Лекция 1 Матрицы
.doc
Модуль 1. линейная алгебра
Лекция 1. Матрицы
-
Матрицы и их виды
-
Операции над матрицами
-
Свойства операций над матрицами
1. Матрицы и их виды
Матрицей размерности называется таблица чисел, расположенных в строках и столбцах:
,
Матрицы обозначаются латинскими буквами А, В, С, …
Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.
Каждый элемент матрицы А имеет два индекса - номер строки, - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент .
Для матриц используют обозначение или , .
Пример 1. Матрицы
Матрица-строка: .
Матрица-столбец: .
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов (), называется квадратной, иначе матрица называется прямоугольной.
Элементы квадратной матрицы , для которых , называются диагональными, а диагональ матрицы, на которой они находятся, - главной диагональю.
Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны , а остальные элементы равны :
.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме диагональных, равны 0, называется диагональной:
.
2. Операции над матрицами
1. Равенство матриц.
Матрица называется равной матрице , если они одинаковой размерности и их соответствующие элементы равны.
2. Транспонирование матриц.
Если элементы каждой строки матрицы строки записать в том же порядке в столбцы матрицы , то матрица называется транспонированной матрицей. Она обозначается .
.
Пример 2. Дана матрица . Получить матрицу .
Решение.
3. Сложение (вычитание) матриц.
Суммой (разностью) матриц и одинаковой размерности называется матрица , которая имеет ту же размерность, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц и : .
4. Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы любой размерности на произвольное число называется матрица той же размерности, у которой каждый элемент равен произведению элементов на число : .
Пример 3. Дана матрица . Найти , если .
Решение.
Матрица называется противоположной для матрицы .
5. Умножение матриц.
Произведением матрицы на матрицу называется матрица , удовлетворяющая следующим условиям:
-
матрица существует, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы ;
-
число строк матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов матрицы равно числу столбцов матрицы ;
-
каждый элемент матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на элементы -ого столбца матрицы :
.
Пример 4. Даны матрицы и . Найти произведение .
Решение.
№ строки № столбца
, и так далее.
,
,
,
.
Итак, матрица .
Операции деления для матриц нет.
6. Возведение матрицы в степень.
-ой степенью матрицы называется такая матрица, которая получена умножением матрицы саму на себя раз:
.
3. Свойства операций над матрицами
Свойства операции транспонирования матриц.
Свойства операции сложения матриц
-
- коммутативность.
-
- ассоциативность.
-
– дистрибутивность относительно сложения матриц.
-
– дистрибутивность относительно сложения чисел.
Свойства умножения матрицы на число
-
;
-
;
-
;
-
.
Свойства операции умножения матриц
-
- матрицы не перестановочны относительно умножения, даже если определены оба произведения и . Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
-
,
-
,
-
дистрибутивность.
-
дистрибутивность.
-
ассоциативность.
-
Если определено произведение , то определено и произведение и выполняется равенство , где индексом обозначается транспонированная матрица.
Контрольные вопросы
-
Дайте определение матрицы и укажите ее виды.
-
Как проводятся линейные операции над матрицами - сложение матриц, умножение на число?
-
Даны матрицы . При каких условиях на определены матрицы ?
-
Как умножить матрицу на матрицу? Запишите условие, которому должны удовлетворять первая и вторая матрицы-сомножители.
-
Как найти любой элемент произведения матриц?
-
Даны матрицы . При каких условиях на определены матрицы ?
-
Запишите свойства суммы и произведения матриц.
-
Какая матрица называется транспонированной к данной? Составьте матрицу и транспонируйте ее. Какова ее размерность? Запишите свойства операции транспонирования.
-
Какая матрица называется единичной? Нулевой? Приведите примеры.
-
Запишите элементы матрицы и элементы матрицы .