Obrazec LR3 ZSU
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра АУТПТЭК
ОТЧЕТ
по лабораторной работе 3
Анализ временных и частотных характеристик
По курсу «Цифровые системы управления»
Выполнил: ст.гр. АКТ-XX-X Иванов А.Б.
Принял: асс.каф. Литвинов А.И.
Алчевск, 2010
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
2
ВВЕДЕНИЕ
Целью данной лабораторной работы является изучение методов построения временных и частотных характеристик цифровой системы управления.
1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
1.1Задания для самостоятельной работы
Для своего варианта аналоговой передаточной функции
W ( p) = |
1 |
|
(0,25 р + 1)(5 р + 1) |
|
|
при периоде дискретизации T 0 = 0.05c |
определить дискретную передаточную |
|
функцию объекта управления. |
|
|
Определить дискретную передаточную функцию замкнутой системы управления, учитывая, что коэффициент передачи вычислительного устройства в соответствии с вариантом Kr = 15 .
Вычислить реакцию замкнутой импульсной системы управления на единичное ступенчатое воздействие способом разложения на простейшие дроби.
Вычислить реакцию замкнутой импульсной системы управления на единичное ступенчатое воздействие способом разложения в ряд Лорана по отрицательным степеням z.
Построить АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой импульсной системы.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
3
1.2 Подготовка к выполнению лабораторной работы 1.2.1 Определение дискретной передаточной функции замкнутой системы
Цифро-аналоговый преобразователь на выходе вычислительного устройства
является экстраполятором нулевого порядка с передаточной функцией
Wэ0( z, p ) = |
1 |
× |
( z -1) |
. |
|
|
|||||
p |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||
Дискретная передаточная функция объекта управления с учетом |
|||||||||||
экстраполятора определяется выражением |
|
|
|
|
|
|
|
||||
* |
|
z -1 |
|
ìWоб ( p)ü |
, |
||||||
Wоб (z) |
= |
|
|
×ξ í |
|
|
ý |
||||
z |
p |
||||||||||
|
|
|
î |
þ |
|
где ξ ìWоб ( p)ü - z-преобразование для выражения в фигурных скобках.
í ý î p þ
Для того, чтобы осуществить z-преобразование для данного выражения по таблице z-преобразований, необходимо соотношение в фигурных скобках привести к сумме слагаемых, представляющих собой табличные выражения. Таким образом, эквивалентный объект будет иметь параллельно включенные звенья.
Wоб ( p) |
= |
1 |
= |
A |
+ |
B |
|
+ |
C |
|
= |
p |
p(0,25 p +1)(5p +1) |
p |
0,25p +1 |
5p +1 |
= A × (0,25p +1)(5 p +1) + B × р(5p +1) + C × р(0,25 p +1) . p(0,25 p +1)(5 p +1)
При равенстве дробей, если знаменатели равны, то равны и числители. После
приведения подобных в числителе
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
4
1 = p2 (1.25× A + 5 × B + 0.25×C) + p(5.25× A + 43A + B + C) + A.
Приравниваем коэффициенты при операторе в левой и правой частях.
При p0 |
A = 1. |
При p1 |
5,25A + B + C = 0 . |
При p2 |
1,25× A + 5× B + 0,25×C = 0 . |
В результате решения этой системы уравнений
A = 1 ,
C = − 5 .3 ,
B = 0.05 .
Тогда
|
Wоб |
= |
1 |
+ |
0.05 |
|
− |
5.3 |
|
= |
1 |
− |
0.05/ 0.25 |
+ |
5.3/ 5 |
= |
1 |
+ |
0.2 |
− |
1.06 |
|
|
p |
p |
0.25p +1 |
5 p +1 |
p |
p +1/ 0.25 |
p +1/ 5 |
p |
p + 4 |
p + 0.2 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дискретная передаточная функция эквивалентного объекта
|
|
|
z -1 |
ìW |
( p)ü |
|
|
z -1 |
ì |
1 |
|
|
0.2 |
|
1.06 |
ü |
|
||||||||
|
*(z) = |
ï |
|
|
об |
|
ï |
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||
W |
|
ξ í |
|
|
|
|
ý |
= |
|
|
|
ξ í |
|
+ |
|
- |
|
|
ý |
||||||
z |
|
|
|
p |
|
|
z |
|
p + 4 |
p + 0.2 |
|||||||||||||||
об |
|
|
ï |
|
|
|
ï |
|
|
î p |
|
|
|
þ |
|
||||||||||
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W* |
|
|
z -1 |
é |
|
z |
|
|
|
0.2× z |
|
|
|
1.06× z |
ù |
|
|
|||||||
|
(z) = |
ê |
|
+ |
|
- |
|
|
|
ú . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z - e- 4T |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
об |
|
|
z |
ë z |
-1 |
|
|
|
|
z - e- 0.2T û |
|
|
Дискретная передаточная функция разомкнутой системы
Wрзм (z) = Wву (z)×Wоб* (z) .
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
5
Дискретная передаточная функция замкнутой системы
|
|
|
|
Wзам (z) = |
|
Wрзм (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1+ Wрзм (z) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
С учетом периода |
|
дискретизации |
|
T 0 = 0.05c |
|
|
|
и |
коэффициента передачи |
|||||||||||||||
вычислительного устройства Kr = 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
z -1 |
æ |
|
z |
|
|
|
|
|
|
0.2 × z |
|
|
|
|
|
1.06 × z |
ö |
|
|
||
|
15 × |
|
|
|
ç |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
z |
ç |
|
-1 z |
- e- 4 × 0.05 |
|
|
|
z |
- e- 0.2 × 0.05 |
÷ |
|
|
||||||||
Wзам(z) = |
|
|
|
è z |
|
|
|
ø |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
z -1 |
æ |
|
|
|
|
|
|
1.06 × z |
|
ö |
|||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
0.2 × z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1+15× |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
- |
|
|
|
÷ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
z - e- 4 ×0.05 |
|
|
|
z - e- 0.2 ×0.05 |
÷ |
|
|||||
|
|
|
|
|
è z -1 |
|
|
|
|
|
ø |
|
Упростив выражение получим передаточную функцию замкнутой системы следующего вида
Wзам(z) = 15 × z 2 -13.16 × z -1.02 . 16 × z2 -13.98× z -1.004
1.2.2 Вычисление реакции замкнутой импульсной системы управления на
единичное ступенчатое воздействие способом разложения на простейшие дроби
Метод основан на разложении функции Y( z ) на простые множители, чтобы обратное z-преобразование каждого из членов, находилось из таблицы z- преобразований.
Изображение входной величины равно:
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
6
X (z) = z z-1 .
Изображение выходной величины принимает вид:
Y (z) = X (z) ×W (z) = |
z |
|
× |
|
15× z2 -13.16× z -1.02 |
. |
|
z -1 |
16× z2 -13.98× z -1.004 |
||||||
зам |
|
|
Поскольку корни характеристического уравнения z1 = -0,069, z2 = 0,94, то
изображение выходной величины принимает вид
Y (z) = |
z |
|
× |
15× z2 -13.16× z -1.02 |
. |
|
z -1 |
(z + 0.069)(z - 0.94) |
|||||
|
|
|
Представим выражение в виде суммы дробей
Y (z) = |
Аz |
|
+ |
Вz |
+ |
Сz |
. |
z -1 |
z + 0,069 |
|
|||||
|
|
|
z - 0,94 |
Нахождение коэффициентов разложения на простые дроби дает А=0,948, В=0,577, С=-1,52. В результате имеем
Y (z)= |
0,948z |
+ |
0,577z |
- |
1,52z |
. |
|
z -1 |
|
z + 0,069 |
|
z - 0,94 |
Для приведения к табличному виду положим
d1 = eα1T = z1 = 0,069 ,
d2 = eα2T = z2 = 0,94 .
Отсюда находим
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
7
α |
1 |
= |
1 |
ln |
|
|
1 |
|
= 0.45, |
|
|
|||||
|
0,069 |
|
|
|||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
α2 = |
1 |
ln |
|
1 |
= 0.17 . |
|
|||||||
|
|
|
T |
0,94 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Y (z)= |
|
0,948z |
+ |
|
0,577z |
- |
1,52z |
. |
||||||||
|
|
|
z -1 |
|
|
|
|
z - е−0,45 |
|
z - е−0,17 |
|
Определив обратное z-преобразование от выражения получим временную
характеристику
y(nT ) = 0,948 + 0,577 × 0.069n -1,52 × 0,94n .
1.2.3 Вычисление реакции замкнутой импульсной системы управления на
единичное ступенчатое воздействие способом разложения в ряд Лорана
Изображение выходного сигнала
Y (z) = X (z) ×W (z) = |
z |
|
× |
|
15× z2 -13.16× z -1.02 |
. |
|
z -1 |
16× z2 -13.98× z -1.004 |
||||||
зам |
|
|
Найденное выражение выходной величины разложим в ряд Лорана делением числителя на знаменатель. Для этого необходимо перейти к степеням z-i:
|
15 -13,16z−1 -1,02z−2 |
|
Y (z) = |
|
. |
15 - 29,98z−1 +12,976z−2 +1,004z−3 |
Коэффициенты при частного являются значениями выходной величины
.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
8
1.2.4 Построение АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой импульсной системы
управления
Дискретная передаточная функция разомкнутой системы
Wрзм (z) = Wву (z)×Wоб* (z) ,
Wрзм (z) = 15 + |
3×(z -1) |
− |
15.9×(z -1) |
|||
|
|
|
|
. |
||
z − e |
− 4T |
z − e |
− 0.2T |
|||
|
|
|
|
|
Для построения АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой импульсной системы управления необходимо перейти к псевдочастоте. Переход к псевдочастоте основан на ω - преобразовании (билинейном преобразовании).
z= ω +1 1- ω .
Таким образом
|
(z -1) |
eiωT -1 |
|
ωT |
|
|
|
|
ω = |
= i × tg |
= i ×λ , |
||||||
|
= eiωT +1 |
2 |
||||||
(z +1) |
где λ - относительная псевдочастота.
Тогда
Wрзм (ω) =15 + |
|
|
6 ×ω |
- |
|
31.5×ω |
. |
|
1 |
+ ω - e−4T + e−4T ×ω |
1+ ω - e−0,2T ×e−0.2T ×ω |
||||||
|
|
|
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
9
Поскольку для большинства импульсных и цифровых систем частота дискретизации выбирается в 6...10 раз больше частоты среза целесообразно использовать абсолютную псевдочастоту λ. При выполнении условия ωT < 2 (условие теоремы Котельникова) абсолютная псевдочастота λ и круговая частота ω практически совпадают. Поэтому
ω = i × tg ω2T » i × ω2T = i ×λ = i Т2 λ .
Следовательно
Wрзм (λ) =15 + |
|
0.4 ×iTλ |
- |
2,12×iTλ |
. |
|
2 |
+ iTλ - 2 × e−4T + e−4T ×iTλ |
2 + iTλ - 2× e−0.2T × e−0.2T ×iTλ |
||||
|
|
|
Для построения графиков АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой импульсной системы управления по полученной передаточной функции при Т=0,05c в командном окне MatLab выполним следующие процедуры.
lambda=0:0.01:10;
Re=real(f); Im=imag(f); plot(Re,Im); lambda=logspace(4,6,10000); Re=real(f);Im=imag(f); A=20*log*(sqrt(Re.^2+Im.^2); plot(lambda,A); clear A;
phase=atan(Im/Re);
for k = 1:1:length(phase) if Re(k)<=0 phase(k)=phase(k)-pi; end;
end; plot(lambda,phase).
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
10
2 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Временная характеристика, полученная в результате вычисления реакции
замкнутой импульсной системы управления на единичное ступенчатое воздействие способом разложения на простейшие дроби имеет вид
y(nT ) = 0,948 + 0,577×0.069n -1,52×0,94n .
Подставляя различные значения n в данное выражение, получим таблицу 2.1 функции y(nT )
Таблица 2.1 – Результаты вычислений y(nT )
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
y(nT) |
0 |
0,03 |
0,1 |
0,184 |
0,273 |
0,359 |
0,44 |
0,51 |
0,575 |
0,63 |
nT, c |
0 |
0.05 |
0.1 |
0.15 |
0.2 |
0.25 |
0.3 |
0.35 |
0.4 |
0.45 |
По полученным значениям построим график, переходного процесса замкнутой системы, который приведен на рисунке 2.1.
Для полученного ранее выражения
Y (z) = |
15 -13,16z−1 -1,02z−2 |
15 - 29,98z−1 +12,976z−2 +1,004z−3 |
получим частное, коэффициенты при z–i у которого являются значениями выходной величины y(nT) при соответствующих n. Они в точности совпадают со значениями, полученными способом разложения на простейшие дроби и приведены, также, в таблице 2.1. График, переходного процесса замкнутой системы, полученный по этим значениям совпадает с графиком, приведенным на рисунке 2.1.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com