- •Оглавление
- •Матрицы
- •Обратные матрицы
- •Ранг матрицы
- •Матричные уравнения
- •Глава 2. Системы линейных уравнений.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Базисные решения
- •Фундаментальные решения
- •Геометрические векторы
- •Сумма множеств по Минковскому
- •Элементы аналитической геометрии
- •N-мерные векторы
- •Глава 4. Векторные пространства
- •Векторные пространства и подпространства
- •Линейные многообразия
- •Метрические пространства
- •Евклидовы пространства
- •Глава 5. Линейные отображения
- •Квадратичные формы
- •Глава 6. Векторные функции
- •Глава 7. Классические методы оптимизации
- •Экстремум неявной функции
- •Условный экстремум
- •Глобальный экстремум
- •Экстремум в системах функций
- •Найти экстремум в системах функций
|
Глава 4 |
Векторные пространства |
|
|
71 |
|||||
1) |
L : x1 |
0 ? |
Например, 2) a , |
|
|
|
2 2 |
1 |
||
2) |
L : x3 |
0 ? |
a , |
a |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
Линейные многообразия |
|
59. |
Сформулировать определение линейного многообразия. |
|
60. |
Доказать, что вектор сдвига x0 принадлежит линейному многообразию H y V x x0 . |
|
61. |
Доказать, что вектором сдвига может быть любой вектор линейного многообразия. |
|
62. |
Доказать, что линейное многообразие однозначно определяется по известным подпространству V x и |
|
вектору сдвига x0 . |
|
|
|
V x ), |
|
|
Доказать, что если вектор сдвига x принадлежит направляющему подпространству V x ( x |
63.то линейное многообразие H y V x x0 обратится в линейное подпространство, т.е. H y V x .
64.Сформулировать определение размерности линейного многообразия. Привести пример нульмерного линейного многообразия. 0 0
Линейное многообразие H x V x0 представить в виде системы линейных уравнений
65. |
H x : |
x a x0 , где |
a 2, 1, |
1, 2 , |
x0 2, |
1, |
0, |
1 , |
|||
R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66. |
H x : x 1a1 |
2a2 |
x0 , |
где a1 1, |
1, 2, |
1 , a2 |
2, |
1, |
1, |
0 , |
|
x0 1, 2, 1, 0 , |
1 , 2 R . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
H x : |
x 1a1 |
2a2 |
3a3 x0 , где |
|
|
|
|
|
|
|
67. |
a1 1, 1, 1, |
1 , a2 |
1, |
0, 1, 0 , a3 |
1, |
1, 1, |
1 , |
|
|
|
|
|
x0 0, 0, 1, 1 , 1 , 2 , 3 R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
3 |
|
|
1, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, |
|||
Например, x1 |
2x2 |
|||||||||||
|
|
2x |
2 |
x |
4 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
x |
2 |
|
x |
|
0, |
||||||
Например, |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
2x |
2 |
3x |
4 |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Например, |
x2 x4 1 |
|
Линейное многообразие H задано системой уравнений. Найти линейное подпространство V x |
и |
|
|
||||||||||||||
|
вектор сдвига x0 |
такие, что |
H V x x0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
2 |
x |
3 |
1, |
|
|
|
|
V x : x b , где R . Например, b 2, |
1, |
1, |
2 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
68. |
H : x1 |
2x2 |
4, |
|
|
|
|
x0 4, 0, |
1, |
3 |
||||||||
|
2x |
2 |
x |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V x : 1b1 2b2 , где 1 , 2 |
R . Например, b1 2, |
|
|
|
0 |
||
69. |
x |
x |
|
x |
0, |
. |
1, |
1, |
||||||||||
H : |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
, b2 3, |
3, 0, 1 , x0 3, 3, 0, |
0 |
|||||
|
x |
2x |
|
3x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
Определить размерность ( dim ) линейных многообразий и выяснить, какие из них пересекаются, скрещиваются или параллельны? В случае пересечения определить размерность H1 H2 .
|
H1 |
2x1 x2 x3 2, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
: |
x x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
70. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
H2 |
y |
: y b y0 , где |
b 2, 1, |
1 , |
y0 |
|
1, |
2, |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
71. |
H1 x : x 1 |
a1 |
2 |
a2 |
x0 , где |
|
a1 1, |
|
|
1, |
0 , a2 |
|
1, |
- 2, |
2 , |
|||||||||||||||||||||||||
H2 |
y : y 1 |
b1 |
2 |
b2 |
y0 ,, где |
|
b1 2, |
|
3, |
|
2 , b2 |
|
|
0, |
1, |
2 , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
72. |
H1 |
2x1 x2 x3 x4 3 |
|
. |
H 2 : |
2x1 x2 5x3 6x4 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
: |
4x |
2x |
|
2x |
|
3x |
|
2 |
|
2x |
x |
|
3x |
|
4x |
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
H1 |
2x 7x |
|
3x |
|
x |
|
5, |
|
|
x 5x |
|
|
9x |
|
|
8x |
|
|
|
1, |
|
|
|||||||||||||||||
73. |
: |
1 |
3x |
2 |
5x |
3 |
|
|
4 |
|
3. |
H 2 : |
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
12. |
|
||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
3 |
2x |
4 |
|
|
5x |
18x |
2 |
|
4x |
3 |
|
5x |
4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
74. |
H1 :3x1 x2 x3 2x4 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
H2 |
x : x 1 |
a1 |
2 |
a2 |
x0 , где |
|
a1 0, |
1, 1, |
0 , |
|
|
|
|
a2 1, 7, 0, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dimH1 1, |
|
|
|
dimH 2 1. |
|
|
|
Скрещиваются |
|
x0 1, |
2, 0 . |
dimH1 2 , |
|
dimH 2 2 . |
|||
x0 2, |
0, 1 . |
||
Параллельны |
|||
|
|
||
|
|
dimH1 2 , |
|
|
|
dimH 2 2 . |
|
|
|
Скрещиваются |
|
|
|
dimH1 2 , |
|
|
|
dimH 2 2 . |
|
|
|
Совпадают. |
|
|
|
dim H1 H2 2 |
|
5 , |
|
dimH1 3 , |
|
|
dimH 2 2 . |
|
|
|
Глава 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные пространства |
|
|
|
72 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 0, |
3, |
|
0, 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пересекаются. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dim H1 H2 |
2 |
|||||||
|
Найти сумму линейных многообразий |
H1 |
и H 2 , |
записав ее векторном виде, а также линейными |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
уравнениями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, в векторном виде |
|
||||||||||||
|
H1 x : x a x0 , |
где a 1, |
1, |
|
1 , |
x0 1, |
|
0, 1 , R ; |
|
|
|
|
H1 H 2 : a b1 z0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
где , |
R , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
75. |
H2 y : y 1 |
b1 |
|
2 |
|
b2 |
y0 , где b1 |
0, 1, 1 , |
|
b2 1, |
0, |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 2, 2, |
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y0 1, 2, 1 , |
1 , 2 R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в виде линейного уравнения |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
H1 x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H1 H 2 : 2x1 x2 x3 4 . |
|||||||||||||||||
|
x 1a1 |
|
2a2 |
x0 , где |
|
a1 1, 0, |
1, 1 , |
|
|
Например, в векторном виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 1, 1, 1, |
0 , |
a3 1, 2, 2, |
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H1 H 2 |
: a1 a2 |
b1 |
z0 , где , |
, |
|
R , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
76. |
|
|
|
|
|
|
x0 0, |
1, |
|
|
1, |
|
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 1, |
2, 1, |
0 ; |
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 x3 x4 |
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
H 2 |
: |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в виде линейного уравнения H1 H 2 : x2 |
x3 x4 |
3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, в векторном виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H1 H 2 |
: a a2 |
b1 z0 , где , |
|
, |
|
R , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x4 |
|
1, |
|
|
a1 1, 0, |
|
0, 3 , |
a2 0, 1, 1, |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
H |
|
: |
x2 |
x3 |
0, |
|
|
|
|
|
; |
H |
|
: |
|
3x |
|
x |
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
77. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
b 4, |
1, 3, |
4 , |
z |
|
1, |
0, 2, 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
3x |
|
2x |
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
2 |
x |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в виде линейного уравнения H1 H 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 7x2 5x3 x4 |
12 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Найти |
|
пересечение |
H1 H2 |
|
линейных многообразий. |
Указать |
|
размерность |
пересечения |
и |
дать |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
геометрическую интерпретацию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
78. |
H1 : |
1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
1 |
|
|
2 |
, |
R . |
dim H |
|
H |
|
1. |
|||||||||||||||||
H 2 |
: x2 x3 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Две плоскости пересекаются по прямой, не проходящей через начало координат. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 x3 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 2x3 |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор x |
6, |
|
3, |
4 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
H1 |
: |
|
|
|
|
|
; |
|
H 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dim H1 H 2 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
79. |
|
|
|
x2 x3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2x2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Две прямые пересекаются в точке. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
H1 |
: |
x1 |
x3 |
1, |
2 ; |
|
|
|
H 2 : |
x1 |
|
x2 |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H1 H2 не существует. Две |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
80. |
x |
x |
2 |
x |
3 |
|
|
|
x |
2 |
x |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямые скрещиваются. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
||
|
H1 x : x 1 a1 |
|
2 a2 x0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
2 |
|
, R . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
где a1 1, |
1, |
|
0 , |
|
a2 0, |
0, |
1 , |
x0 1, |
0, 0 , 1 , 2 R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
81. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dim H1 H2 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H2 |
y : y 1 b1 |
|
2 b2 y0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Две плоскости пересекаются по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
где b1 0, |
1, |
|
1 , |
b2 |
|
1, 0, |
0 , |
|
y0 |
|
0, 2, |
0 , |
1 , |
2 R . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой, не проходящей через |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начало координат. |
|||||||||
|
|
|
|
x |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор (0, 0, -2,-3). dim H1 H2 |
0 |
|||||||||||||||||||||||
82. |
H1 |
: |
|
|
1 |
x3 |
2 |
|
; |
|
|
|
H 2 |
: |
|
2 |
x4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Две двухмерные плоскости |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пересекаются в точке. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
H1 |
|
x1 |
|
2x2 |
3x3 |
x4 |
6 |
|
|
H 2 : |
3x1 |
2x2 4x3 2x4 5 |
|
|
|
|
|
|
x 1, |
1, 1, 0 . dim H1 H2 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
83. |
: |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Две двухмерные плоскости |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x |
|
3x |
|
x |
|
x |
|
0 |
|
|
x |
x |
3x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пересекаются в точке. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
H1 |
|
x1 |
|
2x2 |
3x3 x4 |
6 |
|
|
|
H 2 : |
|
3x1 2x2 4x3 2x4 5 |
|
|
x 1, 1, |
1, 0 . |
dim H1 H 2 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
84. |
: |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Две двухмерные плоскости |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x |
|
3x |
|
x |
|
x |
|
0 |
|
|
|
x |
x |
3x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пересекаются в точке. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dim H1 H 2 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
85. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Две |
двухмерные |
|
плоскости |
||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совпадают |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные пространства |
73 |
|||
|
( |
) |
|
|
, где |
( |
) |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
, где |
( |
) |
( |
) |
|
H1 H2 |
не существует |
||
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||
86. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Две двухмерные плоскости |
|||||
( |
) |
|
|
, где |
( |
) |
( |
|
) |
|||||
|
|
|
|
|
|
параллельны |
||||||||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
) |
|
|
( ) |
( ) ( ) |
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
|
|
|
|
||||
87. |
|
( |
) |
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
, где |
( |
) |
|
|
|
dim H1 H2 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
Две гиперплоскости |
|
|||||||
|
|
( |
) |
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пересекаются по двухмерной |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
( ) |
( ) |
. |
88.
|
( |
) |
|
|
|
|
|
, где |
( |
) |
|
|
89. |
|
( |
|
) |
( |
) |
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
, где |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
( |
|
) |
( |
|
) |
( |
|
) |
|
|
|
Найти пересечение L H подпространства L и линейного |
|||||||||||
|
многообразия H . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
90. |
L : x1 |
2x2 |
2x3 |
x4 |
0, ; |
|
H : 2x1 |
x3 |
x4 |
15, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 |
3x3 |
4x4 |
0 |
|
|
3x1 |
x2 |
6x3 2x4 |
15. |
dim H1 H2 2
Две гиперплоскости пересекаются по двухмерной плоскости
dim H1 H 2 0
мерная плоскость |
|
параллельна |
||||||
|
|
|
гиперплоскости |
|||||
x |
|
|
1 |
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||
x x2 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
, R . |
||||
x3 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
0 |
|
|
|||
x4 |
|
|
dim L H 1.
Какую размерность может иметь пересечение
91.двух гиперплоскостей в четырехмерном пространстве?
Какую размерность может иметь пересечение
92.гиперплоскости и двухмерной плоскости в четырехмерном пространстве?
Гиперплоскости могут совпадать ( |
), |
|
пересекаться по двухмерной плоскости ( |
), |
|
быть параллельными ( |
). |
|
Двухмерная плоскость может быть включена в |
|
|
гиперплоскость ( |
), |
|
двухмерная плоскость и гиперплоскость могут |
|
|
пересекаться по прямой ( |
), |
|
скрещиваться |
). |
|
Какую размерность может иметь пересечение
93.двух двухмерных плоскостей в четырехмерном пространстве?
Какую размерность может иметь пересечение
94.двух трехмерных плоскостей в пятимерном пространстве?
Двухмерные плоскости могут совпадать ( |
), |
|
пересекаться по прямой ( |
), |
|
пересекаться в точке ( |
), |
|
скрещиваться или быть параллельными ( |
). |
|
Трехмерные плоскости могут совпадать ( |
), |
|
пересекаться по плоскости ( |
|
) |
пересекаться по прямой ( |
), |
|
скрещиваться или быть параллельными ( |
). |
Дополненный базис L :
Заданы линейное подпространство L и линейное многообразие H
L : x1 x2 x3 0 ,
95.H : 2x1 x3 2.
Найти базис L и базис H , дополнить базис L до базиса всего векторного пространства и найти матрицу перехода T от базиса L к базису H .
A a , a , e |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
0 0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B b , |
|
1 |
0 |
0 |
|
|||
дополненный базис |
H |
: |
b , e |
0 |
1 |
0 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T A 1B |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные пространства |
|
|
|
|
74 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: a , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
0 |
0 |
|||
|
В дополненном |
|
|
до |
базиса |
всего |
векторного |
прост- |
Дополненный базис |
L |
|
a |
2 |
, |
|
e |
3 |
1 |
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
ранства базисе подпространства L |
записать линейное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
многообразие |
H в векторной форме, а также в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
96. |
H в векторной форме: x |
a |
x0 , где |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
линейных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
L : 2x2 |
3x3 0, |
; H : x1 |
x2 |
5x3 |
4, |
|
|
|
|
|
a 1, 2, 1 , x0 |
1, |
1, |
|
2 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2x |
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 x2 1, |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H в виде системы уравнений: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
При переходе от старого базиса e1 1, |
|
|
0 , e2 |
0, |
|
0 , e3 0, 0, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0, |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 3x2 5x3 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
||||||||||
|
к новому a1 , |
a2 , |
|
a3 |
линейное многообразие |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
: |
2x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
97. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
|
|
a , |
a , |
a |
|
|
|
0 |
|
1 |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
будет иметь вид |
|
|
H |
. Найти новый базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
: |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
При переходе от старого базиса a1 2, |
|
2, 1 , a2 1, |
1, 1 , a3 3, |
2, 1 |
к |
|
b , b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 12 |
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
98. |
новому |
b , |
b , b |
|
уравнение линейного многообразия |
H : |
|
|
|
2 |
, |
|
b |
|
2 8 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
7 |
|
1 |
|||||||
|
2x1 5x2 |
3x3 |
6 |
принимает вид |
H : x1 3 . Найти новый базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
99. |
Существует ли базис, в котором линейное многообразие H : x1 x2 |
x3 1 может быть |
|
|
|
|
|
Нет. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
записано в виде H : x1 0 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
При переходе от старого базиса к новому уравнения линейного многообразия |
H : |
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
100. |
x |
x |
|
2x |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
1, |
. Найти матрицу перехода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
5 |
||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
принимают вид H : |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
3 |
|
||||||||||||||
|
x1 |
2x2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
При переходе от старого базиса a1 , |
a2 , a3 |
к новому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||
101. |
e 1, |
|
0, |
0 , |
e |
|
0, 1, |
0 , e |
|
0, |
0, 1 |
уравнение линейного много- |
|
|
a , |
|
a , |
|
a 1 |
2 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
образия |
H : x1 2x2 |
3x3 |
1 |
принимает вид H : x2 1. Найти старый базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
Метрические пространства
102. |
Что называется метрикой векторного пространства? нормой? |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Какие из равенств задают метрику в векторном пространстве W n ? Обосновать. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
103. |
|
x, |
|
y |
|
0, |
x y, |
(пространство изолированных точек). |
Да. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
x y |
|
|
|
|||||||||||||||||
104. |
|
x, |
|
y |
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Да. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
105. |
|
x, |
|
y |
|
|
|
|
2 x y |
|
|
|
|
|
|
Нет. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
106. |
|
x, |
|
y |
|
|
|
|
|
2x 2 y |
|
|
|
|
|
Да. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
107. |
|
x, |
|
y |
|
x y |
|
|
|
|
|
|
Нет. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Какие из равенств задают длину вектора (норму) в n-мерном векторном пространстве? |
Обосновать. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
108. |
|
x |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Да. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
109. |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
x2 |
|
... |
|
xn 1 |
|
|
Нет. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
110. |
|
x |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
xk2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нет. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
111. |
|
x |
|
|
|
|
xi2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Да. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
112. |
|
x |
|
|
max |
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Да. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
113. |
|
x |
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Да. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1
|
|
|
|
|
Глава 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные пространства |
75 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Да при условии, что |
||||||||
114. |
|
x |
|
|
|
2xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метрика есть |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x, 2 y . |
|
|
||||||
|
Метрика линейного векторного пространства |
R2 задается формулой для |
|
x, |
|
y . На координатной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
плоскости изобразить множество точек, для которых x, |
y 1 , если в метрическом пространстве |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
принята |
евклидова норма; |
|
|
|
октаэдрическая норма; кубическая норма. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ограничиться рассмотрением случая y o . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
115. |
|
x, |
|
y |
|
|
x y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
116. |
|
x, |
|
y |
|
2x 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
117. |
|
x, |
|
y |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
На рисунках 1-3 изображена геометрическая фигура в метрическом пространстве с евклидовой нормой, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
причем |
x, |
|
|
|
y |
|
1 . Изобразить фигуру в метрическом пространстве 1) |
с октаэдрической нормой; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2) с кубической нормой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
118. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Как |
|
изменится |
|
|
|
|
|
расстояние |
|
на |
|
Вдоль осей координат не изменится. Вдоль любого другого луча, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выходящего из начала координат, изменится, причем максимальное |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
координатной |
|
|
плоскости |
|
|
|
|
при |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
изменение происходит вдоль биссектрис каждой четверти: при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
119. переходе от евклидовой нормы к |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) октаэдрической норме; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переходе |
к |
октаэдрической норме |
уменьшится в |
2 раз, при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2) кубической норме? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переходе к кубической норме увеличится в |
|
2 раз. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
На координатной плоскости изобразить множество точек, для которых |
|
x, y 1 , |
если |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
метрическом пространстве норма имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1) x, y |
4 x1 y1 2 9 x2 y2 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
120. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) x, y |
|
3 x |
|
y 3 x |
2 |
|
|
y |
2 |
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3) x, |
y 2 |
|
x1 |
y1 |
|
|
3 |
|
x2 y2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4) x, |
y max 2 |
|
x1 |
|
|
y1 |
|
|
, |
3 |
|
x2 y2 |
|
. Ограничиться рассмотрением случая |
y o . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
121. |
Доказать, что для двух векторов a |
и b с метрикой a, |
b |
|
a b |
|
аксиома |
|
ρ a, |
|
b ρ a, |
c ρ c, |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
, |
где a c x и c b y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Расстояние |
между |
|
|
векторами |
|
|
в |
|
|
случае |
евклидовой |
|
нормы |
|
равно |
евкл , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
122. |
октаэдрической |
|
|
|
|
|
нормы - |
|
|
окт |
, |
кубической |
нормы - |
|
куб |
. Сравнить |
их |
по |
|
|
куб евкл окт |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
величине. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
123. |
Доказать, |
|
|
что расстоянием между вектором |
a и подпространством V в евклидовом пространстве |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
является ортогональная составляющая a вектора a на подпространство V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
124. |
Доказать, |
что расстоянием между вектором a |
и линейным многообразием |
H V x0 в евклидовом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространстве является ортогональная составляющая a x0 |
вектора |
a x0 |
на подпространство V. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Доказать, что расстоянием между двумя линейными многообразиями |
H1 V1 x0 и H2 |
V2 |
y0 |
в |
125.евклидовом пространстве является ортогональная составляющая x0 y0 вектора x0 y0 на сумму подпространств V1 V2 .