2. Поверхности, образованные 2-мя направляющими и пл-тью параллелизма

Поверхности данной группы образуются при движении в пространстве прямой образующей ℓ по двум направляющим m и n, оставаясь при этом параллельной заданной пл-ти Г, которая называется пл-тью параллелизма.

В данную группу входят следующие поверхности:

а) цилиндроид – поверхность, образованная движением прямой образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум криволинейным направляющим m и n, не лежащим в одной плоскости.

б) коноид образуется движением прямой образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум направляющим m и n, одна из которых является прямой линией, а вторая – какой-либо кривой.

в) гиперболический параболоид (гипар) образуется движением прямолинейной образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум прямолинейным направляющим m и n, представляющие собой две скрещивающиеся прямые.

Рассмотрим решение задач.

Задача 1: По заданному определителю построить каркас и очерк поверхности. Построить недостающую пр-ию т-ки А, принадлежащую данной поверхности.

Решение:

Итак, поверхность задана определителем Σ (S, m), S-конечная точка, проекция направляющей – ломаная линия, следовательно, это пирамидальная поверхность.

Принадлежность т-ки поверхности.

Теорема.: Т-ка принадлежит поверхности, если она лежит на линии, принадлежащей данной поверхности.

Задача 2. Построить очерк и каркас поверхности, заданной определителем Σ ( m, n, П₁ ), m и n – направляющие, П₁ –пл-ть параллелизма .

Решение:

Исходя из определителя Σ ( m, n, П₁ ), все образующие должны быть || П₁.

Винтовые поверхности.

Винтовые поверхности образуются при сложном винтовом движении прямой образующей, когда каждая т-ка этой образующей вращается вокруг неподвижной оси, а один конец этой образующей равномерно перемещается по этой оси. Т.е. это совокупность 2-х движений образующей – поступательного перемещения вдоль оси поверхности и вращательного вокруг оси.

Определитель поверхности:

Σ (ℓ, i, H, φ ), где ℓ – образующая; i – ось; Н – шаг винтовой линий; φ - угол наклона образующей к оси.

Поверхность, образованная при вращательном поступательном движении прямой образующей, наз-ся геликоидом. В зависимости от угла наклона образующей к оси геликоид может быть прямой (φ = 90⁰) и наклонный (φ ≠ 90⁰). Если образующая пересекается с осью поверхности, геликоид называют закрытым (б), если не пересекается – открытым (а). (Поверхность пандусов многоэтажных гаражей и некоторых других зданий представляет собой прямой открытый геликоид).

Открытый геликоид Закрытый геликоид