- •Оглавление
- •Числовые выражения Свойства дробей
- •Основное свойство дроби
- •Действия с дробями
- •Линейные уравнения и системы линейных уравнений
- •Линейное уравнение с одной переменной
- •Задания для решения
- •Системы линейных уравнений
- •Алгебраические выражения
- •Формулы сокращённого умножения
- •Тождественные преобразования рациональных выражений
- •Задания для решения
- •Квадратное уравнение и его корни
- •Задания для решения
- •Теорема Виета
- •Задания для решения
- •Уравнения, сводящиеся к квадратным
- •Задания для решения
- •Множества
- •Числовые множества
- •Операции над множествами
- •П ересечение множеств
- •Объединение множеств
- •Разность множеств
- •Задания для решения
- •Прямоугольная система координат
- •Прямоугольные координаты точки
- •Векторы на плоскости и в пространстве
- •Геометрические фигуры на плоскости
- •Треугольники
- •Задания для решения
- •Четырёхугольники
- •Задания для решения
- •Окружность и круг
- •Задания для решения
- •Функции
- •Основные понятия
- •Функции
- •Задания для решения
- •Линейная функция
- •Задания для решения
- •Функции , ,
- •Задания для решения
- •График и свойства квадратичной функции
- •Задания для решения
- •Системы уравнений с двумя переменными
- •Показательная и логарифмическая функции
- •Показательная функция
- •Задания для решения
- •Показательные уравнения
- •Логарифмическая функция ,
- •Задания для решения
- •Показательные и логарифмические уравнения
- •Задания для решения
- •Элементы тригонометрии
- •Графики тригонометрических функций
- •Задания для решения
- •Тригонометрические преобразования и уравнения
- •Задания для решения
- •Арифметическая и геометрическая прогрессии
- •Арифметическая прогрессия
- •Геометрическая прогрессия
- •Приложения последовательностей в финансовой математике
- •Задачи для подготовки к зачёту
-
Системы линейных уравнений
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
(1)
СЛУ – система линейных уравнений.
При решении СЛУ по формулам Крамера необходимо найти 3 определителя:
определитель системы.
Возможны 3 случая:
-
Единственное решение системы (1) находим по формулам Крамера:
-
Решений нет.
-
При система имеет множество решений.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
Решение. Найдём определители:
По формулам Крамера получаем решение системы:
-
Алгебраические выражения
-
Формулы сокращённого умножения
-
-
квадрат суммы a и b равен квадрату первого члена плюс удвоенное произведение первого члена на второй плюс квадрат второго члена;
-
квадрат разности a и b;
-
разность квадратов;
-
разность кубов;
-
сумма кубов;
-
куб суммы;
-
куб разности.
-
Тождественные преобразования рациональных выражений
Пример. Найдём и из тождества:
Приведём дроби к общему знаменателю:
Дроби и равны, их знаменатели равны. Значит, равны числители:
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
Пример 4. Выполним деление многочленов с остатком: .
Пример 5. Выполним деление многочленов без остатка:
Задания для решения
-
Упростите выражение:
-
Найдите и из тождества:
-
Выполните деление многочленов с остатком:
а) б)
-
Сократите дроби:
-
Квадратное уравнение и его корни
квадратное уравнение
приведённое квадратное уравнение,
Рассмотрим квадратное уравнение
Получим равносильное приведённое квадратное уравнение
Выделим полный квадрат:
Уравнения (1) и (2) имеют одинаковые корни.
дискриминант.
-
уравнение имеет 2 различных действительных корня.
(3) – формула корней квадратного уравнения.
то уравнение (2) принимает вид:
В этом случае уравнение (1) имеет два одинаковых корня
то уравнение
не имеет действительных корней.
квадратный трёхчлен.
Квадратный трёхчлен можно разложить на множители вида:
,
корни уравнения
Задания для решения
-
Разложите квадратный трёхчлен на множители:
-
Теорема Виета
Теорема Виета: приведённое квадратное уравнение. Тогда сумма корней произведение корней
Доказательство: .
Если то уравнение имеет два корня:
Найдём сумму и произведение корней:
Задания для решения
-
Найдите сумму и произведение корней уравнения:
-
Уравнения, сводящиеся к квадратным
биквадратное уравнение.
новая переменная.
Получим квадратное уравнение .
Пример 3. Решим биквадратное уравнение
новая переменная.
Получим квадратное уравнение
– корни квадратного уравнения,
– корни биквадратного уравнения.
Пример 4. Решим уравнение
ОДЗ: . (1)
Выполним умножение в знаменателях дробей и получим:
Введём новую переменную . Получим уравнение.
, (2)
ОДЗ: . (3)
Умножим уравнение (2) на . Получим
Корни этого уравнения удовлетворяют условиям (2). Значит,
или .
Уравнение не имеет корней.
Уравнение имеет корни , которые условиям (1). Значит, исходное уравнение имеет два корня:
Ответ: :