Решения задач ЕГЭ

на направление движения:

i=n

∑Fi(y) = may ; Fy − mg − FТр = may ;

i=1

Fy − mg −μF = may ; Fy = mg + μF + may ; Fy = 5 + 4 +1 =10H;

61. Лыжник в начале спуска имел скорость v0 = 2 м/с. Спустившись с горки, образующей с горизонтом угол α = 300, увеличил скорость до v1 = 12 м/с. Какова длина склона. Сопротивлением движению пренебречь.

				Решение
1. Ускорение лыжника:									м
mgsinα = ma;					a = gsinα = 5					;
									с2
2. Кинематика спуска:
v = v	0	+ aτ;			τ =	v − v	0	= 2c;
			aτ2			gsin α
x = v0t +
			2	;							Рис. 60. Лыжник на горе
					x = 4 +10 =14м;

62.Тело соскальзывает с наклонной плоскости высотой h = 3 м и длиной L

=5 м. Чему равно его ускорение, если коэффициент трения μ = 0,5?

Решение

1. Угол наклона плоскости к горизонту:

tgα = Lh ; α = arctg Lh = arctg 53 370 ;

2. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на направление движе-

	ния:		м
	mgsinα - μmgcosα = ma;	a = g(sinα - μcosα)=10(0,6 − 0,4)= 2		;
			с2
	63. Автомобиль массой m = 4 т дви-
	жется в гору с ускорением а = 0,2 м/с2.
	найти силу тяги, если синус угла накло-
	на горы sinα = 0,02, а коэффициент тре-
	ния μ = 0,04.
	Решение
	1. Уравнение второго закона Ньюто-
	на в проекции на направление движения
	автомобиля:	Рис. 63. Движение автомобиля в гору

21

i=n

∑Fxi = max ;

i=1

F −μmgcosα − mgsin α = ma; F = μmgcosα + mgsin α + a;

F= ma + mg(μcosα + sin α);

α= arcsin 0,02 ≈1,150 ;

F = 4 103 0,2 + 4 103 0,2(0,04 + 0,02);

F= 3,2 103 H;

64.Человек массой m = 70 кг находится в лифте, опускающемся со скоростью v = 1,2 м/с, с ускорением а = 2 м/с2, направленным вверх. Определить вес человека.

Решение

P= mg + ma = m(g + a) = 70(10 + 2) = 840H;

65.Некто поднимает себя вверх. Он принимается тянуть за веревку так, что сила его давления на пол люльки уменьшилась до 400 Н. Масса люльки 12 кг, масса гуманоида 72 кг. Чему равно ускорение люльки? Чему равна сила натяжения троса, на котором подвешен легкий блок?

Рис. 65. Натяжение троса

Решение

1. Пусть масса человека будет m1, а масса люльки m2, реакция опорной плоскости N. Уравнения второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось для маляра и люльки примут вид

m1a = T − m1g + N, m2a = T − m2g − N.

2. Ускорение проще всего найти, вычитая второе уравнение из первого

m1a −m2a = T −m1g + N −T + m2g + N, a(m1 −m2 )= 2N −(m1 − m2 )g,

a = 2N (−(m1 − m)2 )g =3,3 м/с2. m1 − m2

3. Натяжение троса, на котором подвешена люлька, определится как:

T = m1 (a + g) – N = 560 H.

4. Сила натяжения троса, на котором подвешен блок, будет равна удвоенному натяжению Т

Т0 = 2Т = 1120 Н.

66. Автомобиль массой m = 5 т движется с постоянной по модулю скоростью v = 36 км/ч по выпуклому мосту радиуса R = 100 м. Определить вес автомобиля при прохождении им верхней точки траектории.

Решение

r

mv

2

v

2

3

100

4

P

= mg −

= m g −

= 5 10

10

−

= 4,5 10

H;

R

R

100

22

67. Для измерения массы космонавта на орбитальной станции используется подвижное сиденье известной массы m0, прикрепленное к пружине. При одной и той же начальной деформации (сжатии) пружины пустое сиденье возвращается в исходное положение через время t0, если же на сиденье находится космонавт − через время t> t0. Какова масса космонавта?

Решение

1. Предполагается, очевидно, что на орбитальной станции создаётся искусственное тяготение, путём ращения станции вокруг собственной оси с некоторой угловой скоростью ω. Если испытательное кресло соединено с пружиной, то по её деформации

можно судить о исследуемой массе. При фиксированных значениях массы и частоты вращения стан- Рис. 67. «Взвешивание»

ции состояние равновесия наступит при равенстве силы упругости силе инерции. В этом случае второй закон Ньютона для пустого кресла и кресла с космонавтом можно записать так:

			2
kx1		= k a1t0		= m0a1,
			2
			a2t2
kx2		= k		= (m0 + m)a2
			2				.
2. После очевидных сокращений получим:
k	t02	= m0 , k			t2	= (m0 + m).
2				2

3. Деля уравнения, друг на друга, и разрешая полученный результат относительно массы космонавта, придём к окончательному соотношению:

m= m0 tt0 2 −1 .

68.Найдите ускорение грузов массами m1 и m2, а так же силы натяжения невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через идеальный блок.

Решение

1. Поскольку нить нерастяжима и невесома, то её натяжение во всех точках будет одинаковым, т.е. Т1 = Т2 = Т, кроме того, грузы за одинаковое время проходят одинаковые расстояния

y1 = a12t2 = y2 = a22t2 ,

т.е. движутся с одинаковыми ускорениями а1 = а2.

2. Второй закон Ньютона для движущихся тел Рис. 68. Ускорение грузов запишется следующим образом

m1g −T = m1a, m2g −T = m2a.

3. Поделив уравнения системы одно на другое, получим

23

m1g − m1a = m2g − m2a,	a = g	m1 − m2	.
		m1 + m2

4 Подставим далее значение ускорения в первое уравнение системы и разрешим его относительно натяжения Т

T = g 2m1m2 . m1 + m2

69. Диск вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω = 2 рад/с. На каких расстояниях от оси вращения тело, расположенное на диске, не будет соскальзывать, если коэффициент трения между телом и диском μ = 0,2?

			Решение
	1. Сила трения, удерживающая тело на
	вращающемся диске:
			FR = μmg ;
	2. Сила инерции, обусловленная криво-
	линейностью траектории движения тела:
Рис. 69. Тело на вращающемся диске	F	=	mv2		=	m(ωr)2	;
	i		r			r
3. Условие отсутствия скольжения тела по диску:
F ≥ F ; μmg ≥ mω2r; r ≤ μg					;
R i			ω2

70. Автомобиль массой m = 1000 кг движется со скоростью v = 16,7 м/с по дороге, профиль которой показан на рис. 2.171. Определить силу давления Р автомобиля на дорогу в точках A, B, C, D, если R = 200 м, α = 30о. Какова должна быть скорость автомобиля v0, чтобы он не оказывал давления на дорогу в точке D?

Решение

	1. В точке А на прямоли-
	нейном участке движения ав-
	томобиля			сила давления по
	величине будет равна нор-
Рис. 70. Давление, оказываемое автомобилем	мальной реакции связи
		PA = N = mg =104 H ;
		r		r

2. В точке В, когда автомобиль движется по закругленному участку траектории радиуса R к реальным силам добавится сила инерции, обусловленная возникновением нормального ускорения an

		mv	2		v	2			4
PB	= mg +			= m g +				=1,2 10		H;
		R			R

3. В точке С вектор ускорения свободного падения g составляет угол α с направлением вектора нормального ускорения an , поэтому:

		mv	2		v	2			4
PC	= mgcosα +			= m gcosα +				=1,1 10		H;
		R			R

24

Рис. 71. Устойчивость шариковой ручки

4. В точке D вектор нормального ускорения совпадает по направлению с вектором ускорения свободного падения:

		mv	2		v	2			3
PD	= mg −			= m g −				= 8,4 10		H;
		R			R

5. В точке D давление автомобиля на дорогу будет равно нулю при условии:

	mg −	mv2	= 0; v0 = gR 45 м/ с =162 км/ час;
		0
		R

71. Если нажимать пальцем на шариковую ручку, опирающуюся на твердую поверхность, одновременно наклоняя ее, то, пока ручка образует малый угол с перпендикуляром к поверхности, она будет послушно следовать за пальцем руки. Как только угол наклона ручки превысит некоторое максималь-

ное значение αmax, она выскользнет из-под пальца, как бы сильно или слабо ни нажимать на нее. Проведите эксперимент со своей ручкой и оцените коэффи-

циент трения между шариком ручки и поверхностью, на которую она опирается.

Решение

1. Для анализа условий равновесия ручки рассмотрим шарик, к которому приложены все действующие силы и реакции связи. Будем полагать далее, что F >> mg, это позволит силу тяжести в дальнейших расчётах не учиты-

вать. Сила трения в данном случае определится как

Fтр = μmg + μFcosα, или Fтр μFcosα .

2. Условие равновесия, в проекции на горизонтальную ось, примет вид

μFcosα ≥ Fsin α, μ = tgαmax .

3. Как видно из уравнения, скольжение шарика по бумаге, зависит от угла наклона ручки и коэффициента трения. Если лист бумаги положить на ровную горизонтальную поверхность, то скольжение начинается при α 200, коэффициент трения при этом равен μ 0,36.

72. Однородная лестница массой m и
длиной L опирается о стену, образуя угол α
с горизонтом. Найти момент силы трения
FТр, относительно точки О.
Решение
1. Сила трения относительно оси, прохо-
дящей через точку О перпендикулярно
плоскости чертежа, имеет отрицательный
момент, т.к. он стремится вращать лестницу
вокруг моментной точки по часовой стрел-	Рис. 72. Момент силы трения
ке.

2. Плечом силы является кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой, относительно которой определяется момент силы:

MZ (FТр )= −FТрLcosα ;

25

73. Балку длиной L = 10 м и массой m = 900 кг поднимают горизонтально на двух параллельных тросах. Найти силу натяжения тросов Т1 и Т2, если один из них укреплён на конце балки, а другой − на расстоянии х = 1 м от другого конца.

Решение

1. Определим линейную (погонную) массу балки

ξ =

m

= 90

кг

;

L

м

2. Ось, относительно которой будем

составлять уравнение моментов выберем,

проходящей через точку крепления второ-

го троса, тогда момент силы натяжения Т2

Рис. 73. Подъём балки тросами

в уравнении моментов будет нулевым, что

несколько упростит дело. Момент силы Т1

r

L − x

(L − x)2

Mz (P1 )= ξg(L − x)

= ξg

;

2

2

r

x

Mz (P2 )= −ξgx

;

2

Mz (T1 )= −T1(L − x);

−T

(L − x)+ ξg

(L − x)2

−ξg

x2

= 0 ;

1

2

2

T (L - x)= ξg

(L − x)2

−ξg

x2

= ξg(L2 − 2Lx + x2 − x2 );

1

2

2

2

T =

ξg(L2 − 2Lx)

4 103 H;

1

2(L − x)

T

= ξgL −T

= 5 103 H .

2

1

74. Вода массой m = 100 кг в водопаде скользит вдоль отвесной скалы, соприкасаясь с поверхностью s = 3 м2. Какое давление оказывает вода?

		F	Решение
	p =		; F = 0; p = 0;
		s

75. Цилиндр массой стоит вертикально на пружине в закрытом пенале, создавая давление на крышку N1 =20 H. Когда пенал перевернули, цилиндр стал давить на крышку с силой N2.= 40 H. Какова масса цилиндра?

Решение

	1. В данном случае на цилиндр наложены связи
	в виде торцов пенала и силы упругости пружины.
	Заменим связи соответствующими реакциями и
	будем рассматривать цилиндр как свободную точ-
	ку (все три силы имеют одну и ту же линию дейст-
	вия и являются скользящими векторами). Целесо-
Рис. 75. Цилиндр в пенале	образно все три силы прикладывать в центре масс

26

цилиндра и рассматривать условия именно его равновесия. Запишем уравнения равновесия на вертикальную ось для случаев a и b

(a) mg + N1 −Fk = 0; (b) mg − N2 + Fk = 0;

2. Сложим уравнения и определим массу цилиндра

2mg = N2 − N1; m = N22−gN1 1 кг.

76. В жидкости находится прямоугольная призма, размеры которой показаны на рисунке. Найдите сумму сил, действующих на переднюю и нижнюю грани призмы, если давление жидкости равно 2 105 Па. Чему равна сумма сил, действующих на призму?

Решение

1. Ввиду	незначительных
размеров призмы по сравнению с
предполагаемой	глубиной по-
гружения (Р = ρgh = 2 105 Па)		Рис. 76. Призма погруженная в жидкость
давление принимается постоян-
ным по высоте призмы, т.е.
	F = p a2	, F = p a2	,
	1	2

модуль равнодействующей этих, перпендикулярных сил определится теоремой Пифа-

гора	r	r
			=	F2	+ F2	= pa2	2 = 2000 2 Па .
	F	+ F
	1	2		1	2

2. В соответствии с законом Блеза Паскаля давление на элементарную площадку, находящуюся в жидкости не зависит от её ориентации. Применительно к призме, это означает, что сумма сил, действующих на грани должна быть равной нулю. Действи-

тельно, призма ведь неподвижна, поэтому
r	r	r	= 0,	F2	+ F2	=	r	.
F	+ F	+ F					F
1	2	3		1	2		3

77. Изменится ли производимое при помощи гидравлического пресса давление, если воду заменить более тяжёлой жидкостью, например, ртутью?

Решение

1. Принцип действия гидравлического пресса так же основан на проявлении закона Блеза Паскаля. Если между двумя поршнями, большим и малым поместить жидкость и при-

кладывать к поршням силы, оставляя систему Рис. 77. Гидравлический пресс в равновесии, то вследствие закона Паскаля

p = p0 +ρgh ;

p = p	2	; Fs = F s			2	,	F1	=	s1	,
1		1	1	2			F2		s2

т.е. действие малой силы на больший по площади поршень, способно инициировать большую силу на поршне с малой площадью.

27

2.Как видно из последних соотношений, плотность жидкости в уравнения не входит, поэтому замена жидкости на параметры пресса не повлияет.

3.Уравнение Бернулли лежит в основе действия гидравлических тормозов современных автомобилей, состоящих из относительно большого по площади поршня, привод которого соединён с педалью тормоза и одного или нескольких малых поршней, прижимающих фрикционные элементы к колодкам или дискам.

78.Будет ли разница в действии гидравлического пресса на Земле и на

Луне?

Решение

1. Земля и Луна ввиду неодинаковости масс и размеров отличаются величинами ускорения свободного падения, которое в уравнение пресса не входит

p1 = p2 ; F1s1 = F2s2 ,	F1	=	s1		;
	F
			s	2
	2

что указывает на то, что разницы в параметрах пресса не возникнет.

79. Два сообщающихся сосуда с различными поперечными сечениями наполнены водой. Площадь поперечного сечения узкого сосуда в n = 100 раз меньше, чем широкого. Сосуд малого сечения покрыт невесомым поршнем на который поставлен груз m1 = 1 кг. Груз какой массы m2 нужно положить на невесомый поршень второго сосуда, чтобы оба поршня находились в равновесии?

Решение

Рис. 79. Два сосуда

1. Заданную гидравлическую систему можно

рассматривать как гидравлический пресс

m1g

=

m2g

;

m1g

=

m2g

;

m =

m2

;

m

2

= m n =100 кг.

s1

s2

s1

ns1

1

n

1

80. Какая сила давления может быть получена на гидравлическом прессе, если к длинному рычагу, передающему давление на малый поршень, приложена постоянная сила F0 = 10 Н? Соотношение плеч рычага n = 9. Площади поршней равны: s1 = 5 см2; s2 = 500 см2; коэффициент полезного действия устройства η = 0,9.

Решение

1. Сила, приложенная через рычаг к малому поршню

F1 = nF0 ;

2. Используем далее уравнение гидравлического пресса

Fs	2	= F s ; F =			nF0s2	,
1		2	1	2	s1

с учётом КПД устройства

	F2	= η	nF0s2	= 0,9	9 10 500	= 8,1 103 Н.
			s		5
		1

28

81. Гидравлическим прессом с отношением площадей поршней n =100 поднимают груз массой m = 1 105 кг. Определить число ходов малого поршня за время τ = 60 с, если за один ход он опускается на расстояние h = 0,2 м. Мощность приводного двигателя N = 5 103 Вт, КПД пресса η = 0,8.

Решение

1. Работа, совершаемая при подъёме груза на высоту h

A = mgh ; 2. Энергия, затрачиваемая приводом

E= ηNτ;

3.Уравнение гидравлического пресса в энергетическом представлении

	kmghs = ηNτs		; k = η	Nτ s			2	= η	Nτ	n 0,8	5 103 60	100	120.
				mgh s					mgh		1 105 10 0,2
	1	2
							1

82. Моторная лодка массой m и катер массой 2m движутся с одинаковыми скоростями v навстречу друг другу. Определить импульс катера в системе отсчёта, связанной с моторной лодкой.

Решение

r

p = 2m 2v = 4mv;

83. Два одинаковых бильярдных шара движутся с одинаковыми по модулю скоростями v в перпендикулярном направлении. Чему равен импульс первого шара в системе отсчёта, связанной со вторым шаром?

			Решение
r	+ p22	=	(mv)2 + (mv)2 = mv 2;
p = p12

84.На подножку вагонетки массой М = 240 кг, которая движется по рельсам

спостоянной скоростью v = 5 м/с, прыгает человек массой m = 60 кг в направлении перпендикулярном движению вагонетки. Определить скорость вагонетки вместе с человеком.

Решение

1. Закон сохранения импульса в проекции на направление движения вагонетки:

	Mv = (m + M)u; u =	Mv	=	240 5	= 4	м	;
		M + m		300		с

85. Платформа с установленным на ней танком общей массой М = 200 m движется со скоростью v1 = 2,5 м/с. Из орудия танка выпущен снаряд массой m со скоростью v2 = 800 м/с относительно платформы. Определить скорость платформы после выстрела, если: а) выстрел произведён по направлению движения платфор-

мы; б) выстрел произведён под углом α = Рис. 85. Выстрел танка с платформы 60о к направлению движения.

29

Решение

1. Запишем закон сохранения импульса для системы платформа, танк −

снаряд в случае выстрела по ходу движения платформы
	(M + m)v1 = v(M − m)+ v2m ;
	v(M − m)= (M + m)v1 − v2m ;
		v =		(M + m)v1				−	mv2	;
									M − m
					M − m
v = v −		v2	v −			v2	= 2,5 − 800			−1,5 м;
1		M	1		200				200	с

Отрицательный знак у результирующей скорости указывает на то, что платформа с танком после выстрела станет двигаться в сторону противоположную первоначальной.

2. В случае выстрела под углом α = 60о к горизонту, уравнение закона со-

хранения импульса примет вид:
	v =		(M + m)v1		−		mv2	cosα;
						M − m
			M − m
v = v −	v2	cos α v −		v2			= 2,5 − 800		0,5 0,5 м;
1	M		1	200				200	с

86. Какую работу совершает человек, поднимая груз массой m = 2 кг на высоту h = 1,5 м с ускорением а = 3 м/с2?

Решение

A= (mg + ma)h = m(g + a)h = 2(10 + 3)1,5 = 39Дж ;

87.Автомобиль массой m = 1 т, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, за τ = 10 с отъезжает на s = 200 м. Определить работу силы тяги, если коэффициент трения μ= 0,05.

		Решение
1.	Ускорение автомобиля:
	s =	aτ2	;	a =	2s
		2			τ2 ;
2.	Работа силы тяги на заданном перемещении автомобиля:
	i=2						μg +	2s
	A = ∑Fis = (μmg + ma)s = m(μg + a)s = m							τ	2	s;
	i=1

A=103 0,05 10 + 400 200 = 9 105 Дж;

100

88.Тело движется вдоль оси ОХ под действием силы, зависящей от координаты. Дана графическая зависимость проекции силы от координаты. Определить работу силы на пути s = 4 м.

30