baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

1

2=

=2

0

1

Рис. 5.27

Используем, например, формулу (5.26) (случай а). В данном случае а = 0, b = 1, w1(х) = х2, . Поэтому получим:

Задачидлясамостоятельногорешения

1. Методом непосредственного интегрирования найти интегралы:

1.1. 1.2.

1. . 1.4.

201

2. Найти интегралы, использовав метод замены переменной:

2.1.		2.2.
2. .	2.4.
. Найти интегралы, использовав метод интегрирования по
частям:
.1.	.2.
. .	.4.
4. Вычислить определенные интегралы:
4.1.	4.2.	4. .

4.4.4.5.

4.6. 4.7. 4.8.

5. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

5.1.	5.2.
5. .	5.4.

6.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной функцией ху=4 и прямыми х = 1, х = 4 и осью 0х.

7.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси 0у

криволинейной трапеции, ограниченной функцией	и
прямыми у = ±2b.

202

8.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной линиями 2у2 = х , х = 4.

9.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х , х = 0,

у= 8.

10.Фигура, ограниченная одной дугой синусоиды у = sin x и осью 0х, вращается вокруг оси 0х. Найти объем тела вращения.

11.Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = х , прямой у = 10 и осью 0у.

12.Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

12.1.у = х2, у2 = х; 12.2. у = ln x, x = e, y = 0;

12. . y = x2, y = 1; 12.4. y = x2, y = 2x2 – 1

1 . Вычислить длину дуги полукубической параболы у2 = х , отсекаемой прямой х = 5.

14.Найти длину дуги кривой от х = 0 до х = 1.

15.Найти длину дуги кривой от у = 0 до у = .

16.Определите длину окружности х2 + у2 = 25.

17.Используя формулу прямоугольников, вычислить ин-

теграл	, приняв n = 10.
18.	Используя формулу трапеции, вычислить	интеграл
, приняв n = 10.
19.	Используя формулу Симпсона вычислить	интеграл

,приняв n = 10.

20.Вычислить двойные интегралы:

20.1.

20.2.

20

21. Вычислить интеграл , если область интег-

рирования В ограничена линиями:

21.1.х = 2, х = , у = -1, у = 5;

21.2.х = 0, х = 5, у = -2, у = 2.

вопросыдлясамопроверки

1.Какая функция называется первообразной?

2.В чем состоит суть метода интегрирования по частям?. В чем состоит суть метода замены переменной?

4.Каков геометрический смысл определенного интеграла?

5.В чем состоит суть метода замены переменной в опреде-

ленном интеграле?

6.Вывести формулу для объема тела вращения.

7.В каких случаях применяют приближенные методы интегрирования?

8.В чем заключается суть признаков сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами?

9.В чем состоит теорема существования двойного интег-

рала?

204

6.некОтОрыесведенияОдиФФеренциальных уравнениях

6.1.Основныепонятияиопределения

Дифференциальными называются уравнения, которые содержат искомые функции, их производные и (или) дифференциалы различных порядков, независимые переменные [22].

Теория дифференциальных уравнений появилась в конце XVIII в. в результате решения некоторых задач механики и физики. Термин дифференциальные уравнения ввел Г. Лейбниц.

Дифференциальные уравнения подразделяются на дифференциальные уравнения в частных производных, неизвестная функция в которых зависит от двух и большего количества неизвестных, и на обыкновенные дифференциальные уравнения, неизвестная функция в которых зависит от одного аргумента.

В данном учебнике кратко рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения.

Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения следующий [2, 22]:

F(x, y, y′, y″, …, y(n)) = 0

или

Наивысший порядок производных, входящих в дифференциальное уравнение, называется его порядком.

Например, это дифференциальное уравнение второго порядка.

Решить дифференциальное уравнение — это значит найти такую функцию, подстановка которой в это дифференциальное уравнение превращает его в тождество [16].

205

Любое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Геометрически они изображаются семейством интегральных кривых. И эту совокупность решений называют общим решением дифференциального уравнения и записывают так: y = ϕ(x, C1, C2, …, Cn) [2, 22].

А решения, содержащие конкретные значения постоянных, называются частными решениями дифференциальных уравнений.

6.2.дифференциальныеуравнения1-гопорядка

6.2.1.Общеепонятие

Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию, ее производную и (или) дифференциал [2].

Его общий вид следующий:

F(x, y, y′) или .

Если это уравнение можно разделить относительно производной (y′), то оно примет вид:

y′ = f (x, y).

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет следующий вид:

y = ϕ(x, C).

Для того чтобы получить конкретные частные решения, надо задать начальные условия, т. е. указать пару соответствующих друг другу значений аргумента (х0) и функции (у0). Обычно это записывается так: [2, 22].

Задавая начальные условия, из семейства интегральных кривых выделяем какую-то конкретную кривую.

Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию существует, а также явля-

206

ется единственным, становится ясным из следующей теоремы: если в дифференциальном уравнении y′ = f (x, y) функция

y = f (x, y) и ее частная производная по y непрерыв-

ны в некоторой области D на плоскости х0у, содержащей точку (x0, y0), то существует единственное решение этого дифференциального уравнения y = ϕ(x,), удовлетворяющее условию при

х = х0 и у = у0 [22].

Приведенная теорема была впервые сформулирована и доказана Коши. Поэтому задачу нахождения частного решения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

6.2.2.Дифференциальныеуравненияпервогопорядка сразделяющимисяпеременными

В общем случае такие уравнения имеют вид: f1(x)f2(y)dx +

+ f (x)f4(y)dy = 0.

Разделим обе части этого дифференциального уравнения на произведение f2(y)f (x), предполагая, что оно не равно нулю.

Далее получаем

В полученном дифференциальном уравнении при dx стоит только функция от х, а при dy стоит только функция от у, т. е. переменные разделены. Интегрируем левую и правую части последнего равенства и получаем:

Это и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения [2, 6].

Рассмотрим несколько конкретных задач.

207

Пример 6.1. Найдем частное решение дифференциального уравнения. xdx + ydy = 0, если начальное условие таково y|x=2 = 10.

ydy = −xdx, у2 + х2 = 2С1.

Так как постоянная может быть любой, то примем 2С1 = С2. Тогда получим общее решение исходного дифференциального уравнения у2 + х2 = С2.

С геометрической точки зрения это решение представляет собой семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С (см. рисунок).

y

0

x

Найдем теперь частное решение для заданных начальных

условий, т. е. выделим из семейства окружностей одну. Полу-

чим 102 + 22 = С2 => С2 = 104,

Поэтому частное решение имеет вид: у2 + х2 = 104. Пример 6.2. Найдем общее решение дифференциального

уравнения:

1 + y′ + y + xy′ = 0.

208

Перепишем его в виде:

;

.

Правую и левую часть домножим на dx. (1 + y)dx + dy(1 + x) = 0.

Правую и левую части делим на (1 + х) ≠ 0:

Правую и левую части делим на (1 + y) ≠ 0:

;

Теперь интегрируем правую и левую части:

Окончательно получаем

Полученное выражение и есть общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пример 6.3. Найдем общее решение дифференциального уравнения

2xyy′ = y2 − 1.

Перепишем его в виде

209

Домножим правую и левую часть на dx: 2xydy = (y2 − 1)dx.

Разделим правую и левую части на х ≠ 0:

Разделим правую и левую части на у2 − 1 ≠ 0:

Теперь проинтегрируем правую и левую части полученного выражения

ln |y2 − 1| = ln | xC |, y2 − 1 = xC,

Полученное уравнение и есть общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пример 6.4. Найти частое решение дифференциального уравнения (x2 + 4)y′ − 2xy = 0, если задано следующее начальное условие y|x=1 = 5.

Перепишем исходное дифференциальное уравнение так:

Домножим правую и левую части на dx: (x2 + 4)dy − 2xydx = 0.

Разделим правую и левую части на х2 + 4:

Разделим правую и левую части на у ≠ 0:

210