- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
- •ПО ТЕМЕ 4
- •Образец типового расчета
- •Решение типового варианта
- •Справочный материал
- •Правила дифференцирования
- •Задачи 1 ÷ 9.
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Решение задачи 11
- •Задача 12
- •Справочный материал
- •Задача 13
- •Справочный материал
- •Задача 14
- •Справочный материал
- •Задача 15
- •Справочный материал
- •Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Вариант № 6
- •Вариант № 7
- •Вариант № 8
- •Вариант № 9
- •Вариант № 10
- •Вариант № 11
- •Вариант № 12
- •Вариант № 13
- •Вариант № 14
- •Вариант № 15
- •Вариант № 16
- •Вариант № 17
- •Вариант № 18
- •Вариант № 19
- •Вариант № 20
- •Вариант № 21
- •Вариант № 22
- •Вариант № 23
- •Вариант № 24
- •Вариант № 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
Вариант № 9
Найти производные функций ( задания 1÷9 ).
1. y = |
|
4 +3x3 |
. |
x3 |
|
||
|
(2 + x3 )2 |
2.y = ln(ex + ex −1) +arsin e−x .
|
y = ln |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 2 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
y = (1 + x) arctg |
x − |
x . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
y = |
1 |
arctg x −1 + |
x |
|
x −1 |
. |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 −2x +3 |
|
|
|||
6. |
y = ln( x + |
1 + |
x |
2 |
) |
− |
1 + x 2 |
. |
|||||
|
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
y = |
5 x |
( 2 sin 2 x + cos 2 x ln 5) |
. |
|||||||||
|
|
|
4 + ln 2 |
5 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
y = arccos |
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
1 + 2x2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.y = (tg x)4ex .
10. |
Вычислить |
|
приближенно |
значение y = |
1 |
|
в точке |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x =1,016 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + x +1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dy |
|
d |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11. |
Найти |
|
|
и |
|
|
|
|
для параметрической функции |
x = arctg |
e . |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x), |
|
y = et +1 |
||||
12. |
Найти |
y′ |
|
и |
|
|
y′′ |
для |
функции |
|
заданной |
неявно: |
|||||||
|
x3 + y3 −3xy = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13. |
Найти |
|
наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
||||||||||||
|
y = 3 2( x +1)2 (5 − x) −2 |
при x [−3,3] . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
14. |
Исследовать |
|
|
|
|
характер |
|
|
|
поведения |
|
функции |
|||||||
|
y = 4x − x2 +( x −2) sin( x −2) в точке xo |
= 2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
15. |
Построить графики функций |
y = |
|
|
x |
, y = |
x |
3 − 5 x |
. |
|
|||||||||
16 |
− x2 |
5 |
− 3 x 2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
Вариант № 10
Найти производные функций ( задания 1÷9 ).
1. |
y = 3 |
(1 + x0,5 )0,5 |
. |
||
|
|
x1,5 |
2. y = x + 8 x .
1 + e4
3.y = ln tg( π4 + 2x ) .
4. y = |
x − 3 |
6 x − x 2 + arcsin |
|
2 |
|
5.y = (3x2 −4x) 9x2 −12x +(3x
6. |
y = 1 |
− 3x − 2 x2 + |
3 |
arcsin |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
7. |
y = arctg |
2sin x |
. |
|
|
|
|
9cos2 x −4
2x −1 .
− 4)4 arcsin 31x .
4 x + 3 .
17
8.y = arccos x2 −1 .
x2 2
9.y =(cos5x)ex .
10.Вычислить приближенно значение y = 4x −1 в точке x = 2,56 .
|
|
dy |
|
d 2 y |
|
1 |
− t |
|
11. |
Найти |
|
и |
|
для параметрической функции x = ln |
1 |
+ t . |
|
dx |
dx2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 − t |
2 |
|
|
|
|
|
|
y = |
|
||
12. |
Найти |
y′ |
и |
y′′ для функции y(x), заданной |
|
неявно: |
x3 +ln y − x2ey = 0 .
13. |
Найти |
|
наибольшее |
и |
|
наименьшее |
значения |
||||||
|
y = 2 x 2 |
+ |
108 |
− 59 при x [2,4] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
Исследовать характер поведения |
функции |
|
y = x 2 + 2 ln( x + 2 ) в |
|||||||||
|
точке xo = −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15. |
Построить графики функций |
y = |
x2 |
−6x + 4 |
|
, |
y = 3x +1 + |
12 |
|
. |
|||
|
3x + 2 |
x − |
5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
Вариант № 11
Найти производные функций ( задания 1÷9 ).
1. |
y = |
x6 |
+ x3 − 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
2. |
y = x −3ln 1 + e |
6 |
1 |
+ e |
6 |
−3arctg e 6 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
y = ln 4 |
1 + 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
y = 6 arcsin |
x |
− |
6 + x |
|
x(4 − x) . |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
y = ln 1 + −3 + 4x + x2 |
+ |
|
|
2 |
4x + x2 . |
||||||||||
|
|
|
|
2 − x |
|
|
|
|
|
2 − x |
|
|
|
6.y = (4 + x)(1 + x) + 3ln( 4 + x + 1 + x ) .
7.y = arctg 2 tg x .
1− tg x
8.y = ln ( cos 2 x + 1+cos4 x ) .
9.y = x sin x tg x .
10.Вычислить приближенно значение y = x7 в точке x =1,996 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −t |
4 |
|
|
|
|
dy |
|
|
d |
2 |
y |
|
|
|
|
x |
= ln |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
Найти |
|
|
и |
|
|
|
для параметрической функции |
|
|
|
(1 −t 2 ) . |
|||||||
dx |
|
dx |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 + t |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
для функции y(x), заданной неявно: |
|
x |
|
|
|
|
||||||
12. |
Найти y′ |
и y′′ |
a |
|
=(xy)a . |
|
|||||||||||||
y |
|
||||||||||||||||||
13. |
Найти |
|
наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
||||||||||||
|
y = 3 − x − |
|
|
4 |
|
при x [−1,2]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(x + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.Исследовать характер поведения функции y = x2 +4x +cos2 ( x +2) в точке xo =−2.
|
Построить графики функций y = |
2 − x2 |
, y = xe |
− |
x2 |
|
|
15. |
2 . |
||||||
9x2 −4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
35
Вариант № 12
Найти производные функций ( задания 1÷9 ).
1. |
y = |
(x2 |
−2) 4 + x2 |
. |
|
24x3 |
|||
|
|
|
|
2.y = x + 1 +1e x −ln(1 + e x ) .
3. |
y = x + |
1 |
ln( x − |
|
2 ) + a3x . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
x + |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
y = |
1 |
|
1 |
−1 − arccos x . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
x2 |
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
y = |
x |
2 |
+17 arctg(x −4) |
|
|
|
+ |
x |
2 |
|
|||
|
−ln x −4 |
|
−8x . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
y = ln |
|
x2 − x +1 |
+ 3 arctg |
2x −1 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
x |
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
y = |
6x (sin 4x ln 6 − |
4cos4x) |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
16 +ln2 |
6 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.y =ln(x + 1+x2 ) − 1+x2 arctgx .
9.y = (x3 + 4)tg x .
10. |
Вычислить приближенно y = 3 x в точке x =8,24 . |
|
|
|
||||||
|
|
dy |
|
d |
2 |
y |
x = |
1 −t2 |
|
|
11. |
|
|
|
|
t |
|
|
|||
Найти |
|
и |
|
|
|
для параметрической функции |
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dx |
|
dx2 |
y = |
1 −t |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
Найти y′ и y′′ для функции y(x), заданной неявно: |
x y = y x . |
|||||||
13. |
Найти наибольшее и наименьшее |
значения y = 3 |
2x2 (x −3) при |
||||||
|
x [−1,6]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
Исследовать характер поведения функции |
y = sin2 ( x +1) − 2x − x2 в |
|||||||
|
точке xo = −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
Построить графики функций y = |
|
x |
|
, y = |
4x2 −3x |
|
. |
|
x2 |
−4 |
4x2 −1 |
|||||||
|
|
|
|
36