Решения задач ЕГЭ

Решение

	Fx	= kx;
k =		F		= 5			Н;
		x					м
x	2					4
A = ∫Fxdx =						∫kxdx;
x1						0
A = k∫4 xdx = kx2				4	=	5 16		= 40Дж;
0	2			0			2		Рис. 88. Зависимость силы от координаты

89. Время разгона автомобиля до vm = 90 км/ч составляет τ = 5 с (круто!?). Определить мощность, развиваемую двигателем к концу пятой секунды, если масса автомобиля m = 1200 кг.

Решение

1. Мощность в зависимости от скорости движения, без учёта сил сопротивления:

				N =< F > v;
2.	Ускорение автомобиля:							v ;
					ar		=
								τ
3.	Сила тяги, обеспечивающей такое ускорение:
					F = ma;
4.	Развиваемая мотором мощность:
	N = m	v v	m	=1200 5 25 =150кВт (203 л.с.);
		τ

90. Тело движется в положительном направлении оси ОХ. На тело действует сила, проекция которой на ось зависит от координаты х (рис. 3.131). Определить работу силы к тому моменту времени, когда тело из начала координат переместится в точку с координатой: а) х1 = 4 м;б) х2 = 8 м.

Решение
1. В данном случае зависимость
силы от координаты задана графи-
чески, в связи, с чем целесообразно
всю функции разбить на пять пря-
молинейных участков, соответст-
вующих пяти перемещениям
r1 = r2	=1м;
| r3 |=| r4 |=|	r5 |= 2м	Рис. 90. Работа силы F = f(x)
2. Работа на перемещениях х1 = 4 м и х2 = 8 м
AΣ1 = A1 + A2 + A3 =1,5 1+3 1+1,5 2 = 7,5 Дж ;
	AΣ2 = AΣ1 − A4 − A5	= 7,5 − 2 − 4 =1,5 Дж .

31

91. Мяч брошен под углом α = 600 к горизонту. Во сколько раз начальная кинетическая энергия мяча больше той, которую он имеет в верхней точке траектории?

Решение

K

=

mv2

; K

=

m(v

cosα)2

;

K

0

=

1

=

1

= 4;

0

0

C

0

2

KC

cos2 α

0,52

2

92. Скорость свободно падающего тела массой m = 20 кг на некотором пути увеличилась от v1 = 2 м/с до v2 = 14 м/с. Определить работу силы тяжести на этом пути.

Решение

1.В природе существует многообразие форм движений: механическое, тепловое, электромагнитное и т.д. Одной из основных количественных характеристик всех форм движения служит энергия. Во всех канонах механики эпохи Ньютона отсутствует понятие энергии, понятие которое замыкает практически все современные физические теории, понятие, играющее роль великого судьи над новыми идеями и методами изучения Мира.

2.Проще всего об энергии можно сказать, что это некое универсальное представление, объясняющее почти всё в физике, химии и даже в биологии. Отчасти это так и есть. Действительно, энергия и наша жизнь представляют такие хитросплетения, что часто создаётся впечатление их тождественности. В

самом деле, основа всей нашей цивилизации − топливо, вещества способные выделять энергию. В частности, хлеб наш насущный тоже представляет собой своеобразное топливо, в определённом смысле, такое же, как нефть, уголь, Солнце.

3. Следуя «жизненной логике» мы неминуемо приходим к сопоставлению понятий энергии и работы. «По жизни» известно, что для совершения работы надо обладать энергией. Это, казалось бы, становится очевидным с первого человеческого вздоха. Чтобы впервые наполнить лёгкие воздухом, надо совершить работу, увеличивая их объём. А наше сердце, этот неутомимый маленький насос, от его энергетических возможностей зависит благополучие всего организма, включая мозг.

4. Остаётся загадкой, почему Ньютон не пришёл к понятию энергии? А может быть он, опередивший в своих мыслях на многие годы остальных людей и оценивший человека, как такового, не захотел дарить этот мощнейший инст-

32

румент − энергетический анализ законов, явлений и процессов. Кто теперь это сможет установить? Хотя до понятий энергии и работы, формально было подать рукой, они следовали из, всё того же основного закона динамики.

5. Запишем уравнение полной работы силы F на криволинейном перемещении L

r r

A1→2 = ∫Fdr,

L

и второй закон Ньютона, выраженный через вектор импульса

r = dp F dt .

6. Совместим уравнения:

r

dp r r r

A1→2 = ∫L dt dr = ∫L vdp .

7. Чтобы вычислить криволинейный интеграл необходимо установить зависимость между скоростью материальной и её импульсом. Эта очевидная взаимосвязь следует из уравнения работы. Проинтегрируем это уравнение работы:

r2 r r	v2	r				mv2		−	mv2	= K2 −K1 .
A1→2 = ∫Fdr	=∫mvdv, A1→2 =						2		1
r1	v1					2			2
8. Скалярная всегда положительная величина
		K =	mv2	=		p2	,
			2		2m

называется кинетической энергией материальной точки. Из уравнения работы, которое является математическим выражением теоремы об изменении кинети-

ческой энергии, следует: изменение кинетической энергии материальной

точки на данном перемещении численно равно работе, производимой на этом перемещении внешними силами.

A1→2	= mv22	− mv12	= m (v22	− v12 )=10(196 − 4) =1920Дж;
	2	2	2

93. Автомобиль массой m = 2 т при торможении уменьшил скорость с v1 = 90 км/ч до v2 = 36 км/ч. Какую работу совершила сила трения?

		Решение
A(FТр) = mv22	− mv12	= m (v22	− v12 )=103	(635 −100)= 525 кДж;
2	2	2

94. Тело массой m 2 кг брошено с поверхности земли со скоростью v0 = 20 м/с под углом α = 450 к горизонту. Какую работу произвела сила тяжести за время полёта тела от момента броска до момента падения на горизонтальную поверхность?

Рис. 94. Работа силы тяжести при броске тела под углом к горизонту

33

	Решение
	1. Пусть материальная точка заданной
	массы m движется под действием посто-
	янной силы в плоскости чертежа по кри-
	волинейной траектории. Сила в данном
	случае является главным вектором сис-
	темы сил, приложенных к точке. Для ма-
	териальной точки возможно записать
	второй закон Ньютона в векторной форме
	r
Рис. 94.1. Работа постоянной силы	F = mar или ar = m	dv	.
		dt

2.	Умножим правую и левую части уравнения на бесконечно малое пере-
мещение drr		r r	r dr
				r r
	Величина, Fdrr	Fdr	=m dv dt	= mvdv.
3.		называется элементарной работой силы F на перемеще-
	r
нии dr		δA = Fdrr = Fdr cosα,		[Н м ≡ Дж],

где α − угол между вектором силы и вектором перемещения. Из уравнения следует, что элементарная работа, определяемая скалярным произведением векторов, так же является скалярной величиной.

4. Введение в рассмотрение элементарной работы обусловлено необходимостью вычислений работы при движении точки по криволинейным траекториям, когда невозможно однозначно определить угол между перемещением и силой. В этом случае участок траектории, например 1 − 2, разбивается на бесконечное число элементарных участков протяжённостью dr каждый, для которых угол легко определяется ввиду их прямолинейности. На каждом участке вычисляется элементарная работа, а затем работы суммируются

k=n

A1→2 = δA1 +δA2 +L+δAn = ∑δAk .

k=1

Рис. 94.2. Работа силы при разных значениях угла α

интегралу

r r

A1→2 = ∫Fdr,

L

Элементарная работа, в зависимости от величины угла α может быть, при прочих

равных условиях, положительной, отрицательной или равной нулю.

5. Полная работа на конечном перемещении определится при устремлении dr → 0, что приводит к криволинейному

6. Этот криволинейный интеграл даёт возможность определять работу А

силы F при перемещении точки по траектории L .Таким образом, работа в общем случае зависит от вида кривой.

34

7. Так, например, при перемещении точки по траекториям 1а2 и 1b2 одной и той же силой будут производиться разные работы. Численно, полная работа, исходя из геометрического смысла интеграла, равна площади, ограниченной кривой и горизонтальной осью, поэтому в рассматриваемом случае разность работ A1a 2 −A1b2 будет равна разности площадей со-

ответствующих криволинейных трапеций.

8. В природе, в ряде случаев, встречаются Рис. 94.3. Полная работа силы, работа которых не зависит от вида траектории, а определяется только конечным и начальным положением точки. Такие

силы называются потенциальными или консервативными.

9. Работа потенциальной силы на любой замкнутой траектории рана нулю

∫Fdrr = 0;

L

10. Если сила постоянна во времени, то уравнения для вычисления работы упростятся, причём для практического использования целесообразно перейти к координатной форме их записи.

11. Так как	r	r	drr = idx + jdy + kdz ,
	F = iFx + jFy + kFz ;

то уравнение работы можно переписать в координатной форме

1→2		x2	x	y2	y	z2	z
	=	∫		∫		∫
A			F dx +		F dy +		F dz.
		x1		y1		z1

11. Воспользуемся уравнением для вычисления работы силы тяжести. Пусть точка известной массы перемещается по произвольной

траектории в плоскости {ox y } из начального

положения 1 в конечное положение 2. Определим проекцию силы тяжести на координатные оси

(mg)x = 0; (mg)y = mg.

12. Если криволинейную траекторию аппроксимировать большим количеством вертикальных и горизонтальных прямых, то оче-

видно что элементарная работа силы тяжести Рис. 94.4. Работа силы тяжести на горизонтальных перемещениях будет равна

нулю, т.е. на перемещении вдоль оси ох от х1 до х2 суммарная работа так же будет нулевой.

13. Подставляя значение проекций силы тяжести в уравнение работы, получим:

y2	y2
A1→2 = ∫Fydy = ∫mgdy;
y1	y1

A1→2 = mg(y2 − y1 )= mgh.

14. Как видно из полученного уравнения, работа силы тяжести не зави-

сит от того, по какой траектории перемещается точка, а определяется ис-

35

ключительно значением h = y2 − y1 , другими словами сила тяжести явля-

ется потенциальной.

15. В рассматриваемом случае при движении тела из точки О в точку С будет совершаться работа против силы тяжести (cosα > π/2), т.е. работа будет отрицательной, а при движении тела из точки С в А, (cosα < π/2), − работа совершается силой тяжести, т.е. она положительна, Другими словами:

AO→C→A = 0;

95. Сначала тело поднимают из шахты, глубина которой равна половине радиуса Земли h1 = 0,5R, а затем поднимают над поверхностью на высоту h2 = h1= 0,5R. Определите, в каком отношении будут находиться совершённые работы.

Решение

1. Определим силу тяготения, действующую на тело, находящееся на глубине R/2, где R – радиус Земли. Масса планеты, создающая гравитационную силу при подъёме тела с глу-

	бины h1, при этом равна,							Mx3
	M = ρV =		3M		4	πx3	=		,
			4πR	3 3				R3
	1	1

где х – текущая координата поднимаемого тела, М – масса Земли.

F = G mM1		=	GmM1	x .
1	x2		R3
2. Как видно из последнего уравнения, си-

ла тяготения линейно зависит от координаты, что позволяет интеграл работы записать следующим образом

A1 =	R∫F1dx =	R∫	GmM3	xdx =	3GmM .
	0,5R	0,5R	R		8R

3. Гравитационная сила и её работа на втором этапе подъёма на высоту h2 тела будут равны

	1,5R		1,5R	G mM2	dx = G mM .
F2	= G mM2 , A2 =	∫F2dx = ∫
	x	R	R	x	3R

4. Определим отношение работ на первом и втором этапах подъёма:

А1/А2 = 9/8 = 1,125.

96. Бревно массой m и высотой h медленно поднимают за один из его концов, ставя вертикально, при этом второй конец бревна остаётся неподвижным. Определить зависимость силы давления бревна N, действующую при подъёме и силы трения от угла наклона бревна α к горизонту и работу, совершаемую при подъёме бревна.

Рис. 96. Подъём бревна

36

Решение

1. Подъём бревна, по сути, является вращением вокруг оси Z, которая проходит через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, уравнение моментов относительно этой оси можно записать следующим образом:

mg L2 cosα − NL = 0 ,

откуда:

N= 12 mgcosα ;

2.Условие равновесия бревна в проекции на горизонтальную ось

FR − Nsin α = 0; FR = Nsin α = 12 mgcosβsin α = 14 mgsin 2α ;

3.Работа при постановке бревна в вертикальное положение численно будет

равна изменению потенциальной энергии центра масс бревна, который будет находиться на его середине:

ΔΠ = mg L2 ;

97. Однородная балка массой М подвешена на двух пружинах разной жёсткости k1 и k2 соответственно. К балке повешен груз m. Пружины в свободном состоянии имеют одинаковую длину. Найти силы упругости пружин при горизонтальном положении балки?

Решение

1. Условие горизонтального расположения балки

x1 =	x2 = x ;
2. Уравнение равновесия балки в проекции
на вертикальную ось
∑Fy =mg + Mg − F1 − F2 = 0;			,
g(M + m)=	x(k1 + k2 ),						Рис. 97. Подпружиненная балка
откуда			g(M + m)
		x =					;
3. Найдём силы упругости			k1 + k2
	F1 =	g(M + m)k1		; F2	=	g(M + m)		;
		k1 + k2					k1 + k2
98. На шероховатой горизонтальной поверхно-
сти лежит доска длиной L и массой М. Коэффици-
ент трения между доской и поверхностью μ. Какую
работу совершает горизонтальная сила при пово-
роте доски на угол α = 360о вокруг вертикальной
оси, проходящей через её середину?
Решение									Рис. 98. Поворот доски
1. К концам доски необходимо приложить пару

37

сил, момент которой компенсировал бы момент, возникающий вследствие проявления сил трения. Работа при повороте тела на угол Δϕ вокруг неподвижной оси Z определяется уравнением:

ϕ r

A = ∫Mz (F)dϕ;

0

2. Момент действующей силы должен быть равен моменту силы трения относительно вертикальной неподвижной оси Z

MZ (FrR )= μmg L2 ;

3. Работа при повороте на угол ϕ = π определится как:

		L	ϕ	μmgLπ
	A = μmg		∫dϕ =		;
				2
	2 0

99. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы забить гвоздь длиной L = 0,05 м? Сила сопротивления со стороны доски пропорциональна глубине его погружения F = kx, где k = 104 Н/м. Всем гвоздя можно пренебречь.

Решение

1. Поскольку сила сопротивления при забивании гвоздя изменяется от нудя до некоторого максимального значения, пропорционального длине L, то работа силы сопротивления запишется следующим образом:

δA = kxdx ;

	A = k∫L xdx =	kL2	=	104 25 10−4		12,5 Дж;
		2			2
	0

100. Нить длины L с привязанным к ней шариком массы m отклонили на 90° от вертикали и отпустили. На каком наименьшем расстоянии под точкой подвеса нужно поставить гвоздь, чтобы нить, налетев на него, порвалась? Нить выдерживает силу натяжения Т.

Решение

Рис. 100. Шарик на нити

1. Шарик маятника первоначально движется по окружности радиуса L, а после касания нити подвеса гвоздя по окружности радиуса L-x. Нормальное ускорение an = v2/L будет максимальным в точке В, когда вся потенциальная энергия преобразуется в кинетическую. Натяжение нити запишется в виде

T = m g + Lv−2 x .

38

2. Скорость шарика в точке В определим, используя закон сохранения энер-

гии

mgL = mv2 2, v2 = 2gL .

3. Подставим значение скорости в первое равенство и разрешим полученное уравнение относительно искомого расстояния х

T ≤ mg + 2LmgL− x , TL −Tx ≤ mgL − mgx + 2mgL ,

x = L T −3mg . T −mg

101. Угол наклона плоскости к горизонту α = 300. Вверх по этой плоскости тащат ящик массой m = 90 кг, прилагая к нему силу F =600 Н, направленную параллельно плоскости. Найти коэффициент полезного действия плоскости.

			Решение			= 90 10
A = Fl;	A	2	= mgsin αl; η =	A2	= mgsin αl		0,5 = 0,75;
1				A1	Fl	600

102. С помощью рычага длиной l = 150 см подняли груз на высоту h = 5 см. Какая работа при этом была совершена, если КПД устройства η = 0,95?

			Решение
H = h	=	5 10−2	= 5,263 10−2 м; A = ΔΠ = mgH = 52,63 Дж;
η		0,95

103. Теплоход длиной L = 100 м движется прямым курсом в неподвижной воде со скоростью v1 = 10 м/с. Катер, имеющий скорость v2 = 15 м/с, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа и обратно. Сколько времени τ затратит катер на этот маневр?

Решение

τ= τ1 + τ2 = v1 +L v2 + v2 L− v1 = 4 + 20 = 24c;

104.При скорости v1 = 90 км/час легковой автомобиль начинает обгон трейлера, движущегося со скоростью v2 = 72 км/час. Обгон начинается когда расстояние между автомобилями равно s1 = 20 м, легковушка возвращается после обгона в свой ряд, когда удаляется от трейлера на расстояние s2 = 15 м. Определить время обгона, если длина легкового автомобиля составляет L1 = 4 м,

адлина трейлера − L2 = 16 м

Решение

	1.Поскольку автомобили движут-
	ся в одном направлении, то их отно-
	сительная скорость определится как
	v3 = v1 − v2 =18км/ час = 5м/ с.	Рис. 104. Обгон
	2. В общей сложности маневр об-

39

гона займёт расстояние

s3 = L1 + L2 +s1 +s2 = 55м. 3. Время, необходимое для обгона

t =	s3		=	L1 + L2 +s1 + s2			=11 c.
	v	3		v	− v	2
				1

105. По гладкой наклонной плоскости пустили снизу вверх груз с начальной скоростью v0 = 0,6 м/с, после чего он за время τ1 = 1 с переместился на расстояние L = 0,4 м от точки старта. Через какое время после начала движения груз снова попадёт в это положение?

Решение
1. Уравнения движения груза от
точки О до точка А
v1 = v0 − aτ;
	aτ2
L = v0τ −
	2	;

Рис. 105. Движение по наклонной плоскости

2. Ускорение груза при подъёме

2(v0τ − L)

м

a =

= 0,4

;

τ2

с2

3.

Время движения от точка А до точки В до остановки

v

3

= v

− aτ ;

v

3

= 0;

τ =

v1

=

v0 − aτ

=

v0

− τ = 0,5c;

1

1

1

a

a

a

4.

Время спуска из В в А равно времени подъёма из А в В

5.

Искомое время движения:

τ2 = 2τ1 =1с;

τх = τ + 2τ1 = 2c;

106. По одному направлению из одной точки с интервалом времени t = 6 с начали двигаться два тела: одно со скоростью v1 = 5 м/с, а другое равноускоренно без начальной скорости с ускорением а = 2 м/с2. Через какое время второе тело догонит первое тело?

		Решение
1. Условие равенства координат тел:
v τ = a(τ − t)2		; 2v1τ = τ2 − 2τ t + t2 ; τ2 −17τ + 36 = 0;
1	2	a

τ= 8,5 + 72,3 −36 ≈14,52с;

107.Теплоход длиной L = 300 м движется прямолинейно по глади озера со

скоростью v1. Катер, имеющий скорость v2 = 90 км/час проходит расстояние от носа до кормы движущегося теплохода и обратно за время t = 37,5 с. Какова скорость теплохода?

Решение

1. Запишем уравнение для общего времени движения катера вокруг теплохода:

40