baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

кция y = f (x) стремится к бесконечности. Например, функция y = tg x имеет бесконечное число вертикальных асимптот

(рис. 4.6):

Рис. 4.6

Теперь рассмотрим наклонные асимптоты. Предположим, что функция y = f (x) имеет наклонную асимптоту y = ax + b

(рис. 4.7).

(,) =f(x)

(,1)

1

0

x

Рис. 4.7

1 1

Нам нужно найти коэффициенты a и b. Точка А(х, у) принадлежит функции y = f (x), а точка В(х, y1) — асимптоте. Длина отрезка АС — это расстояние от точки А до асимптоты и по условию

(4.9)

Обозначим через угол наклона асимптоты к положительному направлению оси 0х и из DАВС найдем

так как и = const, то в силу (4.9) имеем

(4.10)

так как (AB) = |y - y1| = |f(x) - ax - b|, то (4.10) принимает следующий вид:

(4.11)

Следовательно, если y = ax + b есть асимптота, то выполняется (4.11) и наоборот, если при коэффициентах a и b выполняется (4.11), то прямая y = ax + b является асимптотой. Теперь найдем коэффициенты a и b. Из (4.11) получаем

Так как x → +`, то

а так как b есть число, то , поэтому получаем

или

(4.12)

1 2

Получив a из (4.11) находим b по формуле

(4.1 )

Следовательно, если y = ax + b является асимптотой, то a

иb находятся по формулам (4.12) и (4.1 ). Если хотя бы один из пределов (4.12) или (4.1 ) не существует, то функция y = f (x)

наклонной асимптоты не имеет [22].

Все приведенные рассуждения справедливы и при x → -`. Так как асимптотическое изменение функции может быть раз-

личным при стремлении х к положительной и отрицательной бесконечности, то надо раздельно рассматривать случаи x →-`

иx →+`. Если существует асимптота в первом случае, то ее на-

зывают левосторонней, а во втором случае — правосторонней. Если при x →-`и x →+`пределы (4.12) и (4.1 ) совпадают, то левосторонняя и правосторонняя асимптоты являются час-

тями одной и той же прямой.

Заметим, что если функция дробно-рациональная, то при нахождении a и b сразу можно рассматривать произвольное стремление к бесконечности.

Рассмотрим примеры нахождения наклонных асимптот.

Пример 4.21.

Так как данная функция дробно-рациональная, то сразу рассматриваем произвольное стремление х к `

Поэтому получаем

.

1

Пример 4.22.

y = 2x + ln x.

(по правилу Лопиталя)

Из последнего равенства следует, что исходная функция наклонной асимптоты не имеет.

4.3.4.Исследованиефункцийспомощьюпроизводныхпервого

ивторогопорядковипостроениеихграфиков

Приведем ряд теорем, позволяющих находить участки монотонности (возрастания, убывания) функции, экстремумы функции, участки выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

Вначале сформулируем достаточный признак монотон-

ности [2, 16]:

1)если f (x) > 0 на некотором интервале, то f (x) на этом интервале возрастает;

2)если f (x) < 0 на некотором интервале, то f (x) на этом интервале убывает;

) если f (x) = 0 на некотором интервале, то f (x) на этом интервале постоянна.

Геометрическая интерпретация этого признака показана на рис. 4.8.

Важную роль в исследовании функций играют точки, отделяющие интервалы ее возрастания от интервалов ее убывания. Эти точки носят название экстремумов функции или ее локальных максимумов и минимумов. Слово “локальный” означает, что точка будет максимальной (минимальной) лишь на каком-то интервале.

Теперь приведем определение:

1 4

Рис. 4.8

tg = y (x = x1) < 0; tg b = y (x = x2) > 0; y (x = x ) = 0

1) точка M (x1, y1) есть точка локального максимума функции y = f (x), если f (x1) — наибольшее значение функции y = f (x) в некоторой окрестности точки M (x1, y1);

2) точка N (x2, y2) есть точка локального минимума функции y = f (x), если f (x2) — наименьшее значение функции y = f (x) в некоторой окрестности точки N (x2, y2).

Функция на своей области определения может иметь несколько экстремумов. Наибольшее и наименьшее значения функции ее области определения обычно называют абсолютным максимумом и абсолютным минимумом.

Понятие экстремума функции иллюстрируется рис. 4.9. Теперь сформулируем необходимый признак экстремума

[2, 16]: Если в точке (т. А, т. В, т. С, т. D на рис. 4.9) функция y = f (x) достигает экстремума, то ее производная в этой точке либо равна нулю (т. А, т. В, т. D на рис. 4.9), либо не существует

(т. С на рис. 4.9).

Приведенный признак не является достаточным, т. е. из того факта, что производная в данной точке равна нулю или не существует, еще не следует, что эта точка есть экстремум функции.

Недостаточностьданногопризнакапроиллюстрируемпримером 4.2 . Рассмотрим функцию y = x и найдем ее экстремум,

1 5

Рис. 4.9

используя приведенный признак (найдем производную данной функции, приравняем ее к нулю и найдем координаты экстремума, если он существует).

y = x2; — экстремум данной функции в

соответствии с необходимым признаком.

Но из графика функции y = x (рис. 4.10) следует, что экстремума в точке с координатами х = 0, у = 0 у данной функции нет.

Рис. 4.10

1 6

Сформулируем теперь достаточный признак экстремума: точка (т. А, т. В, т. С, т. D на рис. 4.9) есть точка экстремума функции y = f (x), если производная этой функции y = f (x) при переходе х через критическую точку (точку, где производная равна нулю или не существует) меняет знак. Если знак меняется с плюса на минус (т. А, т. С на рис. 4.9), то имеем локальный максимум, а если знак меняется с минуса на плюс (т. В, т. D на рис 4.9), то имеем локальный минимум.

Заметим, что функция y = f (x) должна быть непрерывна на интервале, содержащем критическую точку.

Пример 4.23. Производная функции

меняет знак при переходе через точку х = 0, но экстремума в ней не имеет, так как в этой точке она разрывна [2].

Вернемся к примеру 4.22 и проверим, удовлетворяется ли там достаточный признак экстремума (рис. 4.11).

Рис. 4.11

Из рисунка видно, что производная функции y = x не меняет знака при переходе х через точку х = 0, поэтому данная функция не имеет экстремума в точке с координатами х = 0, у = 0.

Пример 4.24. Рассмотрим функцию y = x + 6x2 - x + 2.

y = 9x2 + 12x - 1 9x2 + 12x - 1 = 0

x1 0,06;x2 -1,4

y = 9(x - 0,06)(x + 1,4)

Применяя достаточный признак экстремума находим, что в точке х = -1,4 — максимум, а в точке х = 0,06 — минимум

(рис. 4.12).

1 7

Рис. 4.12

Точки экстремума можно находить и с помощью второй производной. Для этого сформулируем второй достаточный признак экстремума: некоторая точка с координатами x0, y0 будет точкой экстремума функции y = f(x), если f (x0) = 0, а f 0(x0) 0, при этом, если f 0(x0) > 0, то данная точка будет точкой минимума функции y = f (x), а если f 0(x0) < 0 — точкой максимума; в том случае если f 0(x0) = 0 данный признак не применим [2, 16].

Используем приведенный признак для нахождения экстремумов функции y = x + 6x2 – x + 2 из примера 4.24.

y0 = 18x + 12.

y0(x = 0,06) = 18 · 0,06 + 12 1 ,1. y0(x = -1,4) = 18 · (-1,4) + 12 -1 ,2.

Следовательно, в точке х = 0,06 исходная функция будет иметь минимум, а в точке х = -1,4 — максимум.

Теперь покажем, как применять вторую производную для нахождения участков выпуклости и вогнутости функции и ее точек перегиба.

Сначала приведем соответствующие определения. График дифференцируемой функции y = f (x) называется

вогнутым вверх (в положительном направлении оси ординат) на некотором интервале, если на этом интервале он расположен выше касательной, проведенной к любой точке графика в этом интервале (рис. 4.1 ).

График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым вверх (в положительном направлении оси ординат) на некотором интервале, если на этом интервале он расположен ниже касательной, проведенной к любой точке графика в этом интервале (рис. 4.14).

Точки, отделяющие участки выпуклости функции от участков ее вогнутости (и наоборот), называются точками перегиба.

1 8

Рис. 4.13

Рис. 4.14.

Теперь сформулируем теорему.

Теорема 4.5. Если вторая производная функции y = f (x) всюду на некотором интервале меньше нуля, то функция y = f (x) на этом интервале — выпуклая; если вторая производная функции y = f (x) всюду на некотором интервале больше нуля, то функция y = f (x) на этом интервале — вогнутая [2, 16, 20].

Приведем также необходимый признак существования точки перегиба: если точка с координатами x0, y0 является точкой перегиба функции y = f (x), то вторая производная данной функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует [2, 16].

1 9

Недостаточность данного признака мы проиллюстрируем примером.

Пример 4.25. Рассмотрим функцию y = x4. Воспользовавшись приведенным выше признаком, проверим, есть ли у этой функции точки перегиба.

y = 4x ; y0 = 12x2

должна быть точкой перегиба по необхо-

димому признаку, но если взглянуть на график этой функции (рис. 4.15) видно, что в данной точке перегиба нет.

Поэтому сформулируем достаточный признак сущест-

		вования точки перегиба: точка
		с координатами x0, y0 являет-
		ся точкой перегиба функции
		y = f (x), если f0(x), меняет знак
		при переходе х через x0; если
		знак меняется с минуса на плюс,
	Рис. 4.15	то слева от данной точки лежит
		участок выпуклости, а спра-

ва — участок вогнутости, а если знак меняется с плюса на минус, то наоборот [2, 16].

Применим данный признак к функции из примера 4.25. Из рис. 4.16 видно, что достаточный признак не выполняет-

ся, поэтому в точке с координатами х = 0, у = 0 перегиба нет.

Рис. 4.16

Теперь применим достаточный признак существования точки перегиба к функции из примера 4.24.

В данном случае (рис. 4.17) достаточный признак свиде-

тельствует о том, что точка с абсциссой	является точкой
перегиба функции y = x + 6x2 - x + 2.

140