- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 2
- •Задача 1
- •Справочный материал
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •Теорема 3
- •Следствие
- •Теорема 4
- •Определение
- •Действия на расширенной числовой оси
- •Сложение
- •Умножение
- •Деление
- •Решение задачи 1а
- •Решение задачи 1б
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Свойства эквивалентных б. м.
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Определение 6
- •Свойства эквивалентных б. б.
- •Решение задачи 1в
- •Решение задачи 1г
- •Решение задачи 1д
- •Решение задачи 1е
- •Задача 2
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Свойства главных частей б. м.
- •Решение задачи 2
- •Задача 3( а ÷ в )
- •Справочный материал
- •Правила дифференцирования
- •Таблица производных основных элементарных функций
- •Решение задачи 3а
- •Решение задачи 3б
- •Решение задачи 3в
- •Задача 4
- •Справочный материал
- •Решение задачи 4
- •Задача 5
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Теорема
- •Свойства непрерывных функций
- •Следствие
- •Классификация точек разрыва
- •Определение 6
- •Определение 7
- •Решение задачи 5
- •Задача 6
- •Справочный материал
- •Решение задачи 6
Решение задачи 3а
Производную |
от |
y = arcsin |
1 − 24 x |
вычислим, |
используя |
|||||||||||||||||||||||||||
правило дифференцирования сложной функции. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2 |
4 x ′ |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 − |
2 |
4 x ′ |
|||||||||||
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − (1 − 24 x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
(1 − 24 x )′ = 1 |
|
|
|
1 |
|
(− 24 x )4 ln 2 , |
||||||||||||||||||
|
|
24 x 2 1 − 24 x |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
4x 2 1 − 24 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y′ |
|
|
|
|
|
|
1 − |
2 |
4 x |
= |
|
1 |
|
|
1 |
|
(− |
2 |
4 x |
)4 ln 2 . |
||||||||||||
= arcsin |
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 − 24 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 3б |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Найдем производную |
|
|
y = |
x −1 sin |
1 +(x2 +18) |
cos x . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Производная суммы двух функций равна сумме их |
||||||||||||||||||||||||||||||||
производных, поэтому |
|
|
|
|
|
1 ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
−1 sin |
+((x |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
= |
|
|
|
|
|
2 |
+18) cos x ). |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Каждое |
|
слагаемое |
|
|
|
дифференцируем |
|
|
по |
|
|
правилу |
||||||||||||||||||||
дифференцирования произведения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y′ = |
|
|
x |
− |
|
′ |
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
1 ′ |
+ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin |
|
|
+ |
|
|
−1 sin |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
+ (x2 +18)′( |
|
cos x )+(x2 +18)( |
cos x )′, тогда |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
+18) |
|
||||
|
sin |
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y′ = |
|
|
|
x |
+ |
|
−1 cos |
− |
|
|
|
cos x + |
(−sin x). |
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
3 |
|
3 |
x |
|
|
+2x |
2 |
cos x |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
Решение задачи 3в
Производную |
y = |
x3 |
− |
x −1 |
ищем по правилу |
|
ln(5x + tg x) |
||||||
|
|
|
дифференцирования частного двух сложных функций, и ее можно записать в виде:
y′= |
(x3 − |
x −1)′ln(5x + tg x) −(x3 − |
x −1)(ln(5x + tg x))′ |
. |
||||
|
|
|
||||||
|
|
(ln(5x + tg x))2 |
|
|
|
|||
Найдем производную числителя (x3 − |
x−1)′ как производную |
|||||||
разности двух функций. |
|
|
|
|
|
|
||
(x3 − x −1)′ = (x3 )′ − |
1 |
(x −1)′ = 3x2 − |
1 |
1 . |
||||
|
|
2 |
x −1 |
2 |
x −1 |
|
|
|
Функция |
ln(5x + tg x) – |
сложная. |
Поэтому |
производную |
найдем, используя правило дифференцирования сложной функции.
(ln(5x + tg x))′ = |
1 |
(5x + tg x)′ = |
|
1 |
|
+ |
1 |
|
|||
|
|
|
5 |
|
, |
||||||
5x + tg x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
5x + tg x |
|
cos2 x |
|||||
(ln(5x + tg x))′ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
5 + |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
5x + tg x |
|
cos2 x |
|
|
|
Подставим вычисленные производные в формулу для производной частного и запишем производную от заданной функции
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
− x −1) |
|
|
|
3x2 |
− |
|
ln(5x + tg x) − |
|
5 |
+ |
|
|
(x3 |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 x −1 |
|
|
5x + tg x |
|
|
cos2 |
|
|
|
|
y′ = |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
(ln(5x + tg x))2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4
Вычислить производную второго порядка: y = arcsin x .
21