- •3. Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии в установившемся режиме
- •3.1. Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии
- •3.2. Метод комплексных амплитуд
- •3.3. Комплексные сопротивления идеализированных элементов цепи.
- •3.2 Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.
- •2. Законы Кирхгофа в комплексной форме.
- •3.4. Эквивалентные преобразования электрических цепей
- •3 .4.1 Эквивалентное преобразование схемы при последовательном соединении элементов
- •3.4.2 Эквивалентное преобразование схемы при параллельном соединении элементов
- •3.4.3 Эквивалентное преобразование схемы при смешанном соединении элементов
- •3.4.4. Эквивалентное преобразование источников электрических сигналов.
- •3.5.1. Метод токов ветвей (мтв)
3. Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии в установившемся режиме
Линейными называются системы, процессы в которых описываются линейными дифференциальными уравнениями.
Идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, называются цепями с сосредоточенными параметрами. Цепи такого типа используются в качестве упрощенных моделей реальных цепей и их элементов на сравнительно низких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний существенно больше размеров исследуемого устройства. В таких цепях токи и напряжения в различных сечениях цепи зависят только от времени и не зависят от координаты сечения х. Такая идеализированная цепь содержит конечное число идеализированных элементов, значения параметров которых конечны.
Когда длина волны электромагнитных колебаний (ЭМК) соизмерима с размерами устройства, не удается пространственно локализовать области, в которых сосредоточены только эффекты одного типа. Токи и напряжения в таких цепях зависят не только от времени, но и от координаты. Процессы в таких цепях описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Такие идеализированные цепи называются цепями с распределенными параметрами.
Например, если устройство имеет размеры около 1 м, а =100м, такую цепь вполне можно рассматривать как цепь с сосредоточенными параметрами. Этой длине волны соответствует частота f=c/=3108/102=3106 Гц=3 МГц (c – скорость света).
О сновные свойства линейных цепей.
1. В линейных цепях выполняется принцип суперпозиций, т.е. отклик линейной цепи на сумму воздействий равен сумме откликов на действие каждого воздействия в отдельности.
Если x(t) = x1, то y = y1= kx1;
если x(t) = x2, то y = y2= kx2;
если x(t) = x1+x2, то y = kx1+kx1 = y1+y2.
2. В линейных цепях новых гармонических составляющих не возникает.
3.1. Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии
Рассмотрим линейную электрическую цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под монохроматическим (одночастотным) гармоническим воздействием x(t) = Xm cos(0t – 0). Дифференциальное уравнение этой цепи, составленное для любого из неизвестных токов и напряжений yi, имеет вид
,
где fi(t) – линейная комбинация функции x(t), описывающей внешнее воздействие, и ее производных. Значение n характеризует порядок сложности цепи (порядок цепи) и равно числу независимых реактивностей (емкостей и индуктивностей).
Любые линейные операции над гармонической функцией (сложение, умножение на число, дифференцирование, интегрирование) приводят к гармонической функции той же частоты, отличающейся только амплитудой и начальной фазой. Поэтому в установившемся режиме fi(t) имеет вид
.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что в этом случае имеется единственное периодическое решение
.
Следовательно, в установившемся режиме задача анализа сводится к определению амплитуд и начальных фаз интересующих токов и напряжений.
3.2. Метод комплексных амплитуд
В линейных цепях при гармоническом воздействии установившиеся напряжения и токи являются гармоническими функциями времени. Воздействие x(t) и отклик y(t) можно представить в комплексном виде:
,
.
Параметр цепи – отношение отклика к воздействию – не зависит от времени:
.
Поэтому при гармоническом воздействии в установившемся режиме токи и напряжения можно представлять их комплексными амплитудами, а параметры элементов комплексными сопротивлениями или проводимостями.
в общем случае расчет (анализ) электрических цепей сводится к отысканию токов во всех ветвях схемы. При гармоническом воздействии в основу всех методов расчета линейных цепей положен символический метод комплексных амплитуд (МКА).
Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:
1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:
а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 3.2.
б ) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е. х(t) = Xm cos(0t + x) Xm = Xm e jx.
2 ) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Ym = Ym e–jy.
3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е.
Y m =Ym e –jy y(t) = Ym cos(0t – y).