baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Пусть b неограниченно возрастает, тогда есть две возмож-

ности: или

при b → +` имеет предел, или данный ин-

теграл предела не имеет, а это означает, что он или стремится к бесконечности, или колеблется, т. е. не стремится ни к какому пределу.

Теперь дадим определение несобственного интеграла. Несобственным интегралом от функции f (x) в интервале

[a, +`) называется предел интеграла	при b → `. Это за-
писывается следующим образом
	(5.12)

Если предел (5.12) существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходя-

щимся [2, 22].

Если первообразная функция F(x) для подынтегральной функции f (x) известна, то можно определить, сходится несобственный интеграл или нет. Используем формулу НьютонаЛейбница и получим:

Поэтому если предел первообразной F(x) при x →` существует, то несобственный интеграл сходится, а если предел не существует, то интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл в интервале (-`; b):

Если функция f(x) определена и непрерывна в интервале (-`; +`), то получим

171

Если оба интеграла в правой части последнего выражения сходятся, то интеграл сходится, а если хотя бы один из

них расходится, то и расходится [2, 22].

Если известна первообразная F(x), то

Сходящиеся несобственные интегралы имеют определенный геометрический смысл. Например, график функции y = f(x) ограничивает криволинейную трапецию с бесконечным основанием (см. рис. 5.4).

y f(x)

y

0	b x
Рис. 5.4
Если несобственный интеграл	сходится, то за-

штрихованная фигура имеет площадь, которая равна этому интегралу. А если интеграл расходится, то говорить о площади фигуры нельзя.

Теперь приведем конкретные примеры решения несобственных интегралов.

172

Пример 5.25.

Вычислим

[Делаем замену переменной Затем меняем пределы интегрирования y(0) = 0; y(`) = -`.] Тогда получим

т. е. несобственный интеграл	сходится и равен
Пример 5.26.
	т. е. данный интег-
рал расходится.
Пример 5.27.

Величина не стремится к определенному

пределу при b → ` (колеблется).

Пример 5.28.

т. е. данный интеграл расходится.

Часто важно знать не конкретное значение несобственного интеграла, а сходится он или расходится. Для этого используются признаки сравнения, которые мы и приводим.

1. Если для ;x(x$a) выполняется неравенство 0 #f(x) #w(x)

и если	сходится, то сходится и	, при этом выпол-
няется неравенство

17

Например, проверим сходится ли интеграл

При х $ 1,

Теперь рассмотрим сходится ли несобственный интеграл:

т. е. данный интеграл сходится. Поэтому по признаку 1 сходится и его значения меньше 1.

2.Еслидля;x(x$a)выполняетсянеравенство0#w(x)#f(x), причем расходится, то расходится и

Например, проверим сходимость интеграла

Очевидно, что Теперь рассмотрим сходится ли несобственный интеграл

т. е. данный интеграл расходится. Поэтому по признаку 2 расходится

174

. Если несобственный интеграл

сходится, то схо-

дится и интеграл . Последний интеграл в этом случае

называется абсолютно сходящимся.

В качестве примера проверим сходимость интеграла

На интервале [1; `) подынтегральная функция		знако-
переменная.
Видно, что	. Теперь рассмотрим, сходится ли

несобственный интеграл

т. е. данный интеграл сходится. Поэтому по признаку 1 сходится

а, следовательно, по признаку сходится и интеграл

При использовании признаков сравнения надо иметь запас функций, несобственные интегралы от которых или сходятся, или расходятся и результат этот нам известен заранее. Эти функции мы будем использовать в качестве w(х).

5.4.некоторыеприложенияопределенногоинтеграла

5.4.1.Вычислениеплощадейплоскихфигур

Так как определенный интеграл от непрерывной неотрицательнойфункцииравенплощадисоответствующейкриволинейной трапеции, а площадь любой плоской фигуры можно представить как сумму и (или) разность площадей криволинейных

175

трапеций, то, следовательно, определенный интеграл можно ис-
пользовать для вычисления площадей плоских фигур [2, 16].
Если функция y = f (x) или плоская фигура ABCD находят-
ся выше оси 0х (см. рис 5.5 и рис. 5.6), то мы имеем			и
	.
y		y f(x)
		S1
0	a	b	x
		Рис. 5.5
y		y f1(x)
D		C
		S2
A	y	f2(x)
		B
0	a	b	x
		Рис. 5.6
Если функция y = f (x) находится полностью или частично
под осью 0х (см. рис. 5.7 и рис. 5.8), то мы получаем:

.

176

y

	a		b
0		S	x
		y f(x)
		Рис. 5.7
y
a		y f(x)	c
0	b		x

S4

Рис. 5.8

Если функция x = w(y) или плоская фигура ABCD прилегают к оси 0y, то (см. рис. 5.9 и рис. 5.10)

y

bS5

x(y)

a

0

x

Рис. 5.9

177

y

B

b

2 2(y)

a

A

0

C

S6

11(y)

D

x

Рис. 5.10

Задачи на вычисление площадей плоских фигур можно решать по следующей схеме:

1)В соответствии с условиями задачи делают схематический чертеж.

2)Искомую площадь представляют как сумму и (или) разность площадей криволинейных трапеций.

) Находят пределы интегрирования.

4)Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и искомую площадь фигуры.

Теперь рассмотрим конкретные примеры вычисления площадей плоских фигур.

Пример 5.29.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: х =

=4 – у2 , х = 0.

Сначала по условиям задачи строим схематический чер-

теж (см. рис. 5.11).

x = 4 – у2 — парабола. Найдем ее вершину х = -2у. y = 0, х = = 4 (max) и точки пересечения с осью 0у. 4 – у2 = 0, у = 2, у = -2.

y1 = -2 и y2 = 2 являются пределами интегрирования. Теперь найдем искомую площадь. Так как парабола сим-

метрична относительно оси абсцисс, то можно записать.

178

2x4 2

0	4	x
2

Рис. 5.11

кв. ед.

Пример 5.30.

Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x2 – 6x + 8; y = 0

Построим схематический чертеж искомой фигуры (см.

рис. 5.12)

	y										x2			6x 8
2								y
1
					1 2								4			x
0
1															S
2

Рис. 5.12

Кривая y = x2 – 6x + 8 есть парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее характерные точки.

y = 2x – 6; y = 0;

179

2x – 6 = 0;

x = , y = -1 (min); x2 – 6x + 8 = 0;

D = 6 – 4·1·8 = 4;

(пределы интегрирования).

Теперь находим искомую площадь (знак модуля ставится, так как фигура находится под осью 0х).

кв. ед.

Пример 5.31.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 6, x + y – 7 = 0.

Построим схематический чертеж (см. 5.1 ) и найдем пределы интегрирования:

(пределы интегрирования) Теперь находим искомую площадь

= 5 – 17,5 – 6ln6 = (17,5 – 6ln6) кв. ед.

180