baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Рис. 4.17

y0 = 18x + 12; 18x + 12 = 0;

Теперь приведем схему, по которой удобно проводить исследование функций [2]:

1.Нахождение области определения функции, точек ее разрыва, интервалов ее непрерывности и вертикальных асимптот.

2.Проверка функции на четность, нечетность, периодич-

ность.

. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат (если это не требует больших вычислительных затрат).

4.Нахождение интервалов монотонности и точек экстремума функции.

5.Нахождение участков выпуклости, вогнутости функции

иточек ее перегиба.

6.Нахождение наклонных асимптот.

7.Построение графика функции по результатам проведенного исследования.

Пример 4.26.

Теперь в соответствии с приведенной схемой исследуем функцию .

Данная функция определена на всей оси 0х за исключением точки х = 2, т. е. x [ (-`; 2) < (2; +`). Прямая х = 2 является вертикальной асимптотой данной функции, так как

141

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периоди-

ческой, так как f (-x) f (x), f (-x) -f (x), f (x + T) f (x), где

Т — период, а график данной функции проходит через начало координат.

Теперь найдем первую производную исходной функции и найдем участки монотонности и экстремумы.

x2 - 4x = 0; x(x - 4) = 0; x = 0; x = 4.

Точку х = 2, где не существует первой производной исходной функции, на экстремум можно не проверять, так как в этой точке сама функция имеет бесконечный разрыв.

Следовательно (рис. 4.18), в соответствии с достаточным признаком экстремума данная функция имеет максимум в точке с координатами х = 0, у = 0 и минимум в точке с координата-

ми х = 4, у = 8.

Рис. 4.18

Теперь найдем вторую производную и определим участки вогнутости, выпуклости и точки перегиба, используя теорему 4.5 и достаточный признак существования точки перегиба

Таким образом вторая производная нигде не обращается в ноль, следовательно, данная функция не имеет точек переги-

142

ба. Надо только проверить, меняет ли вторая производная исходной функции знак при переходе х через точку бесконечного разрыва х = 2 (второй производной заданной функции также не существует в точке х = +2).

Поэтому (рис. 4.19) слева от точки х = 2 исходная функция будет выпуклой, а справа от точки х = 2 — вогнутой.

Рис. 4.19

Теперь проверим, имеет ли исходная функция наклонные асимптоты, для этого воспользуемся формулами (4.12) и (4.1 ) (так как заданная функция является дробно-рациональной, можно рассматривать произвольное стремление х к бесконечности).

Поэтому прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой исходной функции.

Теперь по результатам проведенного исследования построим график заданной функции (рис. 4.20).

Задачидлясамостоятельногорешения

1. Найти производные следующих функций: 1.1. ;

14

Рис. 4.20

1.2. 1. .

1.4.

1.5.

1.6. 2. Найти вторые производные следующих функций:

2.1.y = 6x4 + 4sin x;

2.2.y = e7x · tg 5x;

144

2. .

2.4. y = 5x8 – 16x5 + sin 2x

. Исследовать функции и построить их графики:.1. y = 2x4 – 8x2 + ;

.2.

. . y = 2x2 – 10;

.4. y = 2x – 9x2 + 15x – 6;.5. y = x – x ;

.6.

4. Найти и , если функция Z имеет вид:

4.1.Z = x · sin2 y;

4.2.Z = xy;

4. .

4.4 Z = tg2 (x y) · 22x+ ; 4.5. Z = arctg (x4 + 5y6);

4.7. 5. Используя правило Лопиталя, найти пределы функций:

5.1. 5.2. 5. . 5.4. 5.5. 5.6.

145

6.Найти производную функции в точке А (0, -1, 2, 4, - ).

7.Найти наибольшую скорость возрастания функции

в точке А (-2, -1, , 0, 4).

вопросыдлясамопроверки

1.Дать определение производной функции y = f (x).

2.Каковы геометрический и механический смыслы производной?

. Как найти производную сложной функции?

4.Дать определение дифференциала функции y = f (x).

5.Какой геометрический смысл имеет дифференциал?

6.Что называется производной второго порядка от функ-

ции y = f (x)?

7.В чем состоит достаточный признак экстремума?

8.Какие точки называются точками перегиба функции y = f (x)?

9.Что называется асимптотой функции y = f (x)?

10.Сформулировать правило Лопиталя и привести примеры его применения.

11.Что называется функцией двух независимых перемен-

ных?

12.Что называется графиком функции двух независимых переменных?

1 . Что называется пределом функции Z = f (x, y) при x → x0 и y → y0.

14.Дать определение частных производных функции двух независимых аргументов.

15.Дать определение градиента

16.Как можно выразить производную по направлению через градиент?

146

5.ЭлеМентыинтегральнОгОисчисления

Интегральное исчисление — это раздел математического анализа, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их применение.

Интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. Например, с его помощью находится скорость тела по заданному ускорению.

5.1.Первообразнаяинеопределенныйинтеграл

Первообразной от функции y = f (x) на некотором промежутке называется функция F (x), производная которой равна исходной функции, т. е. F (x) = f (x). Из этого определения следует, что любая функция по отношению к своей производной является первообразной [2, 16].

Рассмотрим пример y = x5. Данная функция служит произ-

воднойдляфункции	,таккак	и	,
или в общем виде	, где С = const.

Из данного примера видно, что любая функция будет первообразной для функцией y = x5.

Теперь приведем формулировку основной теоремы о первообразных.

Теорема 5.1. Любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, причем любые две из них друг от друга отличаются постоянным слагаемым [2, 22].

Формула F(x) + C исчерпывает множество всех первообразных исходной функции. Геометрически выражение F(x)+C есть семейство кривых (рис. 5.1.), каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых вдоль оси 0у.

Заметим, что первообразную можно находить не только по производной, но и по дифференциалу.

Теперь дадим определение неопределенного интеграла.

147

0

Рис. 5.1

Отыскание первообразных называется неопределенным интегрированием, а выражение, охватывающие совокупность всех первообразных от данной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается так:

где f(x) — подынтегральная функция;

f(x) dx — подынтегральное выражение; х — переменная интегрирования.

Заметим, что f (x) на участке интегрирования должна быть непрерывна;

— знак интеграла.

Таким образом, неопределенный интеграл есть семейство функций F(x) + C, т. е.

[2, 6].

Нахождение всех первообразных для данной функции f (x) и называется неопределенным интегрированием. Термин “неопределенное интегрирование” появился, потому что не указывается, какая первообразная имеется в виду.

148

Сразу скажем, что интегрирование значительно сложнее дифференцирования. Дифференцирование любых элементарныхфункцийпроизводитсяпоопределеннымправилам,аинтегрирование требует в каждом конкретном случае индивидуального подхода. Разумеется, есть общие методы интегрирования, некоторые мы рассмотрим далее. Заметим, что производная от любой элементарной функции есть функция элементарная, а про неопределенный интеграл от элементарной функции этого сказать нельзя. Первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций. Про такие функции говорят, что они не интегрируемы в элементарных функциях. Примерами так называемых неберущихся интегралов являются:

и др.

Из определения неопределенного интеграла следует, что

(5.1)

Найдем неопределенные интегралы от основных элементарных функций, используя для этого таблицу производных от основных элементарных функций (см. главу 4 “Основы дифференциального исчисления”).

Например, (sin x) = cos x. Перепишем это равенство в виде

Проинтегрируем обе части последнего равенства и с учетом третьей формулы (5.1) получим

149

Это и есть табличный интеграл.

Точно так же получают и другие табличные интегралы от основных элементарных функций.

Приведем таблицу интегралов от основных элементарных функций. Справедливость приведенных формул легко проверить дифференцированием.

Таблицанеопределенныхинтегралов

1) n -1;

2) ) 4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Добавим формулы интегрирования гиперболических и обратных гиперболических функций.

12)

150