- •Основные сведения о матрице
- •Операции над матрицами
- •Определители квадратных матриц
- •Теорема о разложении определителя по строке или столбцу
- •Обратная матрица
- •Нахождение обратной матрицы методом Гаусса
- •Системы линейных уравнений – общие определения
- •Решение слу в матричной форме
- •Метод Гаусса решения слу
- •Разложение вектора по системе векторов
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •Базис и ранг системы векторов
- •Векторы и матрицы
- •Ортогональные системы векторов
- •Фундаментальные системы решений для слу
- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Приведение квадратной матрицы к диагональному виду
- •Ортогональные и симметрические матрицы
- •Общая постановка задачи линейного программирования
- •Решение задач линейного программирования графическим методом
- •Общая задача линейного программирования
- •Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов
- •Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства
- •Квадратичные формы
Основные сведения о матрице
опр. Матрицей размера mxn наз-ся прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Матрицы обозначаются заглавными лат. буквами, а их элементы – строчными с двойным индексом: aij, где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении кот. расположен элемент.
Виды матриц:
опр. Матрица, у которой m=n, наз-ся квадратной матрицей n-ного порядка.
опр. Матрица, состоящая из 1 строки наз-ся матрицей-строкой (вектором-строкой). Матрица, состоящая из 1 столбца наз-ся матрицей-столбцом (вектором-столбцом).
опр. Матрица наз-ся диагональной, если все внедиагональные эл-ты равны 0.
опр. Единичной матрицей n-ного порядка (Е) наз-ся диагональная матрица, у кот. все диагональные эл-ты = 1.
опр. Нулевой матрицей наз-ся матрица любого размера, если все ее эл-ты = 0
опр. Две матрицы A и B наз-ся равными, если они одинакового размера mxn и совпадают по элементам.
Операции над матрицами
Сложение матриц
опр. Суммой матриц A и B одинакового размера mxn наз-ся матрица C размера mxn, эл-ты кот. cij получаются по элементарным сложениям соответствующих элементов матриц А и В, т. е. сij=аij+bij, i= ; j= .
Умножение матрицы на число
опр. Произведением матрицы A размера mxn на число k наз-ся матрица С размера mxn, эл-ты которой получаются поэлементным умножением соответствующих элементов на число k.
зам. Общий множитель всех эл-тов матрицы можно выносить за знак матрицы.
Вычитание матриц
опр. Разность матриц А и В одинакового размера определяется через предыдущие операции как А-В=А+(-1)В, А-В=С, сij=аij-bij.
зам. А+О=А; А*0=О; А*1=А
Умножение матриц
опр. Произведение матрицы A размера mxk на матрицу B размера kxn наз-ся матрица C размера mxn, каждый эл-т кот. cij получается в виде произведения i-ой строки матрицы A на j-й столбец матрицы B (произведение берется как скалярное произведение i-ой вектор-строки матрицы A на j-й вектор-столбец матрицы B), т.е. cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aikbkj.
зам. Произведение матриц сущ. тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй.
Свойства операций:
AB≠BA.
AE=EA=A
АВ=0, из этого не следует, что А=0, В=0
Возведение в степень
опр. Целой положительной степенью Ak (k>1) квадратной матрицы А наз-ся произведение матрицы A саму на себя k раз.
зам. а)A0=E, А1=А б)Ak=0, не следует, что А=0
Транспонирование матрицы
опр. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице АТ (или А’), в кот. строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, при этом матрица АТ называется транспонированной относительно матрицы А, а ее эл-ты вычисляются по формуле: aTij=aji, i= ; j=
Св-ва:
(AT)T=A
(kA)T=kAT
(A+B)T=AT+BT
(AB)=BTAT
опр. Симметрическая матрица – квадратная матрица, у кот. эл-ты, симметричные относительно данной диагонали, равны, т. е. AT=A
Определители квадратных матриц
1) Определителем первого порядка ∆1 для матрицы А размера 1х1 А=(а), называется число А.
2) Определителем второго порядка ∆2 для квадратной матрицы 2х2 А= , называется число аd-bc.
А*= ∆2=ac-b2
3) Определителем третьего порядка ∆3 для квадратной матрицы А= называется числовая хар-ка: aek+bfg+dik-(ceg+dbk+aif).
4)Определителем n-ого порядка ∆n квадратной матрицы A наз-ся число, равное алгебраической сумме n!=1·2·3·…·n слагаемых, каждое из кот. является произведением n эл-тов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.
зам. С ростом числа n увеличивается число слагаемых.
зам. Один из способов вычисления определителя n-ого порядка – это способ приведения определителя к верхнему треугольному виду путем использования св-в определителя.
Св-ва определителей:
1)Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т. е. ∆(А)= ∆(АТ)
2)Перестановка двух строк (столбцов) определителя равносильна умножению определителя на (-1).
3)Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.
4)Умножение всех эл-тов одной строки (столбца) определителя на любое число c равносильно умножению определителя на это число c. Поэтому общий множитель всех эл-тов строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя.
5)Если все эл-ты строки (столбца) определителя равны 0, то он тоже равен 0.
6)Если эл-ты двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то он равен 0.
7)Если к эл-там некоторой строки (столбца) определителя прибавить соотв. эл-ты др. строки (столбца), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя не изменится.
8)Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей. |А*В|=|А|*|В|
9)Если каждый эл-т k-го столбца (строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то исходный определитель может быть представлен в виде суммы трех определителей, из кот. один в k-том столбце (строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой вторые; а эл-ты, стоящие на остальных местах одинаковые из всех трех определителей.