- •2.15. Матрицы
- •2.17. Умножение матриц
- •2.19. Умножение матрицы на вектор
- •2.20. Матрично-векторная форма записи системы линейных уравнений
- •2.21. Обратная матрица
- •2.22. Транспонирование матрицы
- •2.23. Ранг матрицы
- •2.24. Симметрические и ортогональные матрицы
- •2.26. Разложение определителя по строке и столбцу
- •2.27. Свойства определителей. Вычисление определителей
- •2.28. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей
- •2.29. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •2.30. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду
2.15. Матрицы
Прямоугольная таблица чисел
состоящая из т строк и л столбцов, называется матрицей размера тхп. Числа а1Ь а12, атл называются ее элементами. Часто вместо подробной записи используют сокращенную: А = (%).
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк, равное числу столбцов, порядком квадратной матрицы.
Множество всех элементов квадратной матрицы, которые лежат на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним, — побочной диагональю.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица обозначается символом {аь аг, «„}, где в скобках указаны элементы, находящиеся на главной диагонали.
Две матрицы А—(аи) и В=(Ьи) называются равными, если числа их строк и столбцов равны и если равны элементы, стоящие на соответственных местах этих матриц: аи=Ьи при любых I и _/.
2.16. Умножение матрицы на число и сложение матриц
По определению, чтобы умножить матрицу А на число к, нужно каждый элемент матрицы А умножить на к. Например,
Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов. Суммой матриц А = (а0) и В=(Ь„) называется матрица С=(с,,), элементы которой равны суммам соответственных элементов матриц А и В: с^=а^ + Ь^ при любых г и }.
Например,
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через 0. Для любой матрицы А имеем А + 0=А.
Матрица А( — 1) называется противоположной А и обозначается через — А. Вместо А + (—В) пишут А—В.
Свойства умножения матрицы на число и сложения матриц (А, В, С — матрицы, к, 1 — числа)
2.17. Умножение матриц
Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица АВ,
у которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В:
А В АВ число строк т п т число столбцов п II
А =
в,1 аа
\
Запишем матрицы А и В в виде . В=
\ ат\ От! . . . а™,у
Ь2\ Ь22
Ьп1 Ь„г
Ьц
Обозначим элементы матрицы АВ через с^, 1^г^т, Тогда
/сп ... си . . . Сц \
АВ=
Сц . . . сц
с».
Ст\
С„1
По определению, элемент с\$ матрицы АВ равен скалярному произведению 1-й строки матрицы А (/ — первый индекс элемента с^) на_/-й столбец матрицы ВЦ — второй индекс элемента сц), т. е.
2 3 4 5 А= \ 9 2 -3 4 | , В= -1 -5 3 11
су = (о„, аа, ак) (Ьф Ьу, .... Ь„}) = апЬу+ ааЬу+ ... + а,Ау О Пример. Найти произведение АВ, если
1 -3
2 5
/ 3 2^ 4 -1
Матрица АВ является матрицей размера 3x2. Вычисляем элементы Сц матрицы АВ. Имеем: с„ = (2, 3, 4,5)(3, 4, 1, 2)=2'3 + 34+41+5'2=32;
с12=(2, 3,4,5) (2, -1, -3,5) = 2-2+3(-1)+4(-3) + 5-5 = 14;
с21 = (9, 2, -3, 4) (3, 4, 1,2)=9'3 + 2-4 + (-3)-1+4-2=40;
С22 = (9,2-3,4)(2, -1, -3,5) = 92 + 2(-1) + (-3)(-3) + + 4-5=45;
с3, = (-1, -5, 3, 11) (3, 4, 1,2) = (-1)3 + (-5)4 + 31 + + 11-2=2;
с,2 = (-1, -5,3, 11) (2, -1, -3,5) = (- 1)• 2 + (-5) (-1)+ + 3 (-3)+11 5 = 49.
Свойства умножения матриц
Итак, АВ= I 40 45 1 - •
\ 2 49/
1°. (АВ) к = (Ак) В=А (Вк), к — число. 2°. (А + В) С = АС + ВС. 3°. С (А+В) = СА + СВ. 4°. (АВ) С=А {ВС).
Произведение матриц зависит от порядка множителей. Если
\о о/ \о о/ \р о/ \о о;
[атрицы А, В называются перестановочными, если АВ=ВА.
2.18. Блочные матрицы и действия с ними
Пусть некоторая матрица А разбита на клетки горизонталь' ими и вертикальными прямыми. Например, матрица
ап а12
(2ц 022
аЪ1 аг2
«бита на четыре клетки. Каждая клетка является матрицей, бозначим клетки матрицы'Л через А,,, Ап, Агх, А12, где
/а,3 ам а!5\
а2Ъ Оц
%5 «34 0Э5
V
Теперь матрицу А можно записать в виде
■Ац А{2у
[\Л21 Ап)
Матрица, которая некоторым образом разбита на клетки, называется блочной или клеточной. Каждую матрицу можно представить в блочной форме разными способами.
При умножении блочной матрицы на число следует все ее клетки умножить на это число.
Чтобы сложить две матрицы одинакового размера и одинаковым образом разбитых на клетки, достаточно сложить одноименные клетки этих матриц, т. е.
Ап Ап ... Ах\ 1Ви Вп ... Вь
А2\ Л22
\<4/я1 Ат2
■ Аъ,
Ащп
В2\ В22 . . . Въц
>т2
\Вт\ в,
Аи +Вп А12+В12 ... А1я + В1я\ А21+В2\ А22+В22 ... Аъ+Вь,
[Ат\ + Вт1 Ат1+Вт2 ... Атн+Вт
Пусть теперь даны матрица А размера л х I и матрица В размера {х /, причем
Вп
В,
А =
В = \
V
■т\
Ш1
\В„1 . . . Впр
и число столбцов клетки Ау равно числу строк клетки В# при всех г= 1,т; ; = 1, п; к~1, ...,р. Тогда
АВ=\
!Ст1
где с1к=АцВ1к + АаВ2ь+... + АшВяк.