Замечание. Множество векторов прямой образует одномерное, плоскости – двумерное, обычного пространства – трехмерное векторные пространства. Выше мы обозначили их через L1, L2 , L3 соответственно. Здесь нижний индекс означает раз-

мерность пространства.

Пространства, в которых нельзя указать базис, состоящий из конечного числа векторов, называются бесконечномерными. Примером бесконечномерного пространства может служить множество С [a, b] непрерывных на отрезке [a, b] функций f(t), для которых операции сложения и умножения на число определены естественным образом.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса можно свести к линейным операциям над числами — координатами этих векторов относительно данного базиса. Об этом и пойдет речь в следующем параграфе.

§7. Действия над векторами в координатах

В § 2 были введены линейные операции над векторами. В этом параграфе мы покажем, как выполняются соответствующие операции в координатной форме.

Рассмотрим трехмерное пространство.

Теорема 7.1. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие координаты этих векторов.

Это означает, что если относительно некоторого аффинного базиса {e1 , e2 , e3}

векторы заданы своими координатами: a {a1, a2 , a3}, b {b1,b2 ,b3}, то

				a1 b1,	a2 b2 ,	a3 b3.	(7.1)
a		b

Теорема 7.2. Какова линейная зависимость между векторами, такова и зависимость между их соответствующими координатами.

Доказательство. Пусть в трехмерном пространстве даны векторы a1 ,a2 ,...,an

такие, что вектор b является линейной комбинацией этих векторов, т.е.

21

b

1a1 2a2

... nan .

(7.2)

И пусть известны координаты векторов

относительно некоторо-

b, a1 , a2 , ..., an

го аффинного базиса {

1 ,

2 ,

3} этого пространства:

{b1,b2 ,b3} ,

1 {a11, a21, a31},

e

e

e

b

a

2 {a12 , a22 , a32}, ...,

n {a1n , a2n , a3n}. Запишем равенство

(7.2)

в

координатной

a

a

форме:

b1

1 b2

2 b3

3

1(a11

1 a21

2 a31

3 ) 2 (a12

1 a22

2 a32

3 ) ... n (a1n

1

a2n

2 a3n

3 )

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

( 1a11 2a12

... na1n )

1 ( 1a21 2a22 ... na2n )

2

( 1a31

2a32

... na3n )

3 .

e

e

e

Учитывая (7.1), получим

b

a

a

...

a

,

1

1 11

2 12

n 1n

b2

1a21

2a22

... na2n ,

(7.3)

1a31

2a32

... na3n.

b3

Следствие 7.1. При сложении векторов их координаты складываются, при вычитании – вычитаются; при умножении вектора на число – каждая координата умножается на это число, т.е.

a b {a1 b1,a2 b2 ,a3 b3} ; a { a1, a2 , a3}.

Замечание. Правила выполнения линейных операций над векторами в координатной форме совпадают с правилами соответствующих операций над матрицами.

Следствие 7.2. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов a {a1,a2 ,a3} и b {b1,b2 ,b3} ( a 0, b 0) является пропорциональность их координат, т.е.

a1	a2	a3 .	(7.4)
b	b	b
1	2	3

Следствие 7.3. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a {a1, a2 , a3}, b {b1,b2 ,b3}и c {c1,c2 ,c3} является равенство

a1 a2 a3

b1 b2 b3 0. c1 c2 c3

22

§8. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат

Рассмотрим трехмерное пространство.

Определение 8.1. Под аффинной системой координат в трехмерном пространстве будем понимать геометрический образ, состоящий из фиксированной точки О и аффинного базиса {e1,e2 ,e3}.

Аффинную систему координат будем обозначать {O,e1,e2 ,e3}. Точка О

называется началом координат, а векторы e1,e2 ,e3 – координатными векторами.

Аналогично под прямоугольной декартовой системой координат {O,i, j, k}

будем понимать геометрический образ, состоящий из фиксированной точки О – начала координат и прямоугольного декартового базиса {i, j, k}.

Направленные прямые, проходящие через начало координат и параллельные координатным векторам, называются координатными осями. Оси, параллельные векторам e1,e2 ,e3 (или векторам i, j, k ), называются соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат и обозначаются Ox, Oy, Oz. Плоскости, определяемые осями Ох и Оy, Ox и Oz, Oy и Oz, называются координатными плоскостями и обозначаются соответственно через Oxy, Oxz, Oyz. Систему кординат {O,e1,e2 ,e3} (или {O,i, j, k}) обозначают также Oxyz.

В дальнейшем все рассуждения будем вести в прямоугольной декартовой системе координат.

Пусть {O,i, j, k} – прямоугольная декартова система координат. Рассмотрим произвольную точку А трехмерного пространства.

Определение8.2. Направленныйотрезок OA называетсярадиус-векторомточкиА. Заметим, что между точками пространства и их радиус-векторами существует

взаимно однозначное соответствие.

Определение 8.3. Координатами (прямоугольными декартовыми координата-

ми) точки А трехмерного пространства называется тройка чисел (x, y, z), где x, y, z – координаты радиус-вектора OA в ортонормированном базисе {i, j, k}, т.е.

	xi y				A(x, y, z) .	(8.1)
OA		j	zk

23

Аналогично названию координатных осей первую координату называют абс-

циссой, вторую – ординатой и третью – аппликатой точки.

Для построения точки А в прямоугольной декартовой системе координат воспользуемся формулой (8.1). Отложим от точки O векторы OA1 xi , OA2 y j ,

OA3 zk . Построим прямоугольный параллелепипед так, что его три измерения равны OA1, OA2 и OA3 , тогда вектор OA OA1 OA2 OA3 совпадает с диагональю параллелепипеда. В справедливости вышесказанного несложно убедиться, поочередно складывая векторы OA1 и OA2 , а затем векторы (OA1 OA2 ) и OA3 по правилу па-

раллелограмма. Конец вектора OA и есть искомая точка (рис. 9).

		z
		А3
				А
	i	k	j	А2
		О			y
	А1
	x
			Рис. 9

Рассмотрим некоторые задачи, которые пригодятся нам в дальнейшем.

Задача 1 (о нахождении координат вектора по координатам его начала и конца).

Рассмотрим две точки А и В, причем A(x1, y1, z1) , B(x2 , y2 , z2 ) . Найдем коор-

динаты вектора AB (рис. 10).

z А

B

О y x Рис.10

24

Решение. Из рис. 10 видно, что

AB

OB

OA

. С учетом (8.1),

имеем:

{x1 , y1 , z1},

{x2 , y2 , z2 } . Используя следствие 7.1, получим:

OA

OB

{x2 x1 , y2

y1 , z2 z1}.

(8.2)

AB

Таким образом, для того, чтобы найти координаты вектора с известными координатами его начала и конца, нужно от координат конца вычесть координаты начала.

Задача 2 (о делении отрезка в данном соотношении). Рассмотрим отрезок

M1M2 , причем M1(x1, y1, z1) и М2 (x2 , y2 , z2 ) . Пусть данный отрезок точкой M делится

всоотношении M1M . Найдем координаты точки М.

MM2

M1

M M2

Рис. 11

Решение. Из рис. 11 видно, что справедливо векторное равенство

M1M MM 2 .

Предположим, что точка M имеет координаты M (x, y, z) . Находя по формуле

(8.2) координаты векторов M1M и MM 2 и учитывая теорему 7.1, получим равенства:

x x1 (x2 x),y y1 ( y2 y),z z1 (z2 z).

Выражая из первого равенства x, из второго — y, а из третьего — z, находим координаты точки М:

x	x1 x2	,	y	y1 y2	,	z	z1 z2	.	(8.3)
	1			1
							1

В случае, если 1, т. е. M1M MM2 , получаем формулу координат середи-

ны отрезка

25