Решения задач ЕГЭ

Решение

	mv2	+ mg = P;	v =	R(P − mg)	=	5(2100 − 700)	=10	м	;
	R			R		70		с

С3. На диаграмме представлены изменения давления и объёма идеального одноатомного газа. Какое количество теплоты было получено или отдано газом при переходе из состояния 1 в состояние 3?

Решение

1.

Изменение внутренней энергии при

переходе газа из состояния 1 в состояние

2:

p V

= νRT ;

T = p1V1 ;

Рис. 7.3. Изменение состояния газа

1

νR

1 1

1

p2V2 = νRT2 ;

T = p2V2

;

2

νR

U

=

i

νR(T − T )=

3 (p V − p V )

=1200Дж;

1→2

2

2

1

2

2 2

1 1

2.

Работа газа на перемещении 1 → 2:

A1→2

= (p1 − p1 )(V2 − V1 )= 400Дж;

3.

Изменение внутренней энергии на переходе 2 → 3:

T =

p3V3

;

U

= 3 νR(T − T )=

3 V

(p

− p

)= −900Дж ;

νR

3

2→3

2

3

2

2 2

3

2

4.

Полученная газом теплота:

Q = U1→2 + A1→2 − U2→3 = 700 Дж;

С4. При коротком замыкании выводов гальванического элемента сила тока в цепи Im = 2 А. При подключении к выводам элемента лампочки с электрическим сопротивлением R = 3 Ом сила тока в цепи I = 0,5 А. Определить внутреннее сопротивление источника и ЭДС гальванического элемента.

Im = ε;

Решение

ε = Imr;

IR

2

5

r

r =

=

=1 Ом;

ε = 2В;

Imr

I =

ε

I =

;

Im − I

12

− 2

;

R + r

R + r

С5. Катод фотоэлемента с работой выхода А = 4,42 10 − 19 Дж освещается светом с длиной волны λ = 300 нм. Вылетающие с фотокатода электроны попадают в однородное магнитное поле с индукцией В = 7,87 10 − 4 Тл перпендикулярно линиям индукции этого поля. Чему равен максимальный радиус окружности R, по которой движутся электроны?

Решение

1. Из уравнения внешнего фотоэффекта:

171

hc

hc

mv2

hc

2

+ A

м

λ

2

6

λ

=

+ A;

mv

= 2

λ

+ A ;

v =

≈1,1

10

; ;

2

m

с

2. Из условия нахождения электрона в магнитном поле на круговой орбите:

	evB =	mv2	;	eB =	mv	;	R =	mv	≈	9,1 10−31 1 106	≈ 7,2 10−3 м;
		R			R			eB		1,6 10−19 7,87 10−4

С6. Вычислить массу радиоактивных продуктов деления ядер урана, накапливающихся в ядерном реакторе тепловой мощностью Р = 3 109 Вт за сутки,

принимая выделение энергии при делении ядра 23592 U равным ε = 200 МэВ.

Решение

1. Энергия, выделяемая реактором за сутки:

E= Pτ = 3 109 3600 = 2,592 1014 Дж;

2.Энергия, освобождающаяся при единичном акте деления ядра 23592 U :

ε= 200 1,6 10−13 Дж;

3.Количество ядер урана распавшихся за сутки:

N= Eε ≈ 8,1 1024 ;

4.Масса распавшегося вещества:

m = AN ≈ 235 1,66 10−27 8,1 1024 ≈ 3,159кг;

172

Вариант 8

С1. Экспериментально установлено, что при температуре воздуха в комнате t1 = 29 0С на стенке стакана с холодной водой начинается конденсация паров воды из воздуха, если снизить температуру стакана до t2 = 27 0C. Определить относительную влажность воздуха. Почему конденсация паров воды в воздухе может начинаться при различных значениях температуры?

Решение

1. Абсолютная влажность воздуха в комнате численно равна массе водяных паров, содержащихся в единичном объёме воздуха при данной температуре:

f= mVП = ρH = 28,7 мг3 ;

2.Относительная влажность пара:

ϕ= p = 36 = 0,9 (90%); pH 40

3. Давление насыщенных паров зависит от температуры:

	μq		1		1
				−
	R		T
pH = p0e					T
			0			,

где μ − молярная масса, q − удельная теплота испарения, R − универсальная газовая постоянная, Т0 − нормальная термодинамическая температура, Т − текущая температура. При нагревании давление насыщенного водяного пара возрастает, поэтому и точка росы наблюдается при различных температурах.

4. Как показано ранее (вариант 3) пары и жидкости могут находиться в метастабильных состояниях. Метастабильное состояние, характеризующееся тем, что жидкость может быть перегрета, а пар переохлаждён, в зависимости, прежде всего, от наличия зародышей конкурентной фазы. В данном случае, конденсация начинается на зародышах в виде мельчайших капелек, которые в изобилии присутствуют в микротрещинах на поверхностях твёрдых тел, в частности на поверхности стакана. Так, например, дистиллированную воду при тщательной очистке и дегазации в лабораторных условиях можно нагревать до температур около 150 0С до наступления кипения. Тоже относится и к конденсации, в объёмах, лишённых зародышей конденсация может начинаться при меньших температурах.

173

С2. Человек массой m = 60 кг совершает на тележке вертикальную «мёртвую петлю». Каков радиус круговой траектории, если в нижней точке траектории при движении со скоростью v = 10 м/с сила давления на сидение тележки составляла P = 1800 Н?

Решение

	mv2	+ mg = P;		mv2	= P − mg; R =	mv2	=	60 100	= 5м;
	R			R		P − mg		1200

С3. На диаграмме представлены изменения давления и объёма идеального одноатомного газа. Какое количество теплоты было получено или отдано газом при переходе из состояния 1 в состояние 3?

Решение

1. Изменение внутренней энергии при переходе газа из состояния 1 в состояние

2:

Рис. 8.3. Изменение состояния газа

p V

= νRT ;

T

= p1V1

;

1

νR

1

1

1

p2V2 = νRT2 ;

T

= p2V2

;

2

νR

U

=

i

νR(T − T )=

3 V (p

− p )= −300Дж;

2

1→2

2 1

2 1

2

1

2. Работа газа на перемещении 2 → 3:

A2→3 = (p3 − p2 )(V3 − V2 )= 400Дж;

3. Изменение внутренней энергии на переходе 2 → 3:

T =

p3V3

;

U

=

3

νR(T − T )=

3

(p V − p V )=1200Дж;

2

3

νR

2

→3

3

2

2 3 3

2 2

4. Полученная газом теплота:

Q = −U1→2 + A2→3 + U2→3 =1300 Дж;

С4. Ядро водорода 21 Н − дейтерия движется в однородном магнитном поле

с индукцией В = 3,34 10 − 5 Тл перпендикулярно вектору индукции В по окружности радиусом R = 10 м. Найти скорость ядра.

Решение

1.Ядро дейтерия состоит из одного протона и двух нейтронов, поэтому заряд ядра q ≈ 1,6 10 − 19 Кл.

2.Масса ядра:

m≈ 2,0141 1,66 10−27 ≈ 3,3434 10−27 кг;

3.Условие нахождения ядра в магнитном поле на круговой орбите:

qvB = mv2	;		qB = mv	;	v = qBR	≈	1,6 10−19 3,34 10−5 10	≈1,6 104 м	;
R			R		m		3,3434 10−27	с

174

С5. Спектр наблюдается с помощью дифракционной решётки, имеющей N = 500 штрихов на миллиметр. При расположении решётки у глаз наблюдателя спектральная линия в спектре первого порядка наблюдается на расстоянии а = 9 см от щели в экране. Расстояние от решётки до экрана L = 40 см. Определить длину волны наблюдаемой спектральной линии.

Решение

1. Период дифракционной решётки:

d= N1 = 5 1105 = 2 10−6 м;

2.Условие главных максимумов дифракционной решётки:

dsin ϕ = mλ; m =1; sin ϕ =	a	;	d	a	= λ;	λ =	2 10−6	0,09	≈ 4,5 10−7 м;
	L			L			0,4

С6. Мировое потребление энергии всем человечеством составляет примерно ЕГ ≈ 4 1020 Дж в год. Если будет возможно освобождение собственной энергии вещества, то сколько килограммов его потребуется расходовать человечеству в сутки для удовлетворения своих потребностей в энергии?

Решение

1.Мировая суточная потребность энергии:

ЕС = 365ЕГ ;

2.Теоретическая величина необходимой массы, которая полностью, будучи превращенной, в энергию, удовлетворит суточную потребность:

Е	С	= mc2	;	m =	EC	=	EΓ	≈12,1 кг;
							365c2
					c2

3. Следует отметить, что знаменитое уравнение Е = mc2, якобы полученное Эйнштейном, на самом деле впервые было записано гениальным Оливером Хевисайдом в своём дневнике, за восемь лет до озарения, сразу после знакомства с рукописью электродинамической теории Джеймса Клерка Максвелла, рекомендованной к прочтению Генрихом Герцем. И появилось это уравнение исключительно применительно к электромагнитным волнам, которые действительно имеют обыкновение распространяться со скоростью света. Весьма проблематично даже предполагать, что материальные объекты в обозримом будущем могут быть разогнаны до субсветовых скоростей. Элементарные частицы не в счёт, они несут в себе явно выраженные волновые свойства. В этой связи задачу следует рассматривать как иллюстрацию к фантастическому роману.

175

Вариант 9

С1. Экспериментально установлено, что при температуре воздуха в комнате t1 = 23 0С на стенке стакана с холодной водой начинается конденсация паров воды из воздуха, если снизить температуру стакана до t2 = 12 0C. Определить относительную влажность воздуха. Почему конденсация паров воды в воздухе может начинаться при различных значениях температуры?

Решение

1. Абсолютная влажность воздуха в комнате численно равна массе водяных паров, содержащихся в единичном объёме воздуха при данной температуре:

f= mVП = ρH = 20,6 мг3 ;

2.Относительная влажность пара:

ϕ= p = 14 = 0,5 (50%); pH 28

3. Давление насыщенных паров зависит от температуры:

	μq		1		1
				−
	R		T
pH = p0e					T
			0			,

где μ − молярная масса, q − удельная теплота испарения, R − универсальная газовая постоянная, Т0 − нормальная термодинамическая температура, Т − текущая температура. При нагревании давление насыщенного водяного пара возрастает, поэтому и точка росы наблюдается при различных температурах.

4. Как показано ранее (вариант 3) пары и жидкости могут находиться в метастабильных состояниях. Метастабильное состояние, характеризующееся тем, что жидкость может быть перегрета, а пар переохлаждён, в зависимости, прежде всего, от наличия зародышей конкурентной фазы. В данном случае, конденсация начинается на зародышах в виде мельчайших капелек, которые в изобилии присутствуют в микротрещинах на поверхностях твёрдых тел, в частности на поверхности стакана. Так, например, дистиллированную воду при тщательной очистке и дегазации в лабораторных условиях можно нагревать до температур около 150 0С до наступления кипения. Тоже относится и к конденсации, в объёмах, лишённых зародышей конденсация может начинаться при меньших температурах.

176

С2. Человек массой m = 70 кг совершает на тележке вертикальную «мёртвую петлю». Какова скорость тележки в верхней точке круговой траектории радиусом R = 5 м, если в этой точке траектории сила давления на сидение тележки составляла P = 700 Н?

Решение

mv2

− mg = P;

mv2

= P + mg; R =

mv2

=

70

100

= 5м;

R

R

P + mg

1400

С3. На диаграмме представлены из-

менения давления и объёма идеального

одноатомного газа. Какое количество те-

плоты было получено или отдано газом

при переходе из состояния 1 в состояние

3?

Решение

1. Изменение внутренней энергии при

переходе газа из состояния 1 в состояние

2:

Рис. 9.3. Изменение состояния газа

p V

= νRT ;

T

= p1V1 ;

1

νR

1 1

1

p1V2 = νRT2 ;

T

= p1V2 ;

2

νR

U1→2 = 2i νR(T2 − T1 )= 32 p1(V2 − V1 )= 3 104 Дж; 2. Работа газа на перемещении 1 → 2:

A1→2 = p1 (V2 −V1 )= 2 104 Дж; 3. Изменение внутренней энергии на переходе 2 → 3:

T3 = pν3RV3 ; U2→3 = 32 νR(T3 − T2 )= 32 V3 (p3 − p2 )= 9 104 Дж ;

4. Полученная газом теплота:

Q = U1→2 + A1→2 + U2→3 =14 103 Дж;

С4. При коротком замыкании выводов гальванического элемента сила тока в цепи Im = 12 А. При подключении к выводам элемента лампочки с электрическим сопротивлением R = 5 Ом сила тока в цепи I = 2 А. Определить внутреннее сопротивление источника и ЭДС гальванического элемента.

Im = ε;

Решение

ε = Imr;

IR

2

5

r

r =

=

=1 Ом;

ε =12В;

Imr

I =

ε

I =

;

Im − I

12

− 2

;

R + r

R + r

177

				С5. У самой поверхности воды реки
				летит комар, стая рыб находится на рас-
				стоянии h = 2 м от поверхности воды.
				Какое максимальное расстояние L до
				комара, на котором он ещё виден рыбам
				на этой глубине? Относительный пока-
				затель преломления света на границе
				раздела воздух − вода n = 1,33.
									Решение
				1. Лучи, падающие на поверхность
Рис. 9.5. Рыбки и комар				воды под углами, большими угла полно-
выходят:				го внутреннего отражения α0 из воды не
	1					1				0
sin α0 =		;		α0 = arcsin					≈ 49		;
	n
						1,33
2. Из прямоугольного треугольника АВС:					h
Lcosα0			= h;	L =			≈ 3м;
					cosα0

С6. Фотоэффект с поверхности некоторого металла наблюдается при частоте излучения νmin = 6 1014 Гц. Определить частоту падающего света, если вылетающие с поверхности металла фотоэлектроны полностью задерживаются сеткой, потенциал которой относительно металла составляет U = 3 В.

Решение

1. Соотношение между кинетической энергией электрона и величиной задерживающего потенциала:

Ke = m2ev2 = eU; 2. Работа выхода из заданного металла:

A= hνmin ;

3.Уравнение внешнего фотоэффекта:

	hν =	mv2	+ A = eU + hνmin ; ν =	eU	+ νmib ;
		2		h

ν = 1,6 10−19 3 + 6 1014 ≈1,33 1015 Гц; 6,61 1034

178

Вариант 10

С1. Экспериментально установлено, что при температуре воздуха в комнате t1 = 25 0С на стенке стакана с холодной водой начинается конденсация паров воды из воздуха, если снизить температуру стакана до t2 = 14 0C. Определить относительную влажность воздуха. Почему конденсация паров воды в воздухе может начинаться при различных значениях температуры?

Решение

1. Абсолютная влажность воздуха в комнате численно равна массе водяных паров, содержащихся в единичном объёме воздуха при данной температуре:

f= mVП = ρH =18,4 мг3 ;

2.Относительная влажность пара:

ϕ= p = 16 = 0,5 (50%); pH 32

3. Давление насыщенных паров зависит от температуры:

	μq		1		1
				−
	R		T
pH = p0e					T
			0			,

где μ − молярная масса, q − удельная теплота испарения, R − универсальная газовая постоянная, Т0 − нормальная термодинамическая температура, Т − текущая температура. При нагревании давление насыщенного водяного пара возрастает, поэтому и точка росы наблюдается при различных температурах.

4. Как показано ранее (вариант 3) пары и жидкости могут находиться в метастабильных состояниях. Метастабильное состояние, характеризующееся тем, что жидкость может быть перегрета, а пар переохлаждён, в зависимости, прежде всего, от наличия зародышей конкурентной фазы. В данном случае, конденсация начинается на зародышах в виде мельчайших капелек, которые в изобилии присутствуют в микротрещинах на поверхностях твёрдых тел, в частности на поверхности стакана. Так, например, дистиллированную воду при тщательной очистке и дегазации в лабораторных условиях можно нагревать до температур около 150 0С до наступления кипения. Тоже относится и к конденсации, в объёмах, лишённых зародышей конденсация может начинаться при меньших температурах.

179

С2. Человек массой m = 80 кг совершает на тележке вертикальную «мёртвую петлю». Каков радиус круговой траектории, если в верхней её точке сила давления на сидение тележки составляла P = 200 Н при скорости движения v = 7,5 м/с?

Решение

mg −

mv2

= P;

R =

mv2

=

80

7,52

≈ 6,56м;

2

mg − P

600

С3. На диаграмме представлены из-

менения давления и объёма идеального

одноатомного газа. Какое количество теп-

лоты было получено или отдано газом при

переходе из состояния 1 в состояние 3?

Решение

1. Изменение внутренней энергии при

переходе газа из состояния 1 в состояние

2:

Рис. 10.3. Изменение состояния газа

p V

= νRT ;

T

= p1V1

;

1

νR

1

1

1

p1V2 = νRT2 ;

T

= p1V2

;

2

νR

U

=

i

νR(T − T )

=

3 p (V − V )

= −9 104 Дж;

2

1→2

2

1

2

1

2

1

2. Работа газа на перемещении 1 → 2:

A

= p

(V − V )= −6 104

Дж;

1→2

1

2

1

3. Изменение внутренней энергии на переходе 2 → 3:

T =

p3V3

; U

=

3 νR(T − T )=

3 V (p

− p

)= −3 104 Дж ;

3

νR

2→3

2

3

2

2

2

3

2

4. Полученная газом теплота:

) = −18 104 Дж;

Q

= −(U

+ A

+ U

2→3

1→2

1→2

С4. При коротком замыкании выводов гальванического элемента сила тока в цепи Im = 20 А. При подключении к выводам элемента лампочки с электрическим сопротивлением R = 5,4 Ом сила тока в цепи I = 2 А. Определить внутреннее сопротивление источника и ЭДС гальванического элемента.

Im = ε;

Решение

ε = Imr;

IR

2 5,4

r

r =

=

= 0,6 Ом;

ε =12В;

I

m

r

I =

ε

I =

;

Im

− I

20 − 2

R + r

;

R

+ r

180