Ответы по математике. 1. Свойства степени с рациональным показателем
1) Определение. Арифметическим корнем n-й степени (n N, n 2) из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, n – я степень которого равна а.
2) Определение. Степень с рациональным показателем
Если
3) Свойства степени с рациональным показателем:
При a > 0, b > 0, p и q - рациональные числа:
а)
б )
в)
г)
д) .
Степенью числа а > 0 с рациональным показателем , где m – целое число, а n – натуральное (n > 1), называется число
Итак,
Например,
Степень числа 0 определена только для положительных показателей;
по определению 0r = 0 , для любого r > 0
Замечания
Из определения степени с рациональным показателем следует, что для любого положительного а и любого рационального r число ar положительно.
Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку для любого натурального k. Значение аr также не зависит от формы записи рационального числа r.
При а < 0 рациональная степень числа а не определяется.
Для степеней с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (при условии, что основание степени будет положительным).
1.2
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.
Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
Плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны. |
|
На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β, |
|
Аксиомы стереометрии и их следствия
Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. |
|
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую). |
|
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются. |
|
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты. |
|
Некоторые следствия из аксиом
Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна. |
|
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.
|
|
Билет 2.1
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число b, квадрат которого равен а:
√а = b ( при a ≥ 0, b ≥ 0, b2 = a).
Пример: √9 = 3 (9 ≥ 0, 3 ≥ 0, 32 = 9)
При а < 0 выражение √a не имеет смысла.
Пример: √-25 – невозможно извлечь корень: 52 = 25 и -52 = 25 (а не -25)
При любом а, при котором выражение √a имеет смысл, верно равенство (√a)2 = |а|.
Пример: (√25)2 = 52 = 25
√-52 = √25 = 5
Свойства арифметического квадратного корня:
3. (√a)n = √an (при a ≥ 0)
Например: (√16)3 = √163 = √4096 = 64 √163 = (√16)3 = 43 = 64
Арифметические корни n-й степени.
4√81 = 3 (так как 34 = 81)
Читается так: корень четвертой степени из 81 равен 3.
Преобразование выражений с квадратными корнями.
2.2