9.2. Свойства оценок, полученных методом наименьших квадратов

Для того, чтобы полученные методом наименьших квадратов оценки обладали желательными свойствами делаются следующие предположения об отклонениях ε_i:

1. Величина ε_i – случайная переменная;

2. Математическое ожидание ε_i равно 0;

3. Дисперсия ε_i постоянна для всех i-тых ε;

4. Значения ε_i не зависимы между собой.

Известно, что если условия (1-4) выполняются, то оценки, вычисляемые с помощью МНК (метода наименьших квадратов) обладают следующими свойствами:

1. Оценки являются несмещенными, то есть математическое ожидание оценки каждого параметра равно его истинному значению. Это вытекает из того, что математическое ожидание ошибки равно 0 и говорит об отсутствии системной ошибки в определении положения линии регрессии.

2. Оценки состоятельны, так как дисперсия оценок параметров при росте числа наблюдений стремится к 0. Иначе говоря, если n достаточно велико, то практически наверняка растет надежность оценки параметров а_j.

3. Оценки эффективны, то есть имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данных параметров.

Перечисленные свойства не зависят от конкретного вида распределения величины , тем не менее, обычно предполагается, что они распределены нормально. Эта предпосылка необходима для проверки статистической значимости сделанных оценок и определения для них доверительных интервалов. При ее выполнении оценки МНК имеют наименьшую дисперсию не только среди линейных, но и среди всех несмещенных оценок.

Вопросы и упражнения

1. Что называется корреляционной зависимостью функции у от аргумента х

2. Какие предпосылки делаются относительно результативного признака в уравнении регрессии

3. Что такое «несовместная система алгебраических уравнений»

4. В чем состоит принцип наименьших квадратов

5. Из каких трех основных этапов состоит метод наименьших квадратов

6. Каким условиям должны удовлетворять отклонения теоретически (по уравнению регрессии) вычисленных значений результирующего показателя от их фактических значений в статистической совокупности

7. Что означает, применительно к уравнению регрессии, выражения: «оценки несмещенные», «оценки состоятельные», «оценки эффективные»

Глава 10. Оценка адекватности и точности регрессионных моделей

10.1. Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности

Независимо от вида и способа построения экономико-математической модели на основе статистических данных, вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования экономических явлений может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. Так как полного соответствия модели реальности не может быть, то адекватность – это в какой-то мере условное понятие. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследуемого явления.

Модель y_i ряда y_i считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты этого ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента:

ε_i = y_i - y_i, i=1÷n

удовлетворяла свойствам случайной компоненты ряда, о которых говорилось ранее, а именно:

а) случайность колебаний уровней остаточной последовательности;

б) соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

в) равенство нулю математического ожидания случайной компоненты;

г) независимость значений уровней случайной компоненты.

Рассмотрим способы проверки этих свойств остаточной последовательности.

Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности означает проверку гипотезы о правильности выбора уравнения регрессии. Для исследования случайности отклонений от уравнения регрессии находятся разности ε_i = y_i - ỹ_i. Характер этих отклонений изучается с помощью ряда непараметрических критериев.

Одним из таких критериев является критерий серий, основанный на медиане выборки. Ряд из величин ε_i располагают в порядке возрастания их значений и находят медиану ε_m, полученного вариационного ряда, то есть срединное значение при n нечетном или среднюю арифметическую из 2-х соседних срединных значений при четном n. Возвращаясь к исходной последовательности ε_i и сравнивая значения этой последовательности с ε_m ставят знак “+”, если ε_i  ε_m и знак “-“, если ε_i  ε_m. Соответственно, значение ε_i опускается если ε_i = ε_m.

Таким образом получается последовательность, состоящая из “+” и “-“, общее число которых не превосходит n. Последовательность подряд идущих “+” или “–“называется серией.

Для того, чтобы последовательность ε_i была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее количество серий слишком малым.

Обозначим протяженность самой длинной серии K_max, а общее число серий через ν. Выборка признается случайной , если выполняются следующие неравенства для 5%-го уровня значимости:

где квадратные скобки означают целую часть числа.

Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней ряда от теоретических уровней отвергается и модель признается неадекватной.