- •ВВЕДЕНИЕ
- •§ 1. Матрицы и простейшие операции над ними
- •Операции над матрицами
- •§ 2. Определители, их основные свойства и методы вычисления
- •2.1 Определители второго порядка
- •Свойства определителей второго порядка
- •2.2 Определители третьего порядка
- •2.3 Понятие об определителях высших порядков
- •§ 3. Обратная матрица и ее вычисление
- •4.2 Метод Крамера
- •4.3 Метод Гаусса
- •§ 5. Векторы, линейные операции над векторами
- •Линейные операции над векторами
- •§ 6. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях
- •§ 7. Линейная зависимость векторов. Базис
- •7.1 Базис на плоскости и в пространстве
- •7.2 Прямоугольный Декартов базис. Декартова система координат
- •7.3 Направляющие косинусы вектора
- •7.4 Радиус-вектор
- •7.5 Условие коллинеарности двух векторов
- •7.6 Простейшие задачи
- •§ 8. Скалярное произведение векторов
- •8.2 Косинус угла между векторами
- •§ 9. Векторное произведение векторов
- •§ 10. Смешанное произведение трех векторов
- •§ 2. Прямая на плоскости
- •2.1 Общее уравнение прямой и его исследование
- •2.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •2.6 Уравнение прямой в отрезках
- •2.7 Нормальное уравнение прямой
- •2.8 Расстояние от точки до прямой
- •§ 3. Плоскость
- •3.1 Общее уравнение плоскости
- •3.2 Неполные уравнения плоскости
- •3.3 Уравнения плоскости в отрезках
- •3.4 Нормальное уравнение плоскости
- •3.6 Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Прямая в пространстве
- •4.1 Уравнение линии в пространстве
- •4.2 Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
- •4.3 Канонические уравнения прямой
- •4.4 Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •4.6 Прямая и плоскость в пространстве
- •§ 5. Плоские кривые второго порядка
- •5.1 Окружность
- •5.2 Эллипс
- •5.3 Гипербола
- •5.4 Парабола
- •§ 6. Преобразование системы координат на плоскости
- •6.1 Параллельный перенос осей координат
- •6.2 Поворот осей координат на угол α
- •§ 7. Полярная система координат на плоскости
- •8.1 Сфера
- •8.2 Цилиндрические поверхности
- •8.3 Конические поверхности
- •8.4 Поверхность вращения
- •8.5 Эллипсоид
- •8.6 Гиперболоид
- •8.7 Параболоид
- •Глава III МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •§ 1. Логическая символика, множества и операции над ними
- •§ 2. Функции и их классификация
- •Элементарные функции
- •§ 3. Абсолютные величины и соотношения, связанные с ними
- •Свойства модуля действительного числа
- •§ 4. Последовательность. Характер изменения переменных величин
- •§ 5. Понятие о пределе переменной
- •§ 6. Окрестность точки
- •§ 7. Предел функции в точке
- •§ 8. Односторонние пределы функции в точке
- •§ 9. Свойства функций, имеющих предел
- •§ 10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 11. Основные теоремы о пределах
- •§ 12. Предел дробно-рациональной функции
- •§ 13. Первый замечательный предел
- •§ 14. Второй замечательный предел
- •§ 15. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 16. Непрерывность функции
- •§ 17. Операции над непрерывными функциями
- •§ 18. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 19. Производная функции одной переменной
- •19.2 Основные свойства производной
- •19.3 Производная сложной функции
- •19.4 Производная обратной функции
- •19.5 Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
- •19.6 Геометрический смысл производной
- •19.7 Уравнения касательной и нормали к линии
- •19.8 Дифференцирование элементарных функций
- •19.9 Производная степенно-показательной функции
- •19.10 Дифференцирование неявной функции
- •19.11 Производные высших порядков
- •19.12 Правила Лопиталя
- •19.13 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •19.14 Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •19.15 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •19.16 Выпуклость и вогнутость функции
- •19.17 Формула Тейлора
- •§ 20. Дифференциал функции одной переменной
- •20.1 Дифференциал и его геометрический смысл
- •20.2 Свойства дифференциала функции
- •20.3 Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности
- •20.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала
- •20.5 Дифференциалы высших порядков
- •§ 21. Функции многих переменных
- •21.1 Понятие функции нескольких переменных
- •21.2 Непрерывность функции двух переменных
- •21.3 Дифференцирование функции двух переменных
- •21.5 Полный дифференциал функции двух переменных
- •21.6 Приближенное вычисление с помощью полного дифференциала
- •21.7 Производные высших порядков функции двух переменных
- •21.9 Неявная функция. Дифференцирование неявной функции
- •21.10 Градиент функции многих переменных и его свойства
- •21.11 Экстремум функции нескольких переменных
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
119
§21. Функции многих переменных
21.1Понятие функции нескольких переменных
До сих пор мы изучали функции одной независимой переменной. Но нередко встречаются случаи, когда какая-нибудь величина зависит не от одной независимой переменной, а от двух или большего числа независимых переменных, т.е. когда значения первой величины находятся по значениям не одной, а двух или большего числа переменных величин.
Например, площадь S прямоугольника есть функция двух независимо друг от друга изменяющихся переменных – длин сторон прямоугольника a и b :
S = a b .
Объем V прямоугольного параллелепипеда является функцией трех независимо друг от друга изменяющихся величин – длин ребер параллелепипеда a , b , c :
V = a b c .
Работа электрического тока A на участке цепи зависит от разности потенциалов U на концах участка, силы тока I и времени t ; эта функциональная зависимость дается формулой:
A = I U t .
Изучим подобного рода зависимости на примере функции двух переменных.
Определение. Если каждой паре значений двух независимых переменных x и y (x; y) ставится в соответствие одно значение переменной z ,
то говорят, что задана функция двух переменных z = f (x , y) .
Множество всех точек плоскости xOy , координатами которых являются всевозможные значения независимых переменных x и y , называют областью определения D функции f (x; y) . Это будет некоторая двумерная об-
ласть, т.е. часть плоскости.
Множество всех значений переменной z называется областью значе-
ний функции f (x; y) .
Функцию двух переменных можно задать с помощью таблицы, аналитически, с помощью графика.
1) С помощью таблицы (табл. 3.2):
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.2 |
|
|
y |
x |
x1 |
x2 |
|
x3 |
|
x4 |
|
|
y1 |
z11 |
z12 |
|
z13 |
|
z14 |
|
|
y2 |
z21 |
z22 |
|
z23 |
|
z24 |
2) С помощью формулы (аналитически): |
z = |
x2 + y2 . |
120
В этом случае за область определения функция берется область, при которой данная формула имеет смысл.
3)Графиком функции двух переменных является некоторая поверхность
впространстве.
21.2 Непрерывность функции двух переменных
Пусть дана функция двух переменных z = f (x; y) .
Определение. |
Число A называется пределом функции z = f (x; y) при |
||||||
x → x0 , y → y0 , |
если для |
любого ε > 0 существует δε > 0 : как только |
|||||
(x; y) O& |
|
|
f (x, y) − A |
|
< ε . |
||
|
|
||||||
δ ( x0 ; y0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x; y) = A . |
|||
Обозначение: |
|
|
lim |
||||
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
|
|
δ
(x0 , y0 )
Рис. 3.26
В качестве δ -окрестности точки (x0 ; y0 ) на плоскости xOy рассматривают круг радиуса δ с центром в точке (x0 ; y0 ) (рис. 3.26).
(x; y) O& |
; y0 ) |
0 < (x − x |
0 |
)2 |
+ ( y − y |
0 |
)2 |
< δ . |
δ ( x0 |
|
|
|
|
|
Определение. |
Функция z = f (x; y) называется непрерывной в точке |
|
(x0 ; y0 ) , если: |
|
|
1) |
функция определена в точке (x0 ; y0 ) и некоторой ее окрестности; |
|
2) |
существует |
lim f (x; y) ; |
|
|
x→x0 |
|
|
y→y0 |
3) |
lim f (x; y) = f (x0 ; y0 ) . |
|
|
x→x0 |
|
|
y→y0 |
|
|
21.3 Дифференцирование функции двух переменных |
||
Пусть дана функция z = f (x; y) , которая определена в точке (x0 ; y0 ) и |
|||
некоторой ее окрестности. |
|
||
Рассмотрим: |
|
|
|
x f |
= f (x0 + x; y0 ) − f (x0 ; y0 ) – частное приращение по переменной x ; |
||
y f |
= f (x0 ; y0 + y) − f (x0 ; y0 ) – частное приращение по переменной y . |
||
Если же меняются обе переменные: |
|||
f = f (x0 + x; y0 + |
y) − f (x0 ; y0 ) – полное приращение функции двух не- |
||
зависимых переменных. |
|
|
|
Определение 1. |
lim |
x f – называется частной производной функции |
|
|
|
x→0 |
x |
z = f (x; y) по переменной x в точке (x0 ; y0 ) .
|
|
|
|
|
|
|
121 |
|
Обозначение: |
lim |
x f |
= |
дf . |
||||
|
y f |
|
x→0 |
x |
|
дx |
|
|
Определение 2. lim |
– называется частной производной функции |
|||||||
y |
||||||||
y→0 |
|
|
|
|
|
|
||
z = f (x; y) по переменной y в точке (x0 ; y0 ) . |
||||||||
Обозначение: |
lim |
y f |
= |
дf |
. |
|||
y |
дy |
|||||||
|
|
|
y→0 |
|
|
При вычислении частной производной функции z = f (x; y) по переменной x переменная y считается постоянной величиной; по переменной y
– x считается постоянной, следовательно, в момент вычисления частной производной от функции z = f (x; y) по переменной x функция z = f (x; y) рас-
сматривается как функция одной переменной f (x; y0 ) ; для y – то же самое,
следовательно, все свойства и теоремы, справедливые для производной функции одной переменной, сохраняются и для частных производных.
Пример 1. Найти частные производные функции |
z = x2 + exy . |
|
|||||||||||
Решение. |
дz = (x2 + exy )′ |
= 2x + exy (xy) |
′ |
= 2x + exy y . |
|
|
|
|
|||||
|
дx |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дz = (x2 + exy ) |
′ |
= 0 + exy (xy) |
|
′ |
= exy x . |
|
|
|
|
|
||
|
дy |
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21.4 Геометрический смысл частных производных |
|
|
||||||||||
|
|
функции двух переменных |
|
|
|
|
|
||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический смысл ча- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дf |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
стной производной |
заключа- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
ется в следующем: |
дx |
|
|
|||
|
|
M0 |
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
дf |
, вычисленная в |
точке |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x0 ; y0 ) , численно равна тангенсу |
|||||
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
угла наклона касательной, прове- |
|||||
O |
|
|
|
y |
|
|
денной к линии пересечения гра- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
фика функции z = f (x; y) и плос- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x + x |
|
|
|
|
|
|
|
кости y = y0 |
в точке |
(x0 ; y0 ; z0 ) |
|||
0 |
|
M |
|
|
|
|
по отношению |
к |
оси |
Ox |
|||
x0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
M0 |
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
(рис. 3.27, 3.28); |
|
|
|
||||
|
y = y0 |
|
|
|
|
|
дf |
, вычисленная в |
точке |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дy |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.27 |
(x0 |
; y0 ) , численно равна тангенсу |
|
|
|
|
122 |
|
|
|
|
угла наклона касательной, проведенной к ли- |
|
|
l |
|
нии пересечения графика функции и плоскости |
|
|
x f |
x = x0 в точке (x0 ; y0 ; z0 ) по отношению к оси |
||
M0 |
Oy . |
|||
x |
|
|||
|
|
|
||
|
Рис. 3.28 |
|
|
|
|
21.5 Полный дифференциал функции двух переменных |
|||
Определение. |
Функция z = f (x; y) , определенная в точке (x0 ; y0 ) и |
некоторой ее окрестности, называется дифференцируемой в точке (x0 ; y0 ) , если справедливо представление:
f = A x + B y +α(x, y) , |
|
|
α(x, y) – б/м функция при x → 0 , y → 0 : lim |
α(x, y) |
= 0 . |
x→0 |
x y |
|
y→0 |
|
|
Функция называется дифференцируемой в двумерной области D , если она дифференцируема в каждой точке этой области.
Полным дифференциалом функции двух переменных называется глав-
ная часть разложения полного приращения этой функции относительно при-
ращений аргументов x и |
y . Таким образом, полный дифференциал: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df = A |
x + B y . |
|||||
Дифференциалом независимой переменной называется приращение |
||||||||||||||||
этой переменной: |
|
|
|
|
|
|
x = dx , |
y = dy . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть y принимает постоянные значения ( y = const ), меняется только |
||||||||||||||||
x , тогда: |
|
|
f = x f = A x + 0 +α1(x, y) = A x +α1(x, y) . |
|||||||||||||
|
x f |
|
|
|||||||||||||
|
= A + α1(x, y) |
, |
устремим |
x → 0 : |
||||||||||||
|
x |
|
|
|
x f |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim |
|
|
|
= A ( A = дf |
|
|
|
|
). |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
дx |
|
|
|
( x0 ; y0 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть x принимает постоянные значения ( x = const ), меняется только |
||||||||||||||||
y , тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = y f = 0 + B y +α2 (x, y) = B y +α2 (x, y) . |
|||||||||||||
|
y f |
= B + |
|
α |
2 |
(x, y) |
, |
устремим |
y → 0 : |
|||||||
|
y |
|
|
|
|
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim |
|
|
y f |
|
= B |
( B = |
дf |
|
|
). |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
y |
|
дy |
|
|
||||||||
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
( x0 ; y0 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
123
Таким образом, полный дифференциал функции двух переменных f (x; y) в точке (x0 ; y0 ) вычисляется по формуле:
df = ддfx ( x0 ; y0 ) dx + ддfy ( x0 ; y0 ) dy .
Теорема. Пусть функция двух переменных z = f (x; y) определена в точке P(x; y) и некоторой ее окрестности и имеет частные производные ддfx ,
ддfy , которые тоже определены в точке P(x; y) и непрерывны в этой точке.
Тогда функция z = f (x; y) дифференцируема в точке P(x; y) .
Доказательство. Рассмотрим полное приращение функции z = f (x; y) :
|
|
z = f (x + x; y + y) − f (x; y) . |
|
|
Если |
к |
правой части этого |
равенства прибавить |
и отнять величину |
f (x; |
y + |
y) , то выражение для |
z запишется в виде |
|
|
|
z =[ f (x + x; y + y) − f (x; y + y)] +[ f (x; y + |
y) − f (x; y)]. |
Выражение в первой скобке является приращением функции f (x; y) при постоянном втором аргументе ( y + y) , когда x получает приращение x . Рас-
сматривая это приращение функции одного аргумента x , применим формулу Лагранжа. Будем иметь:
f (x + x; y + y) − f (x; y + |
y) = fx′(c1 ; y + y) x , где x ≤ c1 ≤ x + x . |
Аналогично, |
y f в точке (x; y) . |
f (x; y + y) − f (x; y) = |
Применяя формулу Лагранжа как к приращению функции одного аргумента y , получим:
f (x; y + y) − f (x; y) = f y′(x; c2 ) y , где y ≤ c2 ≤ y + y .
Таким образом, полное приращение
z = fx′(c1 ; y + y) x + f y′(x; c2 ) y .
По условию, fx′(x; y) и f y′(x; y) непрерывны в точке P(x; y) . Пусть x → 0 и y → 0 , тогда c1 → x , c2 → y . Следовательно, можно положить:
fx′(c1 ; y + y) = fx′(x; y) +α1 , |
f y′(x; c2 ) = f y′(x; y) +α2 , |
|
где α1 , α2 – б/м функции при |
x → 0 , |
y → 0 . |
Тогда: |
|
|
z = ( fx′(x; y) +α1) x + ( f y′(x; y) +α2 ) y = |
||
= fx′(x; y) x + f y′(x; y) y + (α1 x +α2 y) = A x + B y +α(x; y) , |
||
где α(x; y) – б/м функция при |
x → 0 и |
y → 0 . |
Таким образом, функция z = f (x; y) дифференцируема в точке P(x; y) .