- •ВВЕДЕНИЕ
- •§ 1. Матрицы и простейшие операции над ними
- •Операции над матрицами
- •§ 2. Определители, их основные свойства и методы вычисления
- •2.1 Определители второго порядка
- •Свойства определителей второго порядка
- •2.2 Определители третьего порядка
- •2.3 Понятие об определителях высших порядков
- •§ 3. Обратная матрица и ее вычисление
- •4.2 Метод Крамера
- •4.3 Метод Гаусса
- •§ 5. Векторы, линейные операции над векторами
- •Линейные операции над векторами
- •§ 6. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях
- •§ 7. Линейная зависимость векторов. Базис
- •7.1 Базис на плоскости и в пространстве
- •7.2 Прямоугольный Декартов базис. Декартова система координат
- •7.3 Направляющие косинусы вектора
- •7.4 Радиус-вектор
- •7.5 Условие коллинеарности двух векторов
- •7.6 Простейшие задачи
- •§ 8. Скалярное произведение векторов
- •8.2 Косинус угла между векторами
- •§ 9. Векторное произведение векторов
- •§ 10. Смешанное произведение трех векторов
- •§ 2. Прямая на плоскости
- •2.1 Общее уравнение прямой и его исследование
- •2.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •2.6 Уравнение прямой в отрезках
- •2.7 Нормальное уравнение прямой
- •2.8 Расстояние от точки до прямой
- •§ 3. Плоскость
- •3.1 Общее уравнение плоскости
- •3.2 Неполные уравнения плоскости
- •3.3 Уравнения плоскости в отрезках
- •3.4 Нормальное уравнение плоскости
- •3.6 Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Прямая в пространстве
- •4.1 Уравнение линии в пространстве
- •4.2 Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
- •4.3 Канонические уравнения прямой
- •4.4 Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •4.6 Прямая и плоскость в пространстве
- •§ 5. Плоские кривые второго порядка
- •5.1 Окружность
- •5.2 Эллипс
- •5.3 Гипербола
- •5.4 Парабола
- •§ 6. Преобразование системы координат на плоскости
- •6.1 Параллельный перенос осей координат
- •6.2 Поворот осей координат на угол α
- •§ 7. Полярная система координат на плоскости
- •8.1 Сфера
- •8.2 Цилиндрические поверхности
- •8.3 Конические поверхности
- •8.4 Поверхность вращения
- •8.5 Эллипсоид
- •8.6 Гиперболоид
- •8.7 Параболоид
- •Глава III МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •§ 1. Логическая символика, множества и операции над ними
- •§ 2. Функции и их классификация
- •Элементарные функции
- •§ 3. Абсолютные величины и соотношения, связанные с ними
- •Свойства модуля действительного числа
- •§ 4. Последовательность. Характер изменения переменных величин
- •§ 5. Понятие о пределе переменной
- •§ 6. Окрестность точки
- •§ 7. Предел функции в точке
- •§ 8. Односторонние пределы функции в точке
- •§ 9. Свойства функций, имеющих предел
- •§ 10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 11. Основные теоремы о пределах
- •§ 12. Предел дробно-рациональной функции
- •§ 13. Первый замечательный предел
- •§ 14. Второй замечательный предел
- •§ 15. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 16. Непрерывность функции
- •§ 17. Операции над непрерывными функциями
- •§ 18. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 19. Производная функции одной переменной
- •19.2 Основные свойства производной
- •19.3 Производная сложной функции
- •19.4 Производная обратной функции
- •19.5 Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
- •19.6 Геометрический смысл производной
- •19.7 Уравнения касательной и нормали к линии
- •19.8 Дифференцирование элементарных функций
- •19.9 Производная степенно-показательной функции
- •19.10 Дифференцирование неявной функции
- •19.11 Производные высших порядков
- •19.12 Правила Лопиталя
- •19.13 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •19.14 Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •19.15 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •19.16 Выпуклость и вогнутость функции
- •19.17 Формула Тейлора
- •§ 20. Дифференциал функции одной переменной
- •20.1 Дифференциал и его геометрический смысл
- •20.2 Свойства дифференциала функции
- •20.3 Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности
- •20.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала
- •20.5 Дифференциалы высших порядков
- •§ 21. Функции многих переменных
- •21.1 Понятие функции нескольких переменных
- •21.2 Непрерывность функции двух переменных
- •21.3 Дифференцирование функции двух переменных
- •21.5 Полный дифференциал функции двух переменных
- •21.6 Приближенное вычисление с помощью полного дифференциала
- •21.7 Производные высших порядков функции двух переменных
- •21.9 Неявная функция. Дифференцирование неявной функции
- •21.10 Градиент функции многих переменных и его свойства
- •21.11 Экстремум функции нескольких переменных
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
|
|
81 |
Определение 2. Число b2 называется |
пределом функции |
f (x) при |
x → x0 справа, если для любого сколь угодно |
малого числа ε > 0 |
существует |
такое δε |
> 0 , |
что |
|
|
для |
всех |
x , |
|
удовлетворяющих |
соотношению |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x0 < x < x0 +δε , выполняется неравенство |
|
f (x) −b2 |
|
< ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Обозначение: |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) = b2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Замечание. Если функция |
|
|
f (x) имеет в точке x0 оба односторонних преде- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ла, которые равны между собой и равны числу b , то функция |
|
f (x) имеет в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке x0 предел равный b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 9. |
Свойства функций, имеющих предел |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Определение. |
|
|
Функция f (x) |
называется ограниченной на некотором |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
множестве M , если для любого x M выполняется неравенство |
|
f (x) |
|
≤ C , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где C – некоторая положительная константа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Теорема 1. |
Пусть функция |
|
|
f (x) |
имеет предел в точке x0 , тогда суще- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ствует проколотая окрестность O&(x ) , в которой функция |
f (x) |
ограничена. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. |
|
Пусть |
lim |
|
|
|
|
f (x) = b . Это значит, что для любого ε > 0 |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
для ε =1 существует δ > 0 |
|
|
такое, что для любого x O& |
|
|
(x ) выполняется не- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равенство |
|
f (x) −b |
|
< ε =1, т.е. b −1 < f (x) < b +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пусть |
|
C = max{ |
|
b +1 |
|
; |
|
|
b −1 |
|
}. Тогда для любого x O& |
(x ) выполня- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
ется неравенство |
|
|
|
f (x) |
|
< C , что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Теорема 2. |
Если функция |
f (x) имеет предел при x → x0 , то этот пре- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дел единственный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Доказательство. |
Предположим, |
что функция |
f (x) при |
|
x → x0 |
|
имеет два |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
различных предела, т.е. |
lim |
f (x) = a |
|
и |
|
lim |
f (x) = b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
lim |
|
f (x) = a , следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x : |
||||
|
|
|
|
для |
|
любого |
|
ε > 0 |
|
существует |
δ1 > 0 |
такое, |
что |
для |
любого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 < |
|
|
|
x − x0 |
|
|
|
|
<δ1 |
|
|
|
|
f (x) − a |
|
|
|
|
< ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
f (x) = b , следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ2 > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x : |
||||||
|
|
|
|
для |
|
любого |
|
ε > 0 |
|
существует |
такое, |
что |
для |
любого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 < |
|
x − x0 |
|
|
|
<δ2 |
|
|
|
|
|
f (x) −b |
|
< ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пусть |
δ = min{δ1; δ2 }. Тогда для любого x : 0 < |
|
x − x0 |
|
|
<δ |
|
будут од- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
новременно выполняться и неравенство (1), и неравенство (2).
82
Для этих значений x имеем:
b − a = b + f (x) − f (x) − a = (b − f (x)) + ( f (x) − a) .
По свойству модулей имеем:
(b − f (x)) + ( f (x) − a) ≤ b − f (x) + f (x) − a < ε +ε = 2ε .
Следовательно, |
|
b − a |
|
≤ 2ε |
|
b − a |
|
= 0 , т.е. |
b = a . Следовательно, если |
||
|
|
|
|
||||||||
предел у функции существует, то он единственный. |
|
|
|||||||||
|
|||||||||||
Теорема 3 (теорема о двух милиционерах). |
Пусть даны три функ- |
||||||||||
ции f (x) , ϕ(x) , |
|
g(x) , которые определены в некоторой окрестности O&(x ) и |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
удовлетворяют условию ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x) в этой окрестности. Тогда, если
lim ϕ(x) = lim g(x) = b , то lim f (x) = b . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x→x0 |
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Доказательство. Пусть |
f (x) удовлетворяет условию ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x) . (*) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пусть lim ϕ(x) = b , следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x : |
||
|
|
|
|
для |
|
|
любого |
ε > 0 |
существует |
δ1 > 0 |
такое, |
что |
для |
любого |
|||||||||||||||
0 < |
|
|
|
x − x0 |
|
|
<δ1 |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(x) −b |
|
|
|
< ε . |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пусть lim g(x) = b , следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x : |
||
|
|
|
|
для |
|
|
любого |
ε > 0 |
существует |
δ2 > 0 |
такое, |
что |
для |
любого |
|||||||||||||||
0 < |
|
x − x0 |
|
|
<δ2 |
|
|
|
|
|
|
|
g(x) −b |
|
< ε . |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Пусть |
|
δ = min{δ1; |
δ2 }. Тогда для любого x , удовлетворяющего соот- |
||||||||||||||||||||||
ношению 0 < |
|
x − x0 |
|
|
<δ , будут одновременно выполняться и неравенство (3) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
и неравенство (4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b −ε <ϕ(x) < b +ε . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Неравенство (3) можно представить в виде: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Неравенство (4) можно представить в виде: |
b −ε < g(x) < b +ε . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Они выполняются одновременно, причем по условию выполняется не- |
|||||||||||||||||||||||||
равенство (*). Тогда для любого x O& |
(x ) получаем: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
0 |
|
|
|
|
|
|
b −ε <ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x) < b +ε .
(3)(*) (*) (4)
Таким образом, |
имеем: для любого |
x : |
0 < |
|
x − x0 |
|
<δ |
выполняется |
||||||
|
|
|||||||||||||
b −ε < f (x) < b +ε |
|
f (x) −b |
|
< ε |
|
lim |
f (x) = b . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 10. |
Бесконечно малые и бесконечно большие функции |
|||||||||||||
Определение 1. |
Функция f (x) |
называется б/м функцией при x → x0 , |
||||||||||||
если lim f (x) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Функции y = sin x и |
y = x |
являются б/м при |
x → 0 , т.к. |
||||||||||
lim sin x = 0 и |
lim x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83 |
||
|
|
Теорема 1. |
|
|
Пусть f (x) , ϕ(x) – б/м функции при x → x0 . Тогда: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
F(x) = f (x) +ϕ(x) – б/м функция при x → x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
Рассмотрим произвольное число ε . Тогда: |
|
|
x : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
для |
ε 2 > 0 |
|
|
|
|
|
существует |
|
|
δ1 > 0 |
|
|
такое, |
что |
для |
любого |
|
||||||||||||||||||||||||||||
0 < |
|
x − x0 |
|
<δ1 |
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
< ε 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x : |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
для |
ε 2 > 0 |
|
|
|
|
существует |
|
δ2 > 0 |
|
|
такое, |
что |
для |
любого |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 < |
|
x − x0 |
|
<δ2 |
|
|
|
ϕ(x) |
|
< ε 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Пусть |
|
δ = min{ |
|
δ |
; δ |
2 |
|
|
|
}. Тогда для любого x O& |
|
(x ) имеем: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
F(x) |
|
= |
|
f (x) +ϕ(x) |
|
≤ |
|
f (x) |
|
+ |
|
ϕ(x) |
|
< ε 2 +ε 2 = ε . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Т.е. для любого |
|
ε |
|
> 0 нашли δ = min{δ |
; |
δ |
2 |
} такое, что для всех x O&(x ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
выполняется неравенство |
|
|
|
|
|
F(x) |
|
< ε . Следовательно, |
lim |
F(x) = 0 , т.е. F(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
– б/м функция при x → x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Теорема 2. |
|
|
Пусть |
f (x) – б/м функция при x → x0 |
и функция ϕ(x) – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ограничена в O& |
(x |
) , тогда F(x) = f (x) ϕ(x) |
– б/м функция при x → x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
δ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
Доказательство. |
|
|
Пусть |
|
f (x) – |
б/м функция при |
|
x → x0 , |
следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim f (x) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(x) – ограниченная в O&δ (x0 ) функция, следовательно, существует C :
для любого x O& |
(x ) |
|
|
|
|
ϕ(x) |
|
|
|
≤ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C > 0 . По определению предела для |
||||||||||||||||
|
Для любого ε > 0 рассмотрим ε |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
него существует δ |
|
> 0 |
такое, что для любого x O& |
(x ) |
|
f (x) |
|
|
< ε C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пусть |
|
δ* = min{δ ; δ |
1 |
}, |
|
тогда для любого x : |
0 < |
|
x − x |
0 |
|
|
<δ* |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F(x) |
|
= |
|
f (x) ϕ(x) |
|
= |
|
f (x) |
|
|
|
ϕ(x) |
|
< |
ε |
|
C = ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существует δ* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Таким образом, для любого ε > 0 |
|
такое, что для любого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x : 0 < |
|
x − x |
0 |
|
|
<δ* |
|
|
|
|
|
|
F(x) |
|
< ε . Следовательно, |
lim F(x) = 0 , т.е. F(x) – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б/м функция при x → x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема 3. |
Пусть f (x) |
|
– б/м функция при x → x0 , функция g(x) име- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ет предел lim g(x) = b ≠ 0 . Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x) = |
|
– б/м функция при x → x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказательство. |
По условию: F (x) = |
|
f (x) |
= f (x) |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84
Согласно теореме 2, если умножить б/м функцию на ограниченную, то получится б/м функция. Докажем, что 1g(x) – ограниченная в O&δ (x0 ) функция.
|
|
|
|
|
lim g(x) = b , следовательно, для любого ε > 0 |
существует δ > 0 такое, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
что для любого x : 0 < |
|
|
|
x − x0 |
|
<δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) −b |
|
|
< ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Отсюда получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ε > |
|
|
b − g(x) |
|
|
|
≥ |
|
|
b |
|
− |
|
g(x) |
|
|
, тогда |
|
|
b |
|
− |
|
g(x) |
|
|
< ε |
|
|
|
|
|
g(x) |
|
> |
|
|
|
b |
|
−ε . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пусть ε < |
|
b |
|
, тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
> |
|
|
|
b |
|
−ε > 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
b |
|
−ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
функция |
|
|
|
– ограничена в |
|
|
O& |
|
(x ) , следовательно, по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
теореме 2, F(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
– б/м функция при x → x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Определение 2. |
|
|
|
Функция |
g(x) |
|
называется б/б функцией при x → x0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если для любого сколь угодно большого наперед заданного числа E > 0 су- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ществует δ > 0 |
такое, что для любого x : 0 < |
|
x − x0 |
|
|
<δ |
|
|
|
g(x) |
|
> E . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Обозначение: |
|
|
|
|
|
lim g(x) = ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
Теорема 4. |
|
|
|
|
Пусть g(x) |
– б/б функция при |
|
x → x0 . |
Тогда функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
является б/м функцией при x → x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. Пусть g(x) |
– б/б функция при |
|
x → x0 , |
т.е. для любого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
E > 0 , а значит и для ε =1 E существует δ > 0 |
|
такое, |
что для любого x : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 < |
|
x − x |
|
<δ |
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
> E |
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
< |
1 |
= ε , |
|
|
следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
является б/м функцией при x → x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
Теорема 5. |
|
|
|
|
Пусть f (x) |
– б/м функция при |
x → x0 . Тогда функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
является б/б функцией при x → x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Для любого E > 0 ( E – произвольное, сколь угодно большое число) существует ε =1E > 0 . По определению б/м функции имеем: для
любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого x :