычислить приближенно с	точностью ε					значение			интеграла, разлагая
							1,5		dx
	подынтегральную функцию в степенной ряд:						∫				, ε =10−3 .
								4	81+ x	4
							0
	∞		x	2n+1
11.	Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n					.
			(2n)!
	n=1

45

Вариант 22.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

	∞	sin	2	n
	∑				.
		3 n4 +n n +1
	n=1

∑∞ n!

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера: n=1 4n .

3. Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

	sin		1
∞		n +1
Коши: ∑						.
	n +3 ln		2	(n +3)
n=1

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑∞ cosn2 n .n=1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

	∞	(−1)	n
	суммы ряда: ∑				, ε =10−3 .
		(2n)	!!
	n=1

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ (

n=1

	2n −1)xn		.
	n2	2n+1

				∞	(x −4)	n
	7.	Найти область сходимости степенного ряда:		∑				.
					(n +3)ln (n +3)
				n=1
	8.	Разложить функцию	f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки					x0 . Найти
		интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения
		вычислить приближенно значение функции		f (x) в точке x1 ,				оставляя в
		разложении только	n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = 3 271− x , x0 = 0 , x1 =12 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 6 e , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: 0∫.5 sin (x2 )dx , ε =10−4 .

0

	∞	x	2n+3
	11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n				.
		(2n)!
	n=1

46

Вариант 23.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

	sin		1
∞			n2 +1
∑				.
	n	2
n=1			+ln n

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∞	n4 +n2 +1
∑n=1		.
	(n +1)!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞	e	1 n −1
Коши: ∑					.
	n +2 ln		2	(n +2)
n=1

∑(−1)n

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: n=3 n ln (n +1) .

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность∞

∞	(−1)			n	n
суммы ряда: ∑							, ε =10−3 .
	(2n −1)	2	(2n +1)			2
n=1

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ xntg 1n .n=1

∞

(x −3)n

7. Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

2

n

n ln

2

n

f (x)

n=1

x0 . Найти

8. Разложить функцию

в ряд Тейлора в окрестности точки

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x) в точке x1 ,

оставляя в

разложении только n членов. Оценить погрешность,

допускаемую при этом

вычислении: f (x) =

1

, x

= 2 , x =1,

n = 4 .

3x +4

0

1

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.	точность: cos18° , ε =10−4 .	точностью ε
	Вычислить приближенно с						значение	интеграла, разлагая
							0,3
	подынтегральную функцию в степенной ряд:						∫ e−2 x2 dx ,	ε =10−4 .
							0
	∞		x	2n+3
11.	Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n					.
			(2n)!
	n=1

47

Вариант 24.

1.

Исследовать

сходимость

ряда

с

помощью

признака

сравнения:

1−cos

1

∞

n

∑

.

n=1

n +ln n

2.

Исследовать

сходимость

ряда

с

помощью

признака

Даламбера:

∞

n!

1

∑

tg

.

(2n)!

n

n=1

3

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

	∞	sin	2	n
	Коши: ∑				.
		n2 +1 ln2 (n +4)
	n=1
					∞	π
	4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑(−1)n cos						.
					n=1	6n

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

суммы ряда: ∑∞ (−1)n n , ε =10−3 .

n=1 2n

		∞	x	n
	6.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑					.
			n ln (n +1)
		n=1
	7.	∞	(3n + 2)(x −3)n
		Найти область сходимости степенного ряда: ∑	(n +1)		2		.
		n=1				2n+1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = 3 27 + x2 , x0 = 0 , x1 = 2 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.	точность: sin18° , ε =10−4 .		точностью ε
	Вычислить приближенно с				значение	интеграла, разлагая
					0,2
	подынтегральную функцию в степенной ряд:				∫ e−3x2 dx ,	ε =10−4 .
					0
	∞		n+1
11.	Вычислить сумму ряда: ∑	x		.
			n
	n=1

48

Вариант 25.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	4	n +1
∑			cos2 n .
n=1	3 n5 −n +1

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∑∞ 2n n2 +1

n=1 (n +1)! .

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

	∞	1
	Коши: ∑				.
		(n + 4)ln	2	(2n +1)
	n=1
					∞	n
						(−1)
	4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑						.
					n=3	n 4 2n +3

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞	1
суммы ряда: ∑(−1)n+1			, ε =10−3 .
	(2n)	3
n=1
			∞		x	n
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑							.
					(n +1)3
			n=1 3n

7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ (x +3)n .

n=1 n ln n

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом вычислении: f (x) = e−x3 , x0 = 0 , x1 = 2 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

	точность: 3 29 , ε =10−3 .
10.	Вычислить приближенно с точностью ε	значение			интеграла, разлагая
		0,2	1−cos x			−3
	подынтегральную функцию в степенной ряд:	∫			dx , ε =10		.
			2x	2
		0
	∞
11.	Вычислить сумму ряда: ∑n (n +1)xn+2 .

n=0

49

Вариант 26.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

	∞	n + n +1		1
	∑		sin		.
	n=1	4 n5 +3		n2 +1

	2. Исследовать				сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
	∞	n!			1
	∑			sin		.
		(2n)!
	n=2				n

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

	∞	2
	Коши: ∑	cos n	.
		2
	n=1	(n + 2)ln (n +3)
			∞	(−1)	n
	4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑					.
				(n +1)ln n
			n=2

5. Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

	∞		2n +1
	суммы ряда: ∑(−1)n			, ε =10−3 .
		n	3
	n=1		(n +1)
				∞	ln (n +1)
	6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑					xn .
				n=2	n +1

7.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ (xn+22n )n .n=1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = 16 + x2 , x0 = 0 , x1 = −1 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: ln 7 , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫2					dx		, ε =10−3 .
				4	256 + x	4
			0
∞	x	4n
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n			.
	n
n=1

50

Вариант 27.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

	∞	1		n +4
	∑		ln		.
		n2 +n −2
	n=2			n +3
					∞	n 3	n	2
	2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера: ∑					3				.
						(n +1)!
					n=1

3. Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

		4
	tg
∞			2
Коши: ∑	n				.
	ln n
n=2

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑∞ (−1)n sin32n 3n .п=1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞		(−1)	n
суммы ряда: ∑					, ε =10−3 .
	n	2		3)
n=1		(n +

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ lnnnxn .n=1

	∞	(x +1)	n
	7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑			.
		2n n2 +n +2
	n=1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = 25 + x , x0 = 0 , x1 = −2 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.	точность: ln 3 , ε =10−3 .		точностью ε
	Вычислить приближенно с				значение			интеграла, разлагая
					1,5		dx
	подынтегральную функцию в степенной ряд:				∫				, ε =10−3 .
						3	27 + x	3
					0
	∞		n−1
11.	Вычислить сумму ряда: ∑	x		.
			n
	n=1

51

Вариант 28.

∞			n +1
1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения: ∑				.
	n	2
n=1			+ln n

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∞	arcsin	n +1
		n2 +1
∑n=1			.
	(n +1)!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

		1		2
∞	e			n −1
Коши: ∑					.
	ln	2	(3n +1)
n=2
4. Исследовать				ряд	на	абсолютную	и	условную	сходимость:

∑∞ (−1)n+1 3nn+1 n .

n=1

5. Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

1

суммы ряда: ∑(−1)n+1

, ε =10−3 .

2

n=1

3n

∞

x

n

6. Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

4

n

2

n

n=2

n ln

∞

n

n

(x +2)

7. Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

n=1

n4 +1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = 3 125 + x , x0 = 0 , x1 = 5 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

точность: ln 6 , ε =10−3 .

10. Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

0,2

подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫ e−3x2 dx , ε =10−3 .

0

∞xn−2

11.Вычислить сумму ряда: ∑(n −1)! .n=1

52

Вариант 29.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

	∞	tg 1	n
	∑			.
		n2 +arctgn
	n=1

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
∑∞ 3n (n3 +1) .
n=1	n!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

	∞				n	3	+1
	Коши: ∑							.
		(	n	4	)
	n=1
					+1 ln (n +2)
								∞		n
									(−1)
	4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑										.
									3
								n=1	n +	2

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

(−1)

n

суммы ряда:

∑

,

ε =10−3 .

n!(n +2)

n=1

∞

x

2n

6.

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

2n (n +

2)

3

2

n=1

∞

(x +2)

n

7.

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

.

(n +3)ln (n +3)

f (x)

n=1

x0 . Найти

8.

Разложить функцию

в ряд Тейлора в окрестности точки

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x)

в точке x1 ,

оставляя в

разложении только

n членов. Оценить погрешность,

допускаемую при этом

вычислении:

f (x) = ln (x + 2),

x0 = −1 , x1

= −1,5 ,

n = 4 .

9.

Вычислить

приближенно

с

заданной

точностью

ε

значение

функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд.

Указать

N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.

точность:

cos 20° , ε =10−3 .

ε

Вычислить приближенно

с

точностью

значение

интеграла,

разлагая

0,1 ex2 −1

−3

подынтегральную функцию в степенной ряд:

∫

dx ,

ε =10

.

x

0

∞

x

3n−1

11.

Вычислить сумму ряда: ∑

.

n!

n=1

53

Вариант 30.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	arctg	2	n
∑				.
n=1	4 n5 + n +1

2.Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера: ∑∞ (nn+41n )! .n=1

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞	1
Коши: ∑				.
	(n +4)ln	2	(n +2)
n=1
				∞		(−1)			n
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑										.
						2			)
				n=1 ln		(	n
								+1

5. Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞		(−1)	n
суммы ряда: ∑					, ε =10−3 .
	n	3		3)
n=1		(n +

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑(n +x1n)3n−1 .∞n=1

∞	(n −1)(x +3)n
7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑	(n −2)	2	.
n=1			3n

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом вычислении: f (x) = ln (x −1), x0 = 2 , x1 = 2, 5 , n = 5 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.

точность: cos19° , ε =10−4 .

точностью ε

Вычислить приближенно с

значение

интеграла,

0,1 e4 x3

−1

−3

подынтегральную функцию в степенной ряд:

∫

dx , ε =10

x

2

0

∞

x

n−3

11.

Вычислить сумму ряда: ∑

.

n=1 (n +1)!

разлагая

.

54