Система разностных уравнений (3.2.45) дополнялась начальными и граничными условиями (3.2.40 – 3.2.44) и решалась методом обыкновенной прогонки попеременно в двух направлениях.
Текст программы алгоритма решения двумерного параболического дифференциального уравнения (3.2.39), написанной на блочно-структурном языке системы MATH CAD и числовые данные, приведены ниже.
Результаты численных расчетов. Для отработки и выверки выше- приведенного алгоритма численного решения двумерного уравнения диффузии частиц (3.2.39) ставились два численных эксперимента. В первом эксперименте расчеты концентраций частиц проводились для симметричных условий по обеим координатным осям x и y (число и величины пространственных шагов по осям x и y имели одинаковые значения).
Рассчитанные зависимости концентраций частиц от х и у приведены на рис. 3.20.
Рис. 3.20. Зависимости концентраций частиц от координат х и у
Как и следовало ожидать, зависимости концентраций частиц от координат x и y, изображенные на рис. 3.20, полностью совпадают, что подтверждает правильность разработанного выше алгоритма численного решения двумерного уравнения диффузии частиц.
Во втором численном эксперименте число пространственных шагов было одинаковым, а их величины – разными и имели следующие значения:
Xn:=250; n:=50; yM:=50; M:=50; tk:=72000; k:=60; N0:=1; No:=1,2; Nyo:=1,2; Do:=0,4.
Для этого случая рассчитанные зависимости концентраций частиц от координат х и у приведены на рис. 3.21.
Рис. 3.21. То же самое, что и на рис. 3.20, только шаг интегрирования по оси x в пять раз больше, чем по y
Анализ зависимостей концентраций частиц от координат x и y, приведенных на рис. 3.21, указывает на разный характер зависимостей N(t,x). Так вдоль оси х возмущение, заданное левым краевым условием, не успевает добежать до правой границы (большая сторона прямоугольника), то по оси y оно приходит на границу области.
Задание.
Провести численное исследование
процесса
переноса частиц на основе нестационарного
двумерного дифференциального уравнения
(3.2.36) при следующих начальных и граничных
значениях концентрации
N(x,у,0)
и
N(0,у,t),
N(x,0,t)
(
и
),
а также коэффициентах диффузии D,
приведенных в табл. 3.9.
Таблица 3.9
|
Номер пос-ледней цифры зачетной книжки |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
N(x,у,0)10-26м-3 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
21 |
20 |
19 |
18 |
17 |
|
N(0,у,t) 10-26м-3 |
26,2 |
25,2 |
24,2 |
23,2 |
22,2 |
21,2 |
20,2 |
19,2 |
18,2 |
17,2 |
|
N(x,0,t)10-26м-3 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
21 |
20 |
19 |
18 |
17 |
|
D,см2/сут |
0,1 |
0,09 |
0,08 |
0,07 |
0,06 |
0,11 |
0,12 |
0,13 |
0,13 |
0,14 |