Osnovy_teorii_tsepey_post_i_perem_toka_2012
.pdfДобротность цепи в данном случае определяется как отношение реактивных проводимостей к активной:
Q bL0 |
1 |
|
r |
; |
|||
|
|
||||||
|
g |
1 r |
|
|
|||
|
|
||||||
|
bC0 |
1 |
r |
|
|||
Q |
. |
||||||
|
|
||||||
|
g |
1 r |
|
|
|||
|
|
I ,
π
0 = gU
0 |
0 |
|
– π |
|
|
Рис. 4.5. Частотные характеристики при резонансе токов
В итоге получили формулу добротности
Q r ,
(4.17)
(4.18)
которая выглядит как обратная по отношению к аналогичной формуле для последовательной цепи.
Добротность цепи характеризует соотношение между токами индуктивной и емкостной ветвей и током через ветвь с сопротивлением r. Если Q 1, то реактивные токи IL0 и IC0 при резонансе меньше активного Ir0 . Значение Q 1 показывает кратность превышения реактивных токов по отношению к активному.
Схема на рис. 3.12, а с параллельным соединением элементов r, L, C имеет характеристики так называемого заграждающего (режекторного) фильтра. В области частот, примыкающей к резонансной, входное сопротивление цепи максимально, поэтому ток минимален, откуда и название «заграждающий
120
фильтр». Добротность, как и в предыдущем случае, влияет на форму кривой I( ) и другие характеристики фильтра.
4.3.Резонанс в электрических цепях произвольной структуры
Впрактике используются более сложные схемы электрических фильтров
идругие электрические цепи, содержащие различное количество реактивных элементов. В области электрических фильтров явление резонанса используется как полезное или необходимое явление. Однако в других областях явление резонанса может возникать как нежелательное явление, приводящее к повышенным значениям напряжений или токов. При высоких значениях добротности электрических цепей, т. е. в цепях с малыми потерями в активных сопротивлениях, напряжения и токи в резонансных режимах могут достигать опасных значений. Поэтому понимание резонансных свойств той или иной электрической системы является важной задачей.
Во всех случаях в качестве критерия наличия резонансного режима выступает условие совпадения начальных фаз входных напряжения и тока исследуемой электрической цепи. С этим условием согласуется условие обращения в нуль реактивной составляющей входного комплексного сопротивления (проводимости) электрической цепи. Поэтому исходным этапом математического исследования резонансных свойств любой электрической цепи является выделение из состава комплексного входного сопротивления (проводимости) реактивной составляющей и приравнивание ее к нулю.
Вцелом расчет проводится с реализацией следующих этапов.
1.Записывается входное сопротивление или входная проводимость цепи.
2.Входное сопротивление (проводимость) разделяется на действительную и мнимую части.
3.Выделяется реактивное сопротивление (проводимость) цепи (мнимая часть) и приравнивается к нулю.
4.Полученное уравнение решается относительно искомой неизвестной (частоты, индуктивности, емкости, сопротивления).
Как правило, первым этапом решения является вычисление резонансных частот, поскольку именно реализация этого этапа отвечает на вопрос, возможны в данной цепи резонансы или нет.
121
В цепях с двумя реактивными элементами определяется и исследуется одна резонансная частота.
Для цепей с тремя реактивными элементами определяются и исследуются две резонансные частоты. Количество резонансных частот возрастает с увеличением числа реактивных элементов (индуктивных и емкостных).
4.3.1. Резонанс в цепях с двумя реактивными элементами
На рис. 4.6 изображена группа схем, в которых индуктивность и емкость включены последовательно или находятся в составе последовательного соединения двухэлементных участков схем.
Схема, представленная на рис. 4.6, а, уже рассмотрена в подразд. 4.1 и выявлены особенности, характеризующие резонанс напряжений. В остальных схемах также может возникать только резонанс напряжений в силу отмеченной их структуры. В качестве примера рассмотрим схему на рис. 4.6, б.
Входное сопротивление схемы на рис. 4.6, б
|
|
|
j |
1 |
|
|
|
Z j L |
r |
C |
|
|
|
|
|
|
. |
(4.19) |
||
|
|
r j |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
r |
C |
|
|
|
L |
r |
|
|
|
|
|||
|
L |
|
|
|
|
C |
|
а |
|
|
|
|
б |
C |
L |
|
|
|
L |
r2 |
|
|
|
|
|
|
r |
r1 |
C |
в |
|
г |
Рис. 4.6. Схемы, в которых возможен резонанс напряжений
122
Преобразуем выражение (4.19), умножая числитель и знаменатель на сопряженный комплекс знаменателя:
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
r |
j |
|
|
|
r j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z j L |
|
|
C |
C |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
r |
j |
|
|
|
r j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
C |
|
C |
|
|
j |
r2 |
|
|
|
|
r |
|
|
||
j L |
C |
|
|
2C2 |
. |
(4.20) |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
r2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
Далее осуществляется разделение действительной и мнимой частей выражения (4.20):
Z |
r |
|
j |
|
L |
r2 C |
|
|
(4.21) |
|
|
|
|
|
|
||||
r2 2C2 |
1 |
r2 2C2 |
1 |
и для определения резонансной частоты мнимая часть уравнения (4.21) приравнивается к нулю:
0L |
r2 0C |
|
|
0 . |
(4.22) |
|||
r2 0 |
2C |
2 |
1 |
|||||
|
|
|
В итоге получается алгебраическое уравнение второй степени относительно резонансной частоты 0 :
r2LC2 02 L r2C 0 , |
(4.23) |
решение которого имеет вид:
|
r2C L |
. |
(4.24) |
|
|||
0 |
r2LC2 |
|
|
|
|
Резонансная частота – реальный физический параметр, поэтому положительный ответ о наличии резонанса напряжений дает только положительное, действительное значение корня. Следовательно, окончательно используем значение
|
r2C L |
, |
(4.25) |
|
|||
0 |
r2LC2 |
|
|
|
|
123
которое указывает на то, что резонанс в исследуемой схеме возможен при выполнении условия r2C L . Если это условие не выполняется, то числитель подкоренного выражения будет отрицательным, а корень, соответственно, мнимым.
Рассмотрим схему на рис. 4.6, б при следующих числовых значениях параметров: U = 10 В, r = 100 Ом, L = 0,01 Гн, C 10 4 Ф. Расчетная схема для резонанса напряжений представлена на рис. 4.7.
Резонансная частота определяется в соответствии с формулой (4.25) так:
|
|
|
|
|
|
r2C L |
; |
(4.26) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
r2LC2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
104 |
10 4 |
0,01 |
995 рад с. |
|
||
104 0,01 10 8 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Получили действительное положитель- |
|
|
ное значение, следовательно, при данной час- |
· |
L |
тоте и заданных параметрах r, L, C в схеме, |
IL |
|
|
|
|
изображенной на рис. 4.7, имеет место резо- |
· |
|
нанс напряжений. Чтобы разобраться в осо- |
U |
|
|
бенностях данного резонанса, необходимо |
|
провести расчет токов и построить вектор- |
|
нуюдиаграмму. |
|
Входное сопротивление при резонансной частоте 0 |
I·r |
r |
|
C |
I·C |
|
согласно формуле
(4.21) можно вычислить так:
|
|
Z0 |
|
|
r |
|
|
|
|
; |
(4.27) |
|
|
r2 2C2 |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Z0 |
|
|
100 |
|
|
|
|
0,995 Ом. |
|
||
104 10 8 9952 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Резонансные значения токов:
IL0 |
U |
; |
(4.28) |
|
|||
|
Z0 |
|
124
|
IL0 |
|
10e j0 10,05 А; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0,995 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
Ir0 I0 |
C |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
; |
||||||||||
|
r j |
1 |
|
|
||||||||||||
|
0C |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ir0 |
10,05 |
|
j10,05 |
|
|
1,005e j84,26 ; |
||||||||||
100 j10,05 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
IC0 I0 |
|
r |
|
|
|
|
; |
||||||||
|
r j |
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
IC0 10,05 |
|
100 |
|
|
|
10e j5,74 ; |
||||||||||
100 j10,05 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для определения падения напряжения:
U L0 IL0 j 0 L ;
UL0 10,05 995 0,01e j90 99,9e j90 ;
Ur0 UC0 IC0 j 1C ;
0
UC0 10e j5,74 10,05e j90 100,5e j84,26 .
(4.29)
(4.30)
(4.31)
(4.32)
По полученным данным построена векторная диаграмма (рис. 4.8), характеризующая резонансный режим в схеме на рис. 4.7.
Особенности приведенной векторной диаграммы сводятся к следующему. Напряжение U и ток IL0 совпадают по фазе.
Реактивные напряжения UL0 и UC0 в отличие от схем на рис. 3.11, а и рис. 4.6, а не находятся в противофазе, т. е. сдвинуты одно относительно другого на угол, не равный 180º. Поэтому полная компенсация этих напряжений невозможна. В противофазе находятся напряжение UL0 и составляющая U′C0 напряжения UC0. Кроме того, имеет место равенство между UL0 и U′C0. В результате можно сказать, что условие резонанса напряжений в данной схеме обеспечивается напряжениями UL0 и U′C0.
125
Наконец, можно отметить, что рассматри- · ваемая векторная диаграмма соответствует схеме UL0 с достаточно высокой добротностью:
Q |
UL0 |
|
UC0 |
10, |
|
|
· |
I·C0 |
· |
|||
|
|
(4.33) |
U |
|
IL0 |
|||||||
U |
U |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
·0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. напряжения на реактивных элементах L и C |
Ir0 |
|
|
|||||||||
|
· |
|
||||||||||
примерно в 10 раз превышают приложенное на- |
|
|
||||||||||
|
UC0 |
|
||||||||||
пряжение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
В схемах на рис. 4.9 индуктивность и ем- |
|
|
||||||||||
U'C0 |
|
|
||||||||||
кость находятся в параллельных ветвях, поэтому, |
Рис. 4.8. Диаграммы |
|||||||||||
как уже показано для схемы рис. 4.9, |
а, в этих |
напряжений и токов |
||||||||||
при резонансе |
|
|||||||||||
схемах возможен резонанс токов. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Обратимся к схеме рис. 4.9, б и, учитывая ее структуру, запишем выраже- |
||||||||||||
ние для расчета комплексной проводимости: |
|
|
|
|||||||||
|
Y |
|
|
1 |
|
|
j C |
|
r j L |
j C . |
|
(4.34) |
|
r j L |
r2 2L2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
r |
C |
r |
L |
|
|
|
|
|
|
L |
|
а |
|
|
б |
|
|
|
|
C |
r2 |
|
|
r |
|
|
L |
|
C |
r 1 |
L |
|
|
|||
в |
|
|
г |
|
Рис. 4.9. Схемы, в которых возможен резонанс токов
126
Разделяя действительную и мнимую части уравнения (4.34) и приравнивая последнюю к нулю, в конечном итоге приходим к уравнению
L2C |
2 |
r2C L 0 , |
(4.35) |
||
0 |
|
|
|
|
|
корень которого |
|
|
|
|
|
|
|
|
L r2C |
(4.36) |
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
L2C |
|
|
|
|
|
|
||
указывает на возможность резонанса токов при |
выполнении условия |
||||
L r2C 0 . |
|
|
|
|
|
Можно было бы убедиться в том, что использование в качестве исходного выражения формулы для расчета комплексного сопротивления
|
|
|
|
1 |
|
||
|
r j L |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Z |
|
|
|
C |
(4.37) |
||
r j L j |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
C |
|
|||||
|
|
|
|
приводит к тому же уравнению (4.35) относительно резонансной частоты и к тому же значению корня этого уравнения (4.36). Однако преобразования при этом более сложные, поэтому в схемах с параллельными ветвями предпочтение отдается комплексной проводимости.
Для выявления особенностей исследования резонанса токов в схеме рис. 4.9, б снова обратимся к числовым значениям параметров: r = 50 Ом,
. |
|
|
|
|
|
|
L = 0,05 Гн, C 10 5 Ф, U = 100 В. Расчетная схема для |
|||||||
|
I0 |
|
|
|
резонанса токов изображена на рис. 4.10. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
Расчет приводится в комплексной форме. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Резонансная частота в соответствии с формулой |
|||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(4.36) определяется так: |
|
|
|
|
|||
U |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
L |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
I.10 |
|
I.C0 |
|
0 |
L r2C |
; |
(4.38) |
|||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2C |
|
|||
Рис. 4.10. Расчетная |
|
|
|
|||||||||||
|
0,05 502 10 5 |
|
|
|
||||||||||
схема для резонанса |
0 |
103 |
рад с. |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
токов |
|
|
|
|
0,052 10 5 |
|
127
Входная проводимость схемы при частоте 0 согласно формуле (4.34) рассчитывается по выражению:
|
|
Y0 |
|
|
|
r |
|
; |
(4.39) |
|
|
r |
2 |
02 L2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
Y0 |
|
|
50 |
|
|
0,01 См. |
|
||
502 106 |
0,052 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Резонансные значения токов в ветвях схемы (см. рис. 4.10) вычисляются по следующим формулам:
I0 Y0U ;
I0 0,01 100e j0 1 А;
|
|
I |
|
|
|
|
U |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
10 |
|
r j 0L |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
I |
|
100e j0 |
1,41e j45 ; |
|||||||||
|
|
|||||||||||
10 |
50 |
j50 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
IC0 |
|
U |
|
; |
||||||
|
|
j |
1 |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
IC0 |
|
100 |
|
|
1e j90 . |
||||||
|
|
j100 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Падения напряжения вычисляются по уравнениям:
I10r 1,41e j45 50 70,5e j45 ;
I10 j 0L 1,41e j45 50e j90 70,5e j45 .
(4.40)
(4.41)
(4.42)
(4.43)
Соответствующая расчету векторная диаграмма приведена на рис. 4.11. В данном случае токи параллельных ветвей I10 и IC0 не находятся в про-
тивофазе, а потому не могут компенсировать друг друга. Резонанс токов здесь обусловливается равенством между емкостным током IC0 и реактивной составляющей I10 тока I10 . В результате выполняется также основное условие наличия
128
резонанса – совпадение по фазе входного тока схемы I0 и приложенного напряжения U.
|
|
|
|
|
I·10 r |
|
|
|
I·C0 |
|
I·10 jω0L |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
· |
· |
· |
|
|
|
|
|
I0 |
U = U |
|
|
|
|
|
|
|
C0 |
|
|
· |
|
I·10 |
|
|
|
|
I'10 |
|
|
|
|
|
Рис. 4.11. Диаграммы токов и напряжений при резонансе |
|||||
Числовые |
параметры |
схемы |
выбраны |
так, что из равенства |
||
Q IC 0 |
|
I0 1 следует, что цепь не является высокодобротной. |
||||
I0 I10 |
4.3.2.Резонанс в цепях с произвольным количеством реактивных элементов
Свозрастанием числа индуктивных и емкостных элементов в схемах резко увеличивается объем математических преобразований и вычислений, поэтому в качестве объекта для изучения возьмем схему с тремя реактивными элементами, изображенную на рис. 4.12.
Рис. 4.12. Схема с тремя реактивными элементами
Исследование явления резонанса в цепях, содержащих три реактивных элемента и более, имеет ту же основу, т. е. при резонансе входное сопротивление (проводимость) цепи становится чисто активным. Задача чаще всего сво-
129