- •Оглавление
- •Матрицы
- •Обратные матрицы
- •Ранг матрицы
- •Матричные уравнения
- •Глава 2. Системы линейных уравнений.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Базисные решения
- •Фундаментальные решения
- •Геометрические векторы
- •Сумма множеств по Минковскому
- •Элементы аналитической геометрии
- •N-мерные векторы
- •Глава 4. Векторные пространства
- •Векторные пространства и подпространства
- •Линейные многообразия
- •Метрические пространства
- •Евклидовы пространства
- •Глава 5. Линейные отображения
- •Квадратичные формы
- •Глава 6. Векторные функции
- •Глава 7. Классические методы оптимизации
- •Экстремум неявной функции
- •Условный экстремум
- •Глобальный экстремум
- •Экстремум в системах функций
- •Найти экстремум в системах функций
Глава 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные функции 95 |
|
|
Глава 6. Векторные функции |
|
||||||
1 . О п р е д е л е н и е |
в е к т о р - ф у н к ц и и с к а л я р н о г о |
а р г у м е н т а . Если каждому значению |
|||||||
скалярного аргумента x ставится в соответствие n функций |
y1 x , y2 x , ..., yn x , то набор этих функций |
||||||||
называется вектор-функцией y скалярного аргумента |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
y x y1 x , |
y2 x , |
..., |
yn x . |
|
|
Пусть e1 , |
e2 , |
..., |
en - базис |
n -мерного векторного пространства. Разложим вектор-функцию по |
|||||
векторам базиса |
|
|
|
y x y1 x e1 y2 x e2 |
... yn x en . |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
Если вектор-функцию y x представить как радиус-вектор r x , начало которого поместить в начало |
|||||||||
координат, то конец радиус-вектора |
r x |
будет описывать некоторую кривую, называемую годографом |
|||||||
векторной функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. П р е д е л |
и |
н е п р е р ы в н о с т ь |
в е к т о р - ф у н к ц и и . Вектор a a1 , |
a2 , ..., an называется |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
пределом вектор-функции при x x |
lim y x a |
, если для любого сколь угодно малого числа 0 |
|||||||
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
существует такое число 0 , что для всех значений аргумента x |
из области 0 |
x x0 |
справедливо |
||||||||||||||||
неравенство |
|
y x a |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вектор-функция |
y x называется непрерывной в точке x0 |
, если |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim y x y x0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
3. |
|
П р о и з в о д н а я в е к т о р - ф у н к ц и и с к а л я р н о г о а р г у м е н т а и с в о й с т в а |
|||||||||||||||||
п р о и з в о д н о й . Производной вектор-функции y x по скалярному аргументу x называется предел |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
y x0 x y x0 |
lim |
y . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
x 0 |
x |
|
|||
Свойства производной вектор-функции |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. |
|
dy x |
y x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
dx |
dy x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Вектор |
лежит на касательной к кривой |
|
|
|
|
||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dy x |
|
|
| ( )| |
|
|
|
|
|
|||||||||
3. y x , |
|
|
|
|
|
0 при условии |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
=const. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
( ( ) ( )) ( |
) ( |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4. О п р е д е л е н и е |
ве к т о р - ф у н к ц и и |
в е к т о р н о г о |
а р г у м е н т а . |
Если |
каждой |
||||||||
совокупности m переменных x1 , |
x2 , |
..., |
xm |
соответствует n переменных y1 , |
y2 , ..., |
yn так, что |
||||||||
|
|
|
y1 y1 x1 ,x2 ,..., xm , |
y2 |
y2 x1 ,x2 ,..., xm , ..., yn yn x1 ,x2 ,..., xm , |
|
|
|||||||
то говорят, что задана вектор-функция y y1 , |
y2 , |
..., |
yn векторного аргумента x x1 , x2 , |
..., xm |
||||||||||
|
|
|
или y x y1 x , |
y2 x , |
..., |
yn x , или y y x . |
|
|
|
|||||
|
Векторным полем векторной |
функции y y x в евклидовом пространстве |
R2 называется |
|||||||||||
совокупность векторов, заданная в каждой точке M x1 ,x2 |
векторной величиной |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
y M |
y y M y1 x1 ,x2 |
e1 y2 x1 ,x2 e2 |
|
|
|
||||
|
Векторное поле вектора |
называется потенциальным, если существует скалярная функция |
||||||||||||
u M |
такая, что grad u y . |
Функция u M |
называется потенциалом поля, |
ее поверхности уровня в |
евклидовом пространстве R3 – эквипотенциальными поверхностями или линиями уровня.
|
Глава 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные функции 96 |
||||||
|
5. П р о и з в о д н а я |
|
в е к т о р - ф у н к ц и и |
в е к т о р н о г о |
|
а р г у м е н т а . Производной |
dy вектор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
функции y по вектор-аргументу |
x в точке x |
0 называется предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim y x0 |
x y x0 lim |
y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
от y x по |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
n m , |
|
|
|
|
||||||||||||
Производной |
переменной |
x является |
матрица |
Якоби |
размерами |
составленная |
из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
частных производных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 ... |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
|
|
xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
y2 |
y2 |
... |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
|
|
xm |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
yn |
... |
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
2 |
x |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если задана n -мерная дифференцируемая вектор-функция |
y от m -мерного вектор-аргумента u , а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектор-аргумент в свою |
очередь является дифференцируемой вектор-функцией от k -мерного вектор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
аргумента x , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy u x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
du . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
du |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ПРИМЕР |
|
1. |
|
На |
|
одной |
координатной |
|
плоскости |
|
построить |
|
годограф |
вектор-функции |
||||||||||||||||||||||||||
y x y |
x , |
|
y |
2 |
x |
и ее |
вектор-производную |
dy x |
в заданной точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M 1, |
3 , если вектор-функция имеет вид |
y x x2 , |
x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
y2 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Решение. Выясним, при каком значении x |
годограф проходит через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
точку M 1, |
3 , |
для чего составим и решим систему уравнений |
|
|
2 |
1, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
||
Ее |
решение |
|
|
x 1. |
|
Найдем |
вектор-производную |
|
в |
|
этой |
|
точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
dy x 2x, |
1 2, |
1 . На рис. 6.1 изображен годограф вектор-функции. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор-производная представлена вектором с координатами |
|
, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
касательным к кривой в точке М. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ПРИМЕР 2. Найти потенциал u x , |
x |
2 |
векторного поля |
|
вектора |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
y |
4 |
||||||||||||||||||||||||||
grad u 2x1 1 e1 0,5e2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||
|
и |
эквипотенциальные |
линии |
поля |
|
(линии |
|
|
|
|
Рис. 6.1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
уровня). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. Наша задача: по известным частным производным |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2x |
1 и |
|
u |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
восстановить |
потенциал |
|
u x1 , |
x2 . |
Подобные |
|
задачи |
решаются |
методами, |
развитыми |
в |
теории |
|||||||||||||||||||||||||||||
дифференциальных уравнений. Однако, в простых случаях можно подобрать такую функцию. Например, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u x , |
x |
2 |
x2 |
x 0,5x |
2 |
. Линии уровня получаются из уравнения x2 |
x |
0,5x |
2 |
c , где c const. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 3. Найти производную сложной |
вектор-функции |
y u x |
по вектор-аргументу x , если |
|||||||||||||||||||||
y u1 , |
u2 u1 u2 1, |
u1 2u2 , |
u x1 , |
x2 x1 x2 , |
x1 x2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Решение. Найдем производные |
|
dy u |
и |
|
du x |
, которые являются матрицами Якоби |
||||||||||||||||||
|
|
|
du |
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dy u |
|
|
u u |
|
|
|
|
|
u u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
1 u |
2 |
1 u |
2 |
1 |
1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2u2 u1 |
|
u1 2u2 u2 |
|
|
|
|
Глава 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные функции 97 |
|||
|
|
du x |
|
|
x x |
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
x |
2 |
|
x |
|
1 |
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
dx |
|
|
x1 |
x1 x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Производная сложной функции находится как произведение полученных матриц |
|||||||||||||||||||||||||||
|
dy u x |
|
|
dy |
|
du |
|
|
|
1 |
1 1 |
|
1 |
|
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
3 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
du dx |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изобразить на координатной плоскости последовательно координаты вектор-функции
|
y x sin x, |
|
|
|
sin 4x и найти |
y 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
sin 2x, sin 3x, |
y |
|
, а |
|
y 0 |
|
0 |
|
|
11 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
, |
y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
также |
|
y 0 |
|
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти область определения вектор-функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
2. |
y x |
sin x |
, |
ln 25 |
x2 |
|
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
|
arcsin log 2 x |
, |
sin 1 |
x |
||||
y x x! , |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Найти область значений вектор-функции, т.е. найти ограничения на y x .
5 x |
7 |
, |
|
x |
5 |
|
6 |
6 |
6 |
||||
|
|
|
x 1
|
|
1 |
|
3, |
4. |
y x |
|
, 3x |
|
|
||||
|
2x |
|
|
|
y x cos x, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
||||
5. |
|
sin x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
Определить период вектор-функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
y x sin x, |
|
sin |
|
|
|
, sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
y x cos 2 12x, |
cos 2 15x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
y x tg |
|
|
|
, |
|
cos |
|
|
2x, sin |
|
3x, |
sin x |
|
|
|
Непериодическая |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти наибольшую и наименьшую координаты вектор-функции |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9. |
y x arcsin sin1 , |
arcsin sin 2 , |
arcsin sin 3 , |
arcsin sin 4 |
Наибольшая координата 2 , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наименьшая координата 4 |
||||
|
Исследовать вектор-функцию на четность |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y x sin 3x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
10. |
|
x |
x |
, |
5arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
Нечетная |
||||||||||||||
|
|
2 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11. |
y x ln |
|
|
|
|
|
, |
|
|
sgn x |
, |
sin |
|
x |
|
|
Четная |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изобразить на координатной плоскости годограф вектор-функции
Глава 6
12. r x 1, |
2x 1 |
13. r x x2 , |
x . |
14. r x sin x, |
cos x . |
15. r x sin 2 x, |
cos 2 x . |
|
|
Векторные функции 98 |
|||
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
1 |
1.5 |
2 |
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0.5 |
-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 |
|||||
|
|
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
-1 |
-0.5 |
|
|
0.5 |
1 |
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1 |
Глава 6
16. r x |
|
x 1 |
|
, |
|
x 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
1 |
|
10 |
|
||
|
|
|
||||
|
|
, |
|
|
|
, x 0;. |
|
|
|||||
17. r x x |
|
|
x |
|||
0, |
|
0 , x 0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
18. |
Найти max |
|
|
|
, если r |
|
2 x |
2 |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
19. |
Найти min |
|
|
r x |
|
|
|
, если r x 2x , |
2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Среди вектор-функций указать функции, ограниченные на заданном |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
промежутке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x , x 1,105 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
20. |
а) y x 1, |
e x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
б) y x |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0,1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
ln x, |
sgnx , |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Найди предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
21. |
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
22. |
y x sin x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
23. |
y x x x , |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Исследовать вектор-функцию |
|
x |
, |
|
|
|
на |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
24. |
непрерывность в точке x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Найти производную вектор-функции |
y x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
y x 2sin x , |
|
|
|
|
tgx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
26. |
ctgx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные функции 99 |
|||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 |
|
0.2 |
0.4 |
|||
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
-6 |
|
|
|
|
|
|
|
-8 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
r 0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
а) ограничена; |
|
|
|
|
|||
б) не ограничена |
|
|
|
0, 1
не существует
0, 0
Непрерывна
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y x cos x |
|
2 |
|
|
ln 2, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
cos 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y x |
|
|
|
|
, |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 sin |
2 |
x |
ctgx |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные функции100 |
||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
e |
x2 |
|
|
2xe x |
2 |
|
2x ln 2 |
|
2x 1 ln 2 e |
x2 |
|
|
|
|||||
27. |
y x e x |
|
, |
, |
|
y x |
|
, |
, |
x2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
x2 |
|
2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
x2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28. |
y x ln x, |
ln ln x , |
ln ln ln x |
|
|
y x |
1 |
, |
|
1 |
, |
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln x |
x ln x ln ln x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
29. |
y x x x , |
|
x x2 , |
|
x x3 |
y x x x 1 ln x , |
x x2 1 1 2 ln x , |
x x3 2 1 3ln x |
|
|
|
|||||||||||||
30. |
y x x x, |
x , |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Не существует |
||||||||
|
Найти производную функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
31. |
z u x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
x |
32. |
z 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
33. |
x t , y t z t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt y z x yt z x y zt |
|||||||||||
34. |
( ), если |
( ) |
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
На одной координатной плоскости построить годограф вектор-функции |
y x и ее вектор-производную |
dy x в |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
заданной точке M , если вектор-функция имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
35. |
y x 2x, |
|
x2 , |
M 2, 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dy 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
-2 y 1 2, 2 2 4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy 0 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
y x 1 x, |
1 x3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
36. |
M 1, |
1 . |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 1, |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x sin x, |
cos x , |
M 1, |
0 |
|
|
-1 |
|
-0.5 |
|
|
|
0.5 |
1 |
|
|
|
|
||||||
37. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Глава 6
|
y x arcsin x, |
arccos x , |
|
|
|
|
5 |
|
38. |
M |
|
, |
|
. |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
Векторные функции101 |
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||
dy |
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
-1.5 |
-1 |
-0.5 |
0.5 |
1 |
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2, |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y x x, |
y2 x , y2 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Известно, что |
|
|
y x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Найти вектор- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x 1, |
1 x |
2 |
|
|
|
|||||||
|
производную y x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
40. |
Доказать, что вектор-производная |
|
|
|
dy x |
лежит на касательной к кривой |
y x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
y x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Доказать, что скалярное произведение вектор-функции ( |
) на вектор-производную |
|
при условии |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
41. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
| ( )|=const, |
равно нулю: |
y x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
42. |
Доказать, что из условия |
|
|
y x |
|
const |
не следует равенство нулю вектор-производной. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Найти и изобразить область определения вектор-функции векторного аргумента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
43. |
x |
2 |
|
|
x |
x |
2 |
2 |
, |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
y x , |
x |
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
, |
9 x |
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
44. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
45. |
y x , |
x |
|
arcsin |
|
, |
x |
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1.5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0.5 |
|
-2 |
-1 |
1 |
2 |
|
Глава 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные функции102 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
46. |
y x1 , |
x2 ln 2 x1 |
, |
|
x1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
-1.5 -1 |
-0.5 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
47. |
y x1 , |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
x2 x1 |
|
|
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x2 ln 1 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 -0.5 |
0.5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
48. |
|
y x1 , |
|
x2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
, |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 x1 |
|
x2 |
|
|
x1 |
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
-2 |
-1 |
1 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
49. |
y x , x |
2 |
|
|
x 2 |
x |
2 |
1, ln 1 x , |
|
4 x 2 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
-1 -0.5 |
0.5 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
y x1 , |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
||||
50. |
|
|
|
|
|
|
1 x x |
|
|
|
|
2 |
1 |
x |
2 |
x |
2 |
4 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
x |
|
|
, |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2 |
1.4 |
1.6 |
1.8 |
2 |
|
Глава 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные функции103 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y x , |
x |
|
|
x |
|
x |
|
1, |
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
51. |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
ln 2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
-2 |
-1 |
1 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
y x , |
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
ln 4 x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
52. |
2 |
|
ln x |
2 |
, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2.5 |
|
|
|
|
|
||
53. |
y x1 , |
x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
, |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x3 ln 9 x1 |
x2 |
x3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все точки внутри части шара |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиусом 3, включая |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничивающую плоскость. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
y x1 , x2 , |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
54. |
|
|
2 |
x |
2 |
x |
2 |
, |
|
|
x |
2 |
x |
2 |
x |
2 |
1, |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все точки между меньшей и большей |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полусферами |
радиусов |
1 |
и |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
включая границы. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y x1 , |
x2 , |
x3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
, |
|
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
55. |
4 x1 |
x2 |
x3 |
|
ln x1 |
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 6
|
y x1 , |
|
|
|
|
|
|
56. |
x2 |
, x3 |
2 |
2 |
, |
||
|
x3 x1 |
x2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x , x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57. |
2 |
, |
x |
3 |
1 x2 |
x2 |
x2 |
, |
|||
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x , x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
58. |
2 |
, |
x |
3 |
x |
3 |
|
x 2 |
x 2 |
, |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
2 |
2 |
||
x1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x3 |
||
|
||
|
|
Векторные функции104
1
0
-1
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
Все точки внутри сферы радиуса 2, включая границы, и вне цилиндра радиуса 1, исключая границы.
3
2
1
0
1 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
Все точки параболоида вращения, ограниченные по оси x3 плоскостью
x3 3 .
1
0.75
0.5
0.25
0 |
|
0.5 |
-0.5 |
0 |
0 |
-0.5 |
0.5 |
Все точки конуса, ограниченные сверху частью сферы.
Глава 6
|
y x , x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
59. |
2 |
, |
x |
3 |
x |
3 |
|
, |
x |
3 |
1 |
2 x |
3 |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x , x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
60. |
2 |
, |
x |
3 |
x |
3 |
x2 |
x2 |
, |
x |
3 |
1 x2 |
x2 |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные функции105 |
|
2 |
|
1.5 |
|
1 |
|
0.5 |
1 |
-01 |
0.5 |
-0.5 |
0 |
0 |
-0.5 |
0.5 |
-1 1
Все точки конуса, включая границы.
2
1.75
1.5
1.25
1 |
-1 |
0.5 |
-0.5 |
0 |
0 |
-0.5 |
0.5 |
-1 1
Все точки усеченного конуса, включая границы.
0
-0.25
-0.5
-0.75
|
-1 |
-0.5 |
-0.5 |
00
0.50.5
Все точки выше полусферы и ниже поверхности параболоида вращения, включая границы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y x , x |
|
, x |
|
|
x |
2 |
x |
2 |
1, |
x |
|
x |
2 |
x |
2 |
3 |
x |
|
|
0 |
61. |
2 |
3 |
|
|
2 |
3 |
|
2 |
3 |
|
-1 |
||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
Глава 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные функции106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Все точки выше поверхности параболоида вращения, вне цилиндра и ниже плоскости x3 3 , включая границы
Построить фрагмент карты векторного поля вектор-функции
62. y x1 , |
x2 x1 , |
x2 в области x1 |
0, x2 |
0 |
63. y x1 , |
x2 x1 x2 , |
1 |
64. y x1 , |
x2 x1 x2 , |
x1 x2 |
1 |
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
-1 |
-0.5 |
|
|
0.5 |
1 |
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0.5 |
|
-1 |
-0.5 |
0.5 |
1 |
|
|
-0.5 |
|
|
|
-1 |
|
Глава 6
65. y x1 , |
x2 x2 , |
x1 |
66. y x1 , |
x2 x1 x2 , |
1 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
|
|
|
y x , |
x |
|
|
|
, |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
67. |
1 |
|
|
x1 |
|
x2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
0,2 x1 1, 0,2 x2 1
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
y x , |
x |
2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||
68. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
x2 |
1 x1 10, 1 x2 10 .
|
|
Векторные функции107 |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
-1 |
-0.5 |
|
0.5 |
1 |
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
-1 |
-0.5 |
|
0.5 |
1 |
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
|
|
|
|
|
0.8 |
в области |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
0.2 |
10 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
в области |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
6 |
8 |
10 |
Для скалярной функции u x1 , |
x2 векторного аргумента x x1 , |
x2 найти и построить |
вектор-функцию того же аргумента (найти и построить градиент скалярного поля по его потенциалу)
Глава 6
69.u x1 , x2 x12 x22
70.u x1 , x2 x1 x2
71.u x1 , x2 x1 3x2
72. u x1 , x2 e x1 x2 в области x1 0, x2 0
|
|
|
Векторные функции108 |
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
-3 |
-2 |
-1 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
gradu 2x1 , |
2x2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
-3 |
-2 |
|
-1 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
gradu 1, |
|
1 |
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
-3 |
-2 |
|
-1 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
gradu 1, |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
4 |
gradu e x1 x2 , |
e x1 x2 |
|
|
|
Глава 6 |
|
|
|
|
|
|
|
Векторные функции109 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
-2 |
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
73. |
u x1 , |
x2 |
|
в области |
x1 0, x2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x1 |
1 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
gradu |
|
x |
|
|
1 2 , |
x |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0.5
74. |
u x , |
|
x |
2 |
x |
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
-1.5 |
-1 |
-0.5 |
|
|
|
|
0.5 |
1 |
1.5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gradu 2x1 , |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|||
75. |
u x1 , |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x1 |
x2 |
|
-1.5 |
-1 |
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
0.5 |
1 |
1.5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gradu 2x1 , |
2x2 |
|
|
|
|||||||||
|
Для скалярной функции u x1 , |
x2 векторного аргумента x x1 , |
x2 найти вектор-функцию |
||||||||||||||||||||||
|
того же аргумента (найти градиент скалярного поля по его потенциалу) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
76. |
u x , |
|
x |
2 |
x2 |
x3 |
|
|
gradu 2x x3 |
, |
3x |
2 x2 |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||
|
u x1 , |
|
x2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
77. |
|
|
2 |
|
|
|
gradu x2 |
, |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
x1 |
ln x |
|
|
||||||
78. |
u x , |
x |
2 |
x |
x2 |
|
|
|
|
gradu x |
2 |
x x2 1 , |
|
x x2 |
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
|
u x1 , |
|
x2 log x x2 |
|
|
|
|
|
ln x 2 |
|
1 |
|
|
||||||||||||
79. |
|
|
gradu |
|
|
|
|
2 |
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 ln x1 |
x 2 ln x1 |
|
|||||||
|
Найти потенциал u x1 , |
x2 векторного поля вектора gradu и эквипотенциальные линии поля |
|||||||||||||||||||||||
|
(линии уровня), если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 6
80.grad u 2x1e1 2x2e2
81. |
grad u |
a |
e1 |
a |
e2 , |
, a const |
|
|
|||||
|
|
x1 |
x2 |
|
82. grad u 2x1e1 1 e2 x2
83.grad u 3x12e1 4x23e2
84.gradu x2e1 x1e2
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
x |
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
x |
|
2 |
|
|
|
85. |
gradu |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
1 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
2 |
|
x1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
Найти производную вектор-функции y по вектор- |
|||||||||||||||
|
аргументу |
x : |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
86. |
y x1 , |
x2 x1 x2 , |
|
x1 x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
87. |
y x1 , |
x2 x1 |
x2 , |
x2 |
x1 , |
x1 x2 |
|
|||||||||
88. |
y x1 , |
x2 , |
x3 x1 |
2x2 |
3x3 , |
3x1 2x2 |
x3 |
|||||||||
89. |
y x1 , |
x2 , |
x3 x1 , |
x2 , |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
||||
90. |
y x1 , |
x2 , |
x3 3x3 , |
2x2 , |
|
x1 |
|
|
|
|
|
|||||
91. |
y x1 , |
x2 , |
x3 a1 x1 |
a2 x2 , |
b1x2 |
b2 x3 , |
c1 x3 c2 x1 |
|||||||||
92. |
y x1 , |
x2 , |
x3 x3 x1 , |
x3 x2 , |
|
x2 x1 |
|
|
|
|||||||
93. |
y x , |
x , |
x x x x , |
x |
2 x2 x2 |
, |
x3 x3 x3 |
|
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
Векторные функции110
u x1 , x2 x12 x22 . Линии уровня – окружности x12 x22 c , где
c const.
u x1 , x2 a ln x1 x2 . Линии
|
|
c |
|
|
уровня – гиперболы x2 |
e a |
|||
|
|
|
, где |
|
|
|
|
||
|
x1 |
c const.
u x1 , x2 x12 ln x2 . Линии уровня
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
– кривые x2 |
|
|
|
e |
|
, где c const. |
|||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u x , |
x |
x3 x4 |
. Линии уровня – |
||||||||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
кривые |
|
x |
|
4 c x3 |
, где c const. |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
u x1 , |
x2 x1 x2 . Линии уровня – |
||||||||||||||
гиперболы |
x2 |
|
|
|
c |
, |
где c const. |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
||||
u x , |
x |
2 |
x 12 |
|
x |
12 . |
|
Линии уровня |
|||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
– гиперболы |
x2 |
c 2 |
|
, где c const. |
|||||||||||
x1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
dy |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dy |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dx |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dy |
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dx |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dy |
|
|
a1 |
a2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dx |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
0 |
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
||
dy |
|
|
x3 |
0 |
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dx |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dy |
|
|
x2 x3 |
|
|
x1 x3 |
|
x1 x2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 x22 x32 |
|
2x12 x2 x32 |
2x12 x22 x3 |
|||||||
dx |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3x 2 x 3 x 3 |
|
3x 3 x 2 x 3 |
3x 3 x 3 x 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
Глава 6
94. |
y x1 , x2 , x3 , |
x4 |
|
||
x1 , |
x1 x2 , |
x1 x2 x3 , |
x1 x2 x3 x4 |
||
|
|||||
95. |
y x1 , |
x2 , x3 , |
x4 x1 x3 , |
x2 x4 |
1 dy 1
dx 1
1
dy 10
dx
Векторные функции111
00 0
10 0
11
11 01
01 0
10 1
|
Найти производную сложной вектор-функции y по вектор-аргументу x : |
dy u x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
y u1 , |
u2 u1 2u2 , |
3u1 4u2 , где u x1 , |
x2 4x1 |
3x2 , |
2x1 x2 |
|
|
|
dy |
|
|
8 |
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||
96. |
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
||||||
|
y u , |
|
|
|
2u u |
|
|
|
|
|
, |
где u x , |
|
|
4x x |
|
|
|
|
|
|
dy |
32x x |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
97. |
u |
|
|
, 4u u |
|
|
x |
|
|
, |
2x x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 2x2 |
2x1 |
|
|
|
|||||||||
|
y u1 , |
u2 3u1 2u2 , |
2u1 3u2 , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
3 |
|
10 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
98. |
u x , |
x |
|
|
, x x 2x |
|
, |
2x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y u1 , |
u2 u1 u2 1, |
u1 u2 2, |
u1 |
u2 |
3 , где |
|
|
|
|
dy |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
99. |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
u x1 , |
x2 , x3 x1 x2 x3 , |
x1 x2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
0 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
y u1 , |
u2 u1 , |
|
u1 , |
u1 u2 , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
100. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
u x1 , |
x2 , x3 x1 x2 x3 , |
x1 x2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
2 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|