Будем считать, что при переходе системы из действительного состояния в новое, вызванное возможными перемещениями, внеш ние и внутренние силы не меняются.
Работа внешних и внутренних сил на возможных перемещениях носит название возможной работы. С учетом введенных замечаний эта работа определяется как работа неизменных сил на возможных перемещениях.
Принцип возможных перемещений устанавливает общее условие рав новесия деформируемой системы. Формулируется он так: если система находится в равновесии под действием приложенных к ней внешних
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
сил, то при всяком возможном бесконечно малом перемещенииУто |
|||||||||
чек этой системы сумма работ ее внешних и внутренних сил равна |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Б |
Т |
||
нулю. Представим формальную запись этого принципа в виде: |
|||||||||
|
|
W (возм) + А в в т = 0. |
|
|
|
(2.5) |
|||
Вводя понятие степени свободы |
стержневой |
системы (см. раз |
|||||||
где W (возм) - возможная работа внешних сил; |
|
|
|||||||
л (в озм ) |
|
|
г |
внутренних |
сил. |
|
|
||
Авнутр - возможная работа |
|
|
|
||||||
ном состоянии статически |
пределимой системы (W = 0) нельзя за |
||||||||
дел 1.4) мы предполагали, |
что ее |
сте жни являются абсолютно |
|||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
твердыми, недеформируемыми. Учитывая это, а также определение |
|||||||||
|
этого |
|
|
|
|
|
|
||
понятия о возможных перемещениях, надо отметить, что в исход |
|||||||||
давать возможные перемещения. Как же тогда применять принцип |
|||||||||
возможных перемещен |
й к расчету таких систем? |
|
|
|
|||||
з |
|
|
принципа в задачах расчета статически оп |
||||||
Для исполь ован я |
|
|
|||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ределимых системипр меняется основная аксиома механики несвобод ных материальных тел - принцип освобождаемости. Удалим какуюлибо связь ( п рную, или из числа тех, которые показаны на рис. 2.6) и
приложимпк системе, кроме заданных внешних сил, усилие S, которое емогло бы возникнуть в удаленной связи. Такая система будет пред ставлять собой механизм с одной степенью свободы (W = 1) и, значит, Рдопуска т одно возможное перемещение. Ее равновесное состояние возможно только в том случае, если неизвестное усилие S в удаленной
связи будет равно истинному значению.
Полученному механизму зададим возможное перемещение. Работа внутренних сил по всей длине недеформируемых элементов равна ну лю. Рассматривая усилие в удаленной связи как внешнюю силу, уравне ние возможных работ всех сил (уравнение Лагранжа) запишем в виде:
61
|
|
|
|
|
|
W {возм) = S iS i+Z Fk A k = 0, |
|
|
|
(2.6) |
|||||||
|
где |
Si |
- |
|
искомое усилие в связи i , |
St |
- перемещение по его |
||||||||||
|
|
|
|
направлению; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Fk |
- |
|
к -я обобщенная сила, Aк - перемещение по направ |
||||||||||||
|
|
|
|
лению силы F k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если направления |
силы |
и соответствующего |
ей перемещения |
|||||||||||||
совпадают, то работа положительна. |
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Так как расчет ведется по недеформированной схеме, то в системе |
||||||||||||||||
с одной степенью свободы все перемещения |
Si и |
|
Т |
||||||||||||||
Aк выражаются |
|||||||||||||||||
через один параметр. Сократив каждое слагаемое уравнения (2.6) на |
|||||||||||||||||
этот параметр, решим его относительно S i . |
|
|
Н |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Например, |
определяя реакцию |
VB |
в опоре |
B |
двухпролетной |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
||
статически определимой балки (р с. 2.13,а), удалим опорную связь |
|||||||||||||||||
в точке |
B |
и приложим в этой точке не |
звестную силу VB . Поло |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
||
жение механизма с одной степенью свободы определяется одним |
|||||||||||||||||
параметром. В качестве эт |
па аметиа примем угол поворота бал |
||||||||||||||||
ки AB |
(рис. 2.13,б). Так как |
, |
по оп |
|
еделению, является беско |
||||||||||||
нечно малым углом, |
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
о Ai= 21р, Ав = 4 /р , A2= 5 /р , Аз= 51р. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
го |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
iF2= 10кH |
F3= 4 кН |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
\ |
|
|
|
||
|
|
|
|
з |
|
|
j |
\VB |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
о |
\2/— J= |
2/ |
l j |
Ч |
l |
I |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
Уравнение работ (2.5) запишется в виде:
|
W (возм) = Vb 419 |
- Fx2 l9 - F2 5l9+ F3 5l9 = 0. |
|
|
|||||||||||
Решение его дает VB = 17,5 кН. |
|
|
|
У |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При определении усилия в стержне 1-2 шпренгельной балки |
|||||||||||||||
(рис. 2.14,а) последовательность действий остается такой же, как и в |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
предыдущем примере. После удаления в заданной балке стержня 1-2 |
|||||||||||||||
получим механизм, возможные перемещения которого характеризуются |
|||||||||||||||
взаимным поворотом стержней AC |
|
|
Н |
|
|||||||||||
и CB относительно точки С . За |
|||||||||||||||
дадим правому диску возможное перемещение в виде поворота его |
|||||||||||||||
вокруг шарнира С |
на бесконечно малый угол 9 |
Б |
|
|
|||||||||||
(рис. 2.14,б). |
|
|
|||||||||||||
|
а) |
|
|
q = |
10 к H/ м |
|
|
й |
|
|
|||||
|
|
и |
/ |
|
п |
и |
ш |
н |
и |
|
|
|
|||
|
|
|
ш ш |
|
|
|
|||||||||
|
|
—л-------- |
ГГТ.---- |
О ----------- |
|
|
|
||||||||
|
|
А |
|
|
|
Тз |
|
|
(С |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
VB = 22,5k H |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
о |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 м |
|
2 м |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 м |
|
|
|
2 м |
|
|
|
|
|||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.14 |
|
|
|
|
||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения возможных работ |
|
|
|
|
|
найдем N 1_2 = 35 кН.
63
ной силы, продольной силы) во всех сечениях рассматриваемого сооружения от действия определенной совокупности заданных не подвижных нагрузок. Ординаты эпюры усилий показывают значе ние усилия в том сечении элемента сооружения, где они отложены. При любом изменении нагрузок усилия изменяются, и эпюры уси
лий необходимо строить заново. |
|
|
|
|
|
|||||
Линия |
влияния представляет |
собой график, |
характеризующий |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
изменение конкретного усилия в одном строго определенном сече |
||||||||||
нии сооружения в зависимости от положения подвижной единич |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
ной сосредоточенной силы. Ордината линии влияния показываетУ |
||||||||||
значение соответствующего усилия при положении единичной си |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
лы в том месте, где рассматриваемая ордината отложена. По данной |
||||||||||
линии влияния нельзя ничего сказать об изменении усилий в других |
||||||||||
сечениях сооружения. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Единичная подвижная сила при построении линий влияния при |
||||||||||
нимается безразмерной. Поэтому размерности линий влияния уси |
||||||||||
лий определяются выражением |
|
и |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
[размерность ординат линии влиян |
|
|
[размерность усилия] |
|||||||
|
я ус лйя] = ^ |
i---------- --------- И . |
||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
[размерность силы] |
|||
Соответственно |
|
|
|
|
|
|||||
|
линий влияния опорных реакций, по |
|||||||||
Линии влиян я усординатыпозволяют: |
|
|
|
|||||||
перечных и продольных сил будутрбезразмерными (Н /Н ), а раз |
||||||||||
жении; |
|
линий |
|
|
|
|
|
|
||
мерность ординат |
влияния изгибающих моментов будет рав |
|||||||||
на размерности дл ны (Н • м / Н = м ). |
|
|
|
|||||||
- |
определять |
начен |
я усилий от нагрузок при любом их поло |
|||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- нах дитьзнаиболее невыгодные расположения нагрузок на со |
||||||||||
оружении с целью определения экстремальных (максимальных и |
||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
минимальных) усилий. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.2. Статический метод построения линий влияния усилий |
||||||||||
|
|
|
|
в простых балках |
|
|
|
|||
Особенности применения статического метода рассмотрим на |
||||||||||
Рпримере построения линий влияния опорных реакций и усилий в |
одном из сечений для консольной балки (рис. 3.1).
65
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опорный момент изменяется по линейному закону. Для по строения графика прямой линии достаточно вычислить ординаты в
двух точках. Так, при |
xFA = 0, M RA = 0 , а при |
xFA = l , M RA = l . |
||||||||||||||
Соединив эти точки прямой, получим линию влияния опорного мо |
||||||||||||||||
мента (рис. 3.1,в). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Изгибающий момент и поперечную силу в сечении К определим |
|||||||||||||||
из уравнений равновесия правой части балки, когда сила F = 1 рас |
||||||||||||||||
положена справа от сечения К : |
|
|
|
|
|
|
Н |
|
||||||||
|
|
м к р = -1 XFK(при XFK = 0 |
|
М к = 0 ; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
Т |
||||||||||||
|
|
при XFK = с |
М к = - с ); |
|
QK =+ 1. |
|||||||||||
|
При |
движении |
силы |
слева |
от |
сечения |
Б |
уравнений |
||||||||
|
|
К |
из |
|||||||||||||
I МКр = 0 и I |
QKP = 0 |
следует, что |
М к = 0, |
QK = 0 . Линии |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
||
влияния М к и QK показаны на рис. 3.1,г,д. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Наибольшее по модулю значен е зг бающего момента в сече |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
йлы на конце консоли. При |
||||||||
нии K возникает при расположен |
с |
|||||||||||||||
положениях силы |
правее |
сечен я |
К |
астянуты |
верхние волокна |
|||||||||||
|
|
|
|
|
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
балки, поэтому ординаты изгибающего момента отрицательны. По |
||||||||||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
перечная сила в сечении К п и т м же положении силы положи |
||||||||||||||||
тельна (вращает элемент балки |
часовой стрелке) и равна едини |
|||||||||||||||
опорной балки сконсолями (рис. 3.2,а). Из уравнений равновесия |
||||||||||||||||
це. В сечении К линия влияния изгибающего момента имеет излом, |
||||||||||||||||
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а линия влияния поперечной силы - разрыв на единицу (скачок). |
||||||||||||||||
|
Построим л н |
вл ян |
опорных реакций RA и RB для двух |
|||||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
балки следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р |
I |
M B = 0; |
|
|
1 x - RB l = 0; |
|
|
RB = x /l; |
|
(3.1) |
||||||
пI M A = 0;-1 |
(l - |
x)+ RA l = 0; |
|
RA =(l - x ) /l. |
(3.2) |
|
||||||||||
еПолученные зависимости представляют собой уравнения пря |
||||||||||||||||
мых, которые построим по двум точкам: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
- при x = 0 RA = 1, |
RB = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
- при x = 0 RA = 1, |
RB = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
Дополнительно вычислим значения реакций при положе ниях силы:
|
а) на конце левой консоли при x = - /и ; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
RA = (l - lk1Vl ; |
|
|
Rb = lk J l ; |
|
У |
|||||||
|
б) в сечении К между опорами при x = а; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Ra |
=(l - а )/l ; |
|
|
RB = a /l; |
Т |
||||||
|
в) на конце правой консоли при x = l+lk2; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
RA = - lk 2^ ; RB = (l +lk 2 Vl . |
|
|
|
|||||||||
|
Линии влияния опорных реакций, построенные согласно полу |
||||||||||||||
ченным зависимостям, представлены на рис. 3.2,б,в. |
|
|
|||||||||||||
|
Построим линии влияния изгибающего момента и поперечной |
||||||||||||||
силы в сечении К. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Усилия в сечении К могут быть найдены из рассмотренияНравно |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жной |
|
|
|
||
весия левой либо правой части балки относительно сечения К. При |
|||||||||||||||
этом для получения более простых зависимостейБследует рассмат |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
силы. |
|
|
||
ривать ту часть балки, на которой нет подв |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
згибающий момент Мк |
||||
|
При движении силы слева от сечен я К |
|
|||||||||||||
получим из уравнения равновесия п авой части балки: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
(3.3) |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
и |
мКр = R B b . |
|
|
|
|
|
|||||
|
С учетом (3.1) это выражение приводит к линейной зависимости |
||||||||||||||
(левая прямая): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
о |
|
|
|
M K =f , |
|
|
|
|
|
(3.4) |
|||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедлив й для левой части балки, на которой находится единич |
|||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ная сила. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Из (3.3) следует, что левая прямая линии влияния М к |
может |
|||||||||||||
быть построена умножением всех ординат линии влияния |
R B на |
||||||||||||||
величину b: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р |
|
|
|
|
|
|
л.в М к = (л.в. R b ) |
|
b. |
|
|
|
68
Аналогично, при движении силы справа от сечения К, рассмот рев левую часть балки, будем иметь:
|
|
|
Мк |
= Ra а |
или |
л.в. М к = (л.в. Ra ) а. |
|
|
|||||
|
То есть правую прямую линии влияния МК можно построить, |
||||||||||||
увеличив ординаты л.в. Ra |
в а раз (рис. 3.2,г). |
|
|
Т |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные прямые (левая и правая ветви линии влияния Мк) |
||||||||||||
пересекаются под сечением К. Линия влияния поперечной силы в |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
сечении К строится аналогично. При движении силы слева от сечеУ |
|||||||||||||
ния получим (левая прямая): |
|
|
|
|
Б |
|
|||||||
|
|
|
QK = - R B |
то есть |
|
|
|
||||||
|
|
|
л.в. Qk = -(л.в. Rb ). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
При движении силы справа от сечения из уравнения равновесия |
||||||||||||
левой части будем иметь (правая прямая): |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
QK = Ra |
то есть |
л.в. QK= л.в. Ra. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
||
|
Построенная линия влияния |
QK показана на рис. 3.2,д. Под сече |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
||
нием К она имеет разрыв на единицуи(а / l+b / 1 = 1). На рис. 3.2,е,ж |
|||||||||||||
показаны линии влияния изгибающего момента и поперечной силы |
|||||||||||||
в сечении Кь бесконечно близк м к поре В. |
|
|
|
||||||||||
|
Линии влияния |
|
в сечениях на консолях двухопорной |
||||||||||
балки (рис. 3. |
) |
роя ся ак же, как и в сечениях консольной |
|||||||||||
|
|
|
2,з, |
т |
|
|
|
|
|
|
|
||
балки (рис. 3.1,г,д). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
что |
н |
вл |
яния усилий в балках, а также и в других |
||||||||
|
Заметим, |
л |
|||||||||||
статически |
пределимыхусилийсистемах, имеют линейное или кусочно |
||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейн е чертание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Рассм трим п строение линий влияния усилий в многопролет |
||||||||||||
стые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных статически определимых балках, которые представляют собой |
|||||||||||||
совоку ность простых балок, соединенных между собой по концам |
|||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шарнирами, как правило, не совпадающими с опорами. Если про балки, входящие в состав многопролетной, не будут связаны между собой шарнирами, то некоторые из них смогут самостоя тельно воспринимать действующую на них нагрузку (их называют
69
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|