число положительное (отрицательное). Угол между двумя ненулевыми векторами прямой, если скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Это утверждение непосредственно следует из формулы (11.1) и свойств косинуса.

Физический смысл скалярного произведения. Если вектор F изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец некоторого век-

тора s , то работа А этой силы определяется равенством
A F s .	(11.7)

Замечание. В этом параграфе мы определили скалярное произведение векторов трехмерного пространства при помощи длин векторов и угла между ними. Это не единственный способ задания скалярного произведения векторов. Например, в произвольном линейном пространстве, где нет понятия длины вектора или угла между векторами, понятие скалярного умножения можно вводить аксиоматически, т.е. при помощи некоторых свойств, которыми скалярное произведение, как мы видим на примере трехмерного пространства, обладает. В этом случае длина вектора и угол между векторами могут быть, в свою очередь, определены через скалярные произведения. Подробнее об этом пойдет речь в следующем параграфе.

§12. Евклидово пространство*: основные понятия

Рассмотрим действительное линейное пространство L.

Определение 12.1. Будем говорить, что в линейном пространстве L задано скалярное произведение, если каждой паре векторов a,b L поставлено в соответствие

действительное число a b так, что выполняются следующие условия:

1)

a

b

b

a

;

2)

(

)

;

a

b

c

a

b

a

c

3) (

)

(

) (

),

R ;

a

b

a

b

a

b

4) a a 0 , причем равенство нулю имеет место лишь для нулевого вектора a .

* Пространство, геометрию которого впервые описал древнегреческий математик Евклид в своей работе «Начала».

34

Определение 12 .2. Линейное пространство L, в котором определено скалярное произведение, будем называть евклидовым пространством и обозначать E.

Если n-мерное линейное пространство – евклидово, то будем называть его евк-

лидовым n-мерным пространством, а базис линейного пространства – базисом евклидова пространства.

Дадим определения длины вектора и угла между векторами в евклидовом пространстве E.

Определение 12 .3. Длиной вектора a E называется величина

a a a .

Определение 12.4. Углом между векторами a,b L называется угол(0 ) , косинус которого равен

cos aa bb .

Определение 12 .5. Два вектора a и b евклидова пространства E называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.

a b 0 .

Пусть в евклидовом пространстве En задан некоторый ортонормированный ба-

зис {

e

1,

e

2 ,...,

e

n} , т.е.

e

i

e

j 0 при i j и

e

i

e

j 1 при i

j . Если векторы

a

и

b

от-

носительно данного базиса имеют

разложения

a1

1 a2

2 ... an

n ,

a

e

e

e

b b1e1 b2 e2 ... bn en , то несложно показать, что скалярное произведение a b будет определяться формулой

n

a1

b1

a2 b2

... an

bn

ai bi .

(12.1)

a

b

i 1

Замечание. Длину вектора

En и угол между векторами

,

En

с учетом

a

a

b

(12.1) можно вычислять по формулам

a2

a2

... a2

,

(12.2)

a

1

2

n

cos

a1 b1 a2

b2

... an bn

.

(12.3)

a2

a2 ... a2

b2 b2

...

b2

1

2

n

1

2

n

35

§13. Векторное произведение векторов

Определение 13.1. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называет-

ся правой (левой), если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму вектору осуществляется против (по) часовой стрелки (стрелке).

Замечание. Иногда о правой тройке векторов говорят, что они направлены по правилу «правой руки». Это означает, что если векторы тройки приведены к общему началу и указательный палец правой руки мы направляем по первому вектору, средний – по второму, то большой палец будет указывать направление третьего вектора данной тройки (рис. 17, а).

Аналогично для векторов левой тройки выполняется правило «левой руки»

(рис. 17, б).

а) правая тройка векторов

a

,

b

,

c

б) левая тройка векторов

a

,

b

,

c

b

с

a

b

a

с

Рис. 17

Замечание. Координатные векторы i , j, k образуют правую тройку векторов.

Определение 13.2. Векторным произведением двух векторов a и b называется

вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:

1)

sin , где — угол между векторами

a

и

b

(0 ) ;

c

a

b

2)

,

;

c

a

c

b

3) векторы a, b и c образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение обозначается a b или [a,b] .

36

Свойства векторного произведения

1)a b b a (антикоммутативность);

2)a (b c) a b a c, (a b) c a c b c (дистрибутивность векторного умножения относительно сложения);

3)( a) b a ( b) (a b), R ;

4)

.

a

b

0,

a

0, b 0

a

b

Замечание. В частности, векторное произведение вектора на себя равно нульвектору, т.е. a a 0 .

В справедливости свойств 1, 3, 4 несложно убедиться, воспользовавшись определением векторного произведения 13.2 и свойствами функции синус. Доказательство свойства 2 приведем ниже, используя координатное представление векторного произведения.

Теорема 13.1 (координатное представление векторного произведения). Если векторы a и b относительно ортонормированного базиса {i, j,k } заданы своими

координатами

a

{a1, a2 , a3},

b

{b1,b2 ,b3} ,

то векторное произведение имеет коор-

динаты

{a2b3

b2a3 , (a1b3

b1a3 ), a1b2 b1a2}

(13.1)

a

b

или их можно записать в виде определителей 2-го порядка

a2

a3

,

a1

a3

,

a1

a2

a b

b2

b3

b1

b3

b1

b2

(13.1 )

.

Доказательство. Воспользуемся разложением векторов a и b по базису и найдем координаты векторного произведения этих векторов

a b (a1 i a2 j a3 k) (b1 i b2 j b3 k) a1 b1 (i i) a1 b2 (i j) a1 b3 (i k)

a2 b1( j i) a2 b2 ( j j) a2 b3 ( j k) a3 b1(k i) a3 b2 (k j) a3 b3 (k k).

Согласно последнему замечанию, имеем: i i j j k k 0. Учитывая определение векторного произведения 13.2, его антикоммутативность и, принимая во внимание пример 13.1, находим: i j k, j k i, k i j . Окончательно, получим

a b (a2b3 b2a3 )i (a1b3 b1a3 ) j (a1b2 b1a2 )k . ▲

37

Замечание. Координатное представление вектора a b можно также получить, вычисляя определитель 3-го порядка

a b

i

j

k

(13.1 )

a1

a2

a3

b1

b2

b3

.

Данный определитель удобно вычислять, раскладывая его по первой строке.

) видно, что свойства векторного произведения непосред-

Замечание. Из (13.1

ственно следуют из соответствующих свойств определителей.

Докажем свойство 2 векторного произведения.

Рассмотрим векторы

{a1, a2 , a3},

{b1,b2 ,b3}

и

{c1,c2 ,c3}. Найдем коор-

a

b

c

динаты

вектора

,

складывая

соответствующие

координаты векторов:

b

c

{b1

c1,b2 c2 ,b3 c3}. Вычислим

векторное произведение

(

) , составив

b

c

a

b

c

определитель

i

i

i

j

k

j

k

j

k

(

)

a1

a2

a3

a1

a2

a3

a1

a2

a3

.

a

b

c

a

b

a

c

b1 c1 b2 c2 b3 c3

b1

b2

b3

c1

c2

c3

Здесь при вычислении определителя воспользовались правилом сложения определителей. ▲

Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произ-

ведения неколлинеарных векторов a и b равен площади параллелограмма, постро-

енного на этих векторах, т.е. Sпар мма a b .

Это утверждение непосредственно следует из п. 1 определения 13.2 и формулы нахождения площади параллелограмма, известной из школьного курса геометрии.

Физический смысл векторного произведения. Если вектор F изображает силу, приложенную к точке А, то момент M силы F относительно некоторой точки O представляет собой вектор M OA F .

38