Лекция 2 Определители
.doc
Лекция 2. определители
-
Определители второго порядка
-
Определители третьего порядка
-
Алгебраические дополнения и миноры
-
Разложение определителя по строке или столбцу
-
Свойства определителей
-
Обратная матрица
-
Свойства обратной матрицы
1. Определители второго порядка
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.
Определитель – это число, которое считается по определенным правилам. Порядок определителя – это порядок квадратной матрицы. Если для задания матриц использовались круглые скобки, то в теории определителей используют прямые скобки.
Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило его вычисления. Обозначения:
-
Дана матрица . Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по правилу:
.
Пример 1. .
2. Определители третьего порядка
-
Дана матрица . Определителем третьего порядка называется число, вычисляемое по правилу:
В каждом произведении нет чисел из одного столбца или одной строки.
Приведем схему для запоминания порядка получения слагаемых в определителе.
Произведение чисел на одной диагонали берется со знаком «+» (это главная диагональ матрицы), а на другой – с противоположным знаком.
Пример 2.
3. Алгебраические дополнения и миноры
Для вычисления определителей порядка больше третьего применяют другие способы вычисления.
-
Минором элемента определителя называется определитель , полученный из определителя вычеркиванием -ой строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент .
Пример 3. Минор определителя есть .
-
Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор , умноженный на :
.
Полезно запомнить, что и .
Пример 4. В примере 3 алгебраическое дополнение
.
4. Разложение определителя по строке или столбцу
Вычисление определителя -го порядка можно свести к вычислению определителей порядка , используя следующие формулы.
-
Разложение определителя по -й строке:
Это число равно сумме произведений элементов любой -й строки на их алгебраические дополнения.
Пример 5. Вычислить определитель третьего порядка разложением по первой строке.
Решение
-
Разложение определителя по -му столбцу:
Это число равно сумме произведений элементов любого -го столбца на их алгебраические дополнения.
Независимо от способа разложения всегда получается один и тот же ответ.
5. Свойства определителей
1. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется: .
Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для столбцов.
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Например, .
3. Определитель равен нулю, если:
а) он имеет нулевую строку (столбец) ;
б) он имеет пропорциональные (одинаковые) строки (столбец) .
4. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя. Например, .
5. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.
Например, .
6. Если в определителе каждый элемент строки есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей:
.
7. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц:
.
8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
.
6. Обратная матрица
Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы.
-
Если при умножении квадратных матриц и в любом порядке получается единичная матрица (), то матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , а матрица - обратная для матрицы .
Обозначается обратная матрица , то есть .
Очевидна аналогия с числами: для числа 2 число ½ есть обратное, так как . Именно поэтому матрица, обратная к А, обозначается .
Теорема «Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы». Для того чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был не равен нулю.
Правило нахождения обратной матрицы
0) Смотрим, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы не существует; если квадратная, то переходим к пункту 1.
1) Вычисляем определитель матрицы : если он не равен нулю, то обратная матрица существует: ; если равен нулю, то обратной матрицы нет.
2) Для каждого элемента матрицы вычисляем его алгебраическое дополнение .
3) Составляем матрицу из алгебраических дополнений, которая затем транспонируем: .
4) Каждый элемент матрицы делим на определитель : Получаем матрицу, обратную данной.
7. Нахождение обратной матрицы для матриц второго порядка
Пример 6. Дана матрица . Найти обратную матрицу.
Решение.
Проверка. Убедимся, что найдена действительно обратная матрица. Найдем произведение матриц и .
8. Свойства обратной матрицы
1. ,
где А и В – невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка.
2. .
3. .
4. .
Контрольные вопросы
-
Что называется определителем второго порядка?
-
Как вычислить определитель третьего порядка?
-
Как вычислить определитель 3 порядка по правилу треугольников?
-
Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя? Приведите примеры для определителей 2 и 3 порядков.
-
Напишите разложения определителя третьего порядка по элементам произвольной строки и произвольного столбца.
-
Сформулируйте основные свойства определителей.
-
В каком случае определители равны нулю? Приведите примеры.
-
Представьте определитель в виде суммы двух определителей.
-
Заполните пропущенные места так, чтобы значения определителей были одинаковы: и .
-
Запишите определитель третьего порядка треугольного вида. Как его вычислить?
-
Какая матрица называется обратной для данной матрицы?
-
Для любой ли квадратной матрицы существует обратная?
-
Пусть . Будут ли матрицы и взаимно обратными?
-
При каких значениях параметра существует матрица, обратная матрице ?
-
Запишите формулу для нахождения обратных матриц 2 и 3 порядков.
-
Сформулируйте правило нахождения обратной матрицы.