Довідник
.docРозділ 1 Диференціальні рівняння першого порядку
1. Поняття диференціального рівняння і його розв`язку.
Рівняння, в яких невідома функція входить під знаком похідної або диференціала, називають диференціальними.
Якщо в диференціальному рівнянні невідома функція є функцією однієї змінної, то таке диференціальне рівняння називають звичайним.
Якщо невідома функція, яка входить у диференціальне рівняння, є функцією багатьох змінних, то таке диференціальне рівняння називають рівнянням з частинними похідними.
Загальний вигляд диференціального рівняння:
.
Порядком диференціального рівняння називається найбільший порядок похідних, які входять в дане рівняння.
Розв`язком диференціального рівняння називається будь-яка функція, яка задовольняє цьому рівнянню (тобто функція, при підстановці якої в задане рівняння одержуємо тотожність).
При розв`язуванні диференціальних рівнянь слід враховувати, що розв`язок диференціального рівняння визначається неоднозначно, з точністю до постійної. Такий розв`язок називають загаль-ним розв`язком заданого рівняння.
Розв`язок, одержаний з використанням умови, де задані начальні дані називають частинним розв`язком заданого диференціального рівняння.
З геометричної точки зору множина всіх розв`язків диференціального рівняння є сім’я інтегральних кривих диференціального рівняння, а кожен частковий розв`язок є окрема інтегральна крива.
Задача знаходження частинного розв`язку диференціального рівняння, яке задовольняє заданим начальним умовам, зміст яких в том що у=у0 при х=х0, називається задачею Коші.
1. Диференціальні рівняння першого порядку.
Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку називають рівняння вигляду або , окремий випадок .
Задача Коші формулюється так: серед усіх розв`язків диференціального рівняння знайти такий розв`язок у=у(х), який при заданому значенні незалежної змінної х=х0 дорівнює заданому значення у0, тобто у(х0)=у0.
З геометричної точки зору знайти розв`язок
рівняння , що задовольняє початкову умову , у(х0)=у0 знайти інтегральну криву цього рівняння, яка проходить через задану точку (х,у0).
Метод розв`язування рівняння вигляду :
якщо функція f(x) неперервна на деякому проміжку, то розв`язком є функція .
Теорема Пеано. Якщо функція f(x,у) неперервна в області D площини хОу, то існує неперервна разом із своєю похідною першого порядку функція , яка є розв`язком диференціального рівняння, що задовольняє початкову умову , де .
На геометричній мові теорему Пеано можна сформулювати так. Якщо функція неперервна в області площини , то через кожну точку цієї області проходить принаймні одна інтегральна крива диференціального рівняння.
2. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремленими змінними
Диференціальне рівняння виду називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.
Задача Коші. Якщо функція неперервна в інтервалі (a;b), функція і її похідна по у неперервна в інтервалі (c;d), тоді для будь-яких начальних даних існує єдиний розв`язок рівняння , який задовольняє умові
Це рівняння може мати інший вигляд.
Рівняння виду , де і - функції тільки від х, а і - функції тільки від у, називається диференціаль-ним рівнянням першого порядку з відокремленими змінними.
Наведемо алгоритм розв’язування рівнянь цього типу:
1. Розділити змінні. Перенесемо в ліву частину вирази с співмножником , а в праву - з :
2. Відокремимо змінні .
3. Проінтегруємо почленно, знайдемо загальний розв’язок рівняння: .
4. З`ясувати, чи має рівняння розв`язок, який не отримано з загального інтегралу.
5. Розв’язавши задачу Коші, знайдемо частковий розв’язок.
3. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
Функція називається однорідною функцією -го виміру, якщо при будь-якому має місце тотожність
Диференціальне рівняння першого порядку називають однорідним, якщо є однорідною функцією нульового виміру.
Диференційне рівняння першого порядку називають однорідним, якщо його можна представити у вигляді , де і - однорідні функції однакового виміру.
Алгоритм розв’язання однорідних диференційних рівнянь
Однорідне диференційне рівняння першого порядку зводиться до диференційного рівняння з відокремлюваними змінними підстановкою , де - нова невідома функція. Тоді, .
-
Покладемо , тобто . Тоді , і однорідне рівняння матиме вигляд: , або .
-
Диференціальне рівняння допускає відокремлення змінних. Справді, якщо , то матимемо , звідси .
-
Якщо - деяка первісна підінтегральної функції, то є загальним розв’язком диференціального рівняння.
Лінійні диференціальні рівняння І порядку.
Рівняння вигляду , де і - деякі функції від х називається лінійним диференціальним рівнянням І порядку.
Якщо =0, то рівняння прийме вигляд називається однорідним і розв’язується методом відокремлення змінних.
Теорема Коші. Нехай інтервал, в якому функції та неперервні. Тоді: для будь-яких та задача Коші с початковими значеннями має єдиний розв’язок, тобто існує єдине рішення рівняння, яке задовольняє початковій умові .
Метод розв’язання диференційних рівнянь першого порядку:
Розв’язання зводиться до рішення двох диференційних рівнянь з відокремленими змінними за допомогою підстановки , де та - невідомі функції від , а .
Наведемо алгоритм розв’язання рівнянь такого типу:
-
Підставимо значення та в рівняння та отримаємо .
-
Згрупуємо доданки, які мають однакову змінну та винесемо її за дужки, тоді маємо
-
Виберемо функцію так, щоб . Розв’яжемо отримане рівняння і знайдемо одне з частинних розв’язків функції .
-
Підставимо знайдене значення функції в рівняння . Отримаємо .
-
Розв’яжемо отримане рівняння, як рівняння з відокремлюваними змінними та знайдемо значення функції .
-
Замінимо в рівнянні значення функцій і та отримаємо рішення .
До рівнянь, які зводяться до лінійних, належить рівняння Бернуллі . У ньому та неперервні на проміжку , а - деяке дійсне число.
Розділ 2 Диференціальні рівняння вищих порядків
Диференціальні рівняння ІІ порядку.
Якщо диференціальне рівняння містить похідну або диференціал другого порядку, то воно називається диференціальним рівнянням другого порядку . Ми розглянемо одне з рівнянь другого порядку
Лінійні однорідні диференціальні рівняння ІІ порядку із сталими коефіцієнтами.
Рівняння вигляду , де і - деякі числа називається лінійними диференціальними рівняннями ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами. Якщо , то диференціальне рівняння приймає вигляд і називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами.
В залежності від коренів характеристичного рівняння диференціальне рівняння має такі загальні розв’язки:
Складемо схему:
-
№
п/п
Корені рівняння
Загальний розв’язок
1.
D>0
Корені дійсні різні і
2.
D=0
Корені дійсні рівні
3.
D<0
Корені уявні різні
Рівняння виду називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами. Загальне його рішення також можна записати у вигляді суми уон = уоо + учн, де - загальне рішення однорідного рівняння, учн – частинне рішення неоднорідного рівняння.
учн можна знайти методом невизначених коефіцієнтів в наступних випадках:
-
, де многочлен ступеня . Якщо не є коренем характеристичного рівняння, тобто , то кладуть, що , де - многочлен ступеню з невизначеними коефіцієнтами.
Якщо є коренем характеристичного рівняння, тобто , тоді , де - кратність кореня (, або )
-
. Якщо , то кладуть, що , де та - многочлени ступеню . Якщо ж , то , де - кратність коренів (для рівнянь 2-го порядку )
Розділ 3 Системи звичайних диференціальних рівнянь