c		( c ≠ 0 ), эквивалентная	f (x) при x → ∞, где k - порядок
	xk
б. м.			f (x) относительно б. м.		1	.
					x

Свойства главных частей б. м.

1)Главная часть произведения б. м. функций равна произведению главных частей сомножителей.

2)Главная часть суммы б. м. одного порядка равна сумме главных частей слагаемых, за исключением случая разности эквивалентных б. м.

3)Пусть α(x)= f (x)β(x), где α(x) и β(x) - б. м. в точке x0

и lim f (x)= c ( c ≠ 0 , c ≠ ∞). Тогда x→x0

α(x) ~ c β(x).
	x→x0
Решение задачи 2
а) Вычислим предел	f (x) = arctg2	(4 3	x + x2 + x3 )	при
	1

x →0 :

lim f1(x)= lim arctg2 (4 3 x + x2 + x3 ) = 0 .
x→0	x→0
Следовательно,	f1(x) является б. м. функцией в точке x = 0 .

Поэтому главную часть будем искать в виде c xk . Для ее нахождения воспользуемся таблицей эквивалентных б. м.:

arctg2 (43 x + x2 + x3 ) ~ (43 x + x2 + x3 )2 .

x→0

Поскольку сумма б. м. функций разного порядка эквивалентна б. м. меньшего порядка, имеем соотношение

(43 x + x2 + x3 )2 ~ (43 x )2 =16x 23 . x→0

16

Таким образом, главной частью б. м. f1(x) в точке x = 0

является б. м.

16x23 , имеющая

относительно

x порядок

k =

2

.

1

3

f2 (x)= 3 1+sin x −1 при x →0 :

б) Вычислим предел

lim (3 1+sin x −1)= 0 .

x→0

Следовательно, f2 (x) является

б. м. функцией в точке

x = 0 . Поэтому главную часть также будем искать в виде c xk :

1

1

1

3 1 + sin x −1 = (1 + sin x)

3

−1

~

sin x ~

x .

x→0

3

x→0

3

Главной частью б. м.

f2 (x) в точке x = 0 является б. м.

1 x ,

3

порядок которой k2 =1.

f1(x) и

f2 (x),

Сравнив порядки б. м. функций

видим,

что

k2 > k1 . Отсюда следует, что f2 (x)

есть б. м. более высокого

порядка, чем б. м.

f1(x).

Задача 3( а ÷ в )

Найти производные функций:

а) y = tg e x (x5 +1),

б) y =

x

−1 sin 1

+ (x2 +18) cos x ,

3

x

в) y =

x3

−

x −1

.

ln(5x

+ tg x)

17

f (x), имеющая конечную производную в каждой

Справочный материал

Пусть функция f (x) задана на некотором интервале (a, b), и точка x0 (a, b). Если приращение аргумента x в точке x0

таково, что x0 + x (a, b),		то	приращение функции
y = f (x0 + x)− f (x0 ).	f (x) в точке
Производной функции			x0 называется предел
отношения приращения	функции	y	к	вызвавшему его
приращению аргумента	x при условии, что			x стремится к

нулю (если этот предел существует и конечен).				dy .
Производную обозначают f ′(x0 ), y′, y′x или
Таким образом, по определению				dx
		y
y′ = f ′(x0 )=	lim		или
	x→0	x	x)− f (x0 )
y′ = f ′(x0 )= lim	f (x0 +				.
x→0			x

При вычислении производных пользуемся известными правилами дифференцирования, а также формулами производных основных элементарных функций, приведенными в таблице.

Функция

точке интервала (a, b), называется дифференцируемой на этом

интервале, а операция нахождения производной – дифференцированием.

Правила дифференцирования

1.(c)′ = 0 ;

2.(f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g′(x);

3.(f (x) g(x))′ = f ′(x) g(x)+ f (x) g′(x);

18

				′			′
4. (c f (x))
						= c f (x);
		f (x)		′			′	′
					=		f (x) g(x)− f (x) g (x)
5.										;
		g(x)					g 2 (x)

6. y′x = (f (u(x)))′x = fu′ u′x .

Таблица производных основных элементарных функций

(xα)′ = αxα−1

(x)′ =1 ; (x2 )′ = 2x

	(	x )′ =			2		1		x
		1 ′					1
			= −
							x		2
	x
	(ex )′ = ex
	(a x )′ = a x ln a
			′		1
	(ln x)			=
						x
	(loga			x)′ =					1
									x ln a

(sin x)′ = cos x

(cos x)′ = −sin x

′

1

(tg x)

=

cos2 x

′

1

(ctg x)

= −

sin2 x

(arcsin x)′ =

1

1 − x2

(arc cos x)′ = −

1

1 − x2

′

1

(arctg x) =

1+ x2

′

1

(arcctg x) = −

1+ x2

(sh x)′

= ch x

(ch x)′

= sh x

′

1

(th x)

=

ch2 x

(cth x)′ = − 1 . sh2 x

19