Osnovy_teorii_tsepey_post_i_perem_toka_2012

П о я с н е н и я	к	д и а г р а м м е . Построение диаграммы осуще-
ствляется против направления протекания тока, т. е. от точки 6 к точке 1. На-
пряжение между точками 6 и 5 схемы соответствует разности напряжений, соз-
данных во второй катушке явлениями само- и взаимоиндукции, т. е.
		U56 U L2 UM .
По аналогии
		U34 U L1 U M .
Кроме того,
U45 Ur 2 ;		U23 Ur1;		U12 UC ;		U16 U .
				I jx
					M
		I jx	L1
				Ir
		I jxM			1
I jxL2
		Ir
		2			I jx
					C
		U
		I
Рис. 3.30. Диаграмма напряжений

П р и м е р 2 . К первичной обмотке трансформатора без стального сердечника (рис. 3.31) подведено напряжение U1 , равное 120 В. Параметры схемы:

r1 = 10 Ом,	ωL1 = 42 Ом,			r2 = 15 Ом,	ωL2 = 70 Ом,
r = 5 Ом,	1		10 Ом,	ωM = 20 Ом.
		C

110

	Требуется:
	а) определить напряжение на нагрузке U2 ;
	б) построить векторную диаграмму напряжений в каждом контуре схемы.
	Р е ш е н и е. Напряжение U2						на нагрузке rC (см. рис. 3.31) можно вы-
числить,		предварительно определив токи I							и I . С этой целью составим два
								1	2
	I1			g	r2	I2		уравнения по второму закону Кирх-
a							k	гофа, направив обходы контуров по
			M
							C	токам.
U1			L1	L2		U2	e		Сравнивая направления токов
							r	относительно одноименных зажи-
c	r1		b	f				мов, делаем вывод о том, что вклю-
								чение катушек встречное, поэтому
	Рис. 3.31. Схема трансформатора							падения напряжения взаимной ин-
								дукции отрицательные:

j L I		j MI	r I	U	;
	1 1	2	1 1	1
					1
j L2I2		j MI1	r2I2 j		C	I2	rI2	0.

Упростим приведенные выражения, обозначив собственные сопротивления контуров Z1 и Z2, сопротивление взаимоиндукции ZМ:

Z1 j L1 r1 ;

Z2 j L2 r2 j 1C r ;

ZM j M .

Тогда система уравнений примет вид:

Z1I1 ZM I2 U1;ZM I1 Z2I2 0.

После подстановки и расчетов получаем:

I	3,16e j71,6 ;	I	1e j53,2 ;
1		2

111

					1
	U2 I2 r	j				;			U2 11,2e j116,6 .
				C
	Построение векторной диаграммы (рис. 3.32) начинаем с векторов токов
I и	I . Затем из начала координат по направлению вектора I откладываем в
1	2								1
масштабе вектор падения напряжения r I									и под углом 90 – вектор j L I .
							1 1		1 1
Поскольку включение катушек встречное,									вектор j MI2 падения напряжения
взаимоиндукции в катушке L					от тока I			отстает от вектора этого тока на угол
			1		2

90º. Суммирующим является вектор входного напряжения U1 . Аналогично строится векторная диаграмма падений напряжения во втором контуре, где вектор j MI1 отстает от вектора тока I1 на 90º. Сумма векторов равна нулю.

+j

	с = f		–I.1 jωM		.	.		.
.			.	.	I2 jωL2	U1		–I2 jωM
							a	+1
–I2 j/(ωC)
			I2rI
	k			2	.
		e .
	I.2 r2	g		I1r1	I1 jωL1
				b

I.1

Рис. 3.32. Диаграмма напряжений

4. РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Резонансные явления могут возникать в электрических цепях, содержащих индуктивности и емкости. Резонанс в цепи с последовательным соединением индуктивности и емкости называют резонансом напряжений, или последовательным резонансом. При параллельном соединении тех же элементов может возникать резонанс токов.

В сложной разветвленной цепи могут иметь место оба вида резонанса.

112

4.1. Резонанс напряжений

Наиболее ярко особенности этого явления проявляются в цепи с последовательным соединением элементов r, L и С (см. рис. 3.11, а).

Входное комплексное сопротивление этой схемы имеет вид:

1

2

1 2

j

Z

r j

L

r

L

e

,

(4.1)

C

C

L

1

где arctg

C

.

r

Изменяя частоту, индуктивность или емкость, можно добиться равенства нулю реактивного сопротивления в составе уравнения (4.1).

Будем считать, что варьируемым параметром является угловая частота ω. Изменяя частоту при неизменных значениях индуктивности и емкости, придем к условию

	L	1		0 ,	(4.2)
			C
	0
		0

которое рассматривается как условие резонанса. Угловая частота

	1	(4.3)
0	LC

называется резонансной.

При резонансе напряжений, как следует из выражения (4.1), входное сопротивление становится чисто активным:

Z r.

(4.4)

Это значение является минимальным, поэтому ток I в схеме становится максимальным.

Кроме того, из уравнения (4.1) также следует, что угол φ = 0 и входной ток цепи совпадает по фазе с напряжением.

113

	Совпадение по фазе входного напряжения и тока является основным
	признаком наличия резонанса не только в рассматриваемом контуре, но и в
	любой другой цепи.
	Напряжения U L и UC при последовательном соединении элементов L и С
	находятся в противофазе, т. е. сдвинуты одно относительно другого на 180º.
	Если xL xC , их амплитуды и действующие значения неодинаковы. При вы-
	полнении условия резонанса xL xC амплитуды становятся одинаковыми. От-
	сюда и название «резонанс напряжений».
	Векторная диаграмма, изображенная	+j		I
	на рис. 3.11, б, в режиме резонанса напря-
		Ur0=U		a
	жений превращается в диаграмму, приве-
	денную на рис. 4.1.	b=c
				+1
	На этой диаграмме напряжения UL0	UL0
	и UC 0 равны друг другу, поэтому падение	UC0
	напряжения на сопротивлении r равно
	приложенному напряжению U. Последнее	d
	по фазе совпадает с током I, и цепь отно-	Рис. 4.1. Векторная диаграмма
	сительно входных зажимов воспринимает-	резонанса напряжений
	ся как чисто активная. Такой эффект явля-
	ется следствием взаимной компенсации напряжений UL0		и UC 0 , но не их ис-
	чезновения. Как и в любом другом режиме, процессы в индуктивности связаны
	с магнитным полем, а в емкости – с электрическим. В индуктивности периоди-
	ческие изменения энергии магнитного поля определяются формулой (1.10):

W		1 Li2 .	(4.5)
м		2

В емкости энергия изменяется согласно выражению (1.14):

W	1 Cu2 .		(4.6)
э	2	C

В произвольном режиме энергии Wм и Wэ в любой момент отличаются по величине, т. е. не компенсируются. Преобладание той или иной из них определяет режим схемы в том смысле, что относительно входных зажимов цепь может восприниматься как активно-индуктивная или как активно-емкостная. Век-

114

торная диаграмма на рис. 3.11, б отражает случай активно-индуктивной реакции цепи, поскольку на ней UL > UC и входное напряжение U опережает входной ток I. При резонансе (см. рис. 4.1) напряжения UL и UC одинаковы. Соответственно одинаковы и периодические составляющие энергий Wм и Wэ, которые взаимно компенсируются. В итоге на входных зажимах цепь воспринимается как активная, хотя каждый из элементов L и C сохраняют свои энергетические параметры, как и падения напряжений UL и UC.

Реактивные сопротивления при резонансе имеют следующие значения:

1

2

L

0L

L

L

;

LC

LC

C

(4.7)

1

LC

LC

L

.

2

C

C

C

0C

	Величина	L	обозначается буквой ρ и называется характеристическим
		C
	или волновым сопротивлением контура,
					L		.	(4.8)
					C
	Отношение
			Q					(4.9)
					r

есть величина, которая называется добротностью контура. Эта величина характеризует соотношение между реактивными и активным сопротивлениями в резонансном режиме. В такой же мере добротность характеризует и соотношение между напряжениями:

UL0		0LI0					Q;
			rI0		r
Ur0								(4.10)
			I0
	UC0							Q.
			0CrI0			r
Ur0

Понятие добротности широко используется в теории фильтров как один из основных параметров оценки их качества.

115

На рис. 4.2 изображены две векторные диаграммы для резонансного режима.

Диаграмма, приведенная на рис. 4.2, а, соответствует значению добротности Q < 1. Диаграмма на рис. 4.2, б характеризуется значением Q > 1. В первом случае реактивные напряжения UL0 и UC0 меньше входного напряжения, во втором – больше. Следовательно, добротность Q является числовой оценкой кратности напряжений. Например, если имеем значение Q = 2, то это означает, что

UL0	UC0	2	(4.11)
U	U

и падения напряжений на индуктивности и емкости в два раза превышают приложенное напряжение.

+j	Q < .1		.		+j		Q > 1 .
	.	UC0					I0
			I0		.	.
	UL0
					UL0	UC0
	. .					. .
	Ur0	= U
						Ur0	= U
		а		+1			б		+1

Рис. 4.2. Резонанс напряжений при различных значениях добротности Q:

а – Q < 1; б – Q > 1

При исследовании резонансных свойств электрических цепей широко используются частотные характеристики, т. е. зависимости токов, напряжений и других физических величин от угловой частоты ω. При этом распространено построение графиков в относительных координатах. При построении зависимости, например, тока от частоты в качестве независимой переменной вместо ω берется относительная частота ' , равная 0 , а вместо тока I – отношение

II0 , где 0 и I0 – соответственно резонансные значения частоты и тока. При

таком подходе легче сравнивать характеристики, имеющие место при различных параметрах резонансного контура.

На рис. 4.3 в относительных координатах воспроизведены кривые

	I					для двух значений добротностей – Q1 и Q2.
			f
	I0			0

116

Рассматриваемый последовательный резонансный контур характеризуется свойствами полосового фильтра. В определенной полосе частот его входное сопротивление мало и он обусловливает значения тока, приближающиеся к максимальному значению I U r . Такая полоса частот называется полосой

пропускания, или полосой прозрачности фильтра.

Ширина полосы пропускания определяется точками пересечения резонансных кривых с прямой, соответствующей значению тока Iп 0,707I0 I02 .

При данном значении тока мощность, теряемая в сопротивлении r, равна половине потерь мощности при резонансе: Iп2r 0,5I02r .

I/I0

1

0,707

Q2 Q1>Q2

Q1

				'1 '21 '3	'4	/		0
	Рис. 4.3. Характеристики резонанса в относительных координатах
	На	рис. 4.3		первой кривой	соответствует	узкая полоса пропускания
2	3 ,	у второй		кривой полоса пропускания 1		4 значительно шире, по-

этому закономерен следующий вывод: чем выше добротность, тем ýже поло-

са пропускания.

Есть еще понятие избирательности резонансного контура как фильтра.

Чем ýже полоса пропускания, тем выше избирательность фильтра. Следовательно, значение добротности непосредственно определяет качество фильтра по отмеченному критерию – способности выделять полезный сигнал, в данном случае ток, в более узком диапазоне частот.

Наконец, легко показать, что в диапазоне частот от нулевой до резонансной рассматриваемая схема имеет активно-емкостной характер, а при частотах,

117

превышающих резонансную частоту 0 , – активно-индуктивный. Так, при час-

тоте 0 емкостное сопротивление 1C . Ток в схеме при этом равен ну-

лю, напряжение источника приложено только к емкости и угол сдвига фаз2 . При увеличении частоты до значения 0 значение φ стремится к нулю. При дальнейшем увеличении частоты знак угла φ изменяется на положительный и в пределе при становится чисто индуктивным, т. е. 2 . Следовательно, резонансная частота 0 является точкой раздела между отрицательными и положительными значениями угла сдвига фаз. В диапазоне частот 0 0 напряжение по фазе отстает от тока, при 0 , наоборот, напряжение опережает ток.

4.2. Резонанс токов

Особенности резонанса токов (параллельного резонанса) удобно рассматривать на примере схемы, изображенной на рис. 3.12, а, с параллельным соединением элементов r, L, C.

Входная комплексная проводимость этой схемы

Y g j b

b

g j

1

C

ye j ,

(4.12)

L

C

L

2

1

2

где y

g

C ;

L

arctg bL bC . g

При резонансной частоте 0 реактивная проводимость принимает нулевое значение:

	1			C 0 ,		(4.13)
	0L		0
откуда резонансная частота
				1	.	(4.14)
0			LC

118

Рис. 4.4. Векторная диаграмма резонанса токов

На векторной диаграмме (рис. 4.4) ток IL отстает от напряжения на 90º, а ток IC опережает напряжение на 90º. Действующие значения этих токов равны между собой, поэтому их сумма равна нулю.

	+j	.	Входной ток схемы I равен току ветви с ак-
			тивным сопротивлением Ir. Угол сдвига фаз φ ра-
		U
	I.r = I.		вен нулю. В итоге входной ток цепи по фазе сов-
		I.L I.C	падает с входным напряжением и выполняется
			сформулированное в подразд. 4.1 условие ре-
	0	+1	зонанса.
			Проводимость g 1 r есть минимальное

значение входной проводимости. Поэтому при резонансе токов входной ток схемы, в отличие от ре-

зонанса напряжений, принимает минимальное значение:

I0 Ir0 gU.

(4.15)

При нулевой частоте ( 0 ) сопротивление индуктивной ветви схемы на рис. 3.12, а равно нулю ( L 0 ), поэтому весь ток проходит только по этой ветви, имеет индуктивный характер и теоретически бесконечен. Вследствие этого левая ветвь кривой I( ) на рис. 4.5 начинается в бесконечности, а начало кривой угла сдвига фаз соответствует значению 2 . В режиме резонанса ток имеет минимальное значение, а угол сдвига фаз равен нулю. В области изменения частоты от нуля до 0 схема на входных зажимах воспринимается как активно-индуктивная. При частоте 0 преобладает ток емкостной ветви, поэтому схема воспринимается как активно-емкостная.

Рассмотрим далее значения реактивных проводимостей при резонансной частоте 0 :

1

1

1

1

bL0

;

0L

1

L

L

LC

C

(4.16)

C

C

1

bC0

0C

L

.

LC

119