Часть 2. Лабораторный практикум Теоретические сведения

Человек в процессе своей жизнедеятельности постоянно обречен на выбор решений, стараясь сделать всё наилучшим образом. В наиболее общем смысле теория принятия оптимальных решений представляет собой совокупность математических и численных методов, ориентированных на нахождение наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать их полного перебора. Ввиду того, что размерность практических задач, как правило, достаточно велика, а расчеты в соответствии с алгоритмами оптимизации требуют значительных затрат времени, то методы принятия оптимальных решений главным образом ориентированы на реализацию их с помощью ЭВМ.

Рассмотрим процесс принятия решений с самых общих позиций. Психологами установлено, что решение не является начальным процессом творческой деятельности. Оказывается, непосредственно акту решения предшествует тонкий и обширный процесс работы мозга, который формирует и предопределяет направленность решения. В этот этап, который можно назвать "предрешением", входят следующие элементы:

• мотивация, то есть желание или необходимость что-то сделать. Мотивация определяет цель какого-либо действия, используя весь прошлый опыт, включая результаты;

• возможность неоднозначности результатов;

• возможность неоднозначности способов достижения результатов, то есть свобода выбора.

После этого предварительного этапа следует, собственно, этап принятия решения. Но на нем процесс не заканчивается, т.к. обычно после принятия решения следует оценка результатов и корректировка действий. Таким образом, принятие решений следует воспринимать не как единовременный акт, а как последовательный процесс.

Выдвинутые выше положения носят достаточно общий характер, обычно подробно исследуемый психологами. Более близкой с точки зрения инженера будет следующая схема процесса принятия решения. Эта схема включает в себя следующие компоненты:

• анализ исходной ситуации;

• анализ возможностей выбора;

• выбор решения;

• оценка последствий решения и его корректировка.

Практическая потребность общества в научных основах принятия решений возникла с развитием науки и техники только в XVIII веке. Началом науки "Теория принятия решений" следует считать работу Жозефа Луи Лагранжа, смысл которой заключался в следующем: сколько земли должен брать на лопату землекоп, чтобы его сменная производительность была наибольшей. Оказалось, что утверждение "бери больше, кидай дальше" неверен. Бурный рост технического прогресса, особенно во время и после второй мировой войны, ставил все новые и новые задачи, для решения которых разрабатывались новые научные методы. Можно выделить следующие научно-технические предпосылки становления "Теории принятия решений":

1. удорожание "цены ошибки". Чем сложнее, дороже, масштабнее планируемое мероприятие, тем менее допустимы в нем "волевые" решения и тем важнее становятся научные методы, позволяющие заранее оценить последствия каждого решения, заранее исключить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные;

2. ускорение научно-технической революции. Жизненный цикл технического изделия сократился настолько, что "опыт" не успевал накапливаться и требовалось применение более развитого математического аппарата в проектировании;

3. развитие ЭВМ. Размерность и сложность реальных инженерных задач не позволяли использовать аналитические методы.

Эта наука, с одной стороны, стала определенной ветвью других, более общих наук (теории систем, системного анализа, кибернетики и т.д.), а с другой, стала синтезом определенных фундаментальных, более частных наук (исследования операций, оптимизации и т.д.), создав при этом и собственную методологию.

Инженерное дело теснейшим образом связано с совокупностями объектов, которые принято называть сложными системами. Эти объекты характеризуются многочисленными и разнообразными по типу связями между отдельно существующими элементами системы и наличием у системы функции назначения, которой нет у составляющих ее частей. На первый взгляд каждая сложная система имеет уникальную организацию. Однако более детальное изучение способно выделить общее в системе команд ЭВМ, в процессах проектирования здания или сооружения, самолета и космического корабля.

В научно-технической литературе существует ряд терминов, имеющих отношение к исследованию сложных систем.

Наиболее общий термин "теория систем" относится ко всевозможным аспектам исследования систем. Ее основными частями являются:

• системный анализ, который понимается как исследование проблемы принятия решения в сложной системе,

• кибернетика, которая рассматривается как наука об управлении и преобразовании информации.

Понятие управления не совпадает с понятием принятие решения. Условная граница между кибернетикой и системным анализом состоит в том, что первая изучает отдельные и строго формализованные процессы, а системный анализ – совокупность процессов и процедур.

Очень близкое к термину "системный анализ" понятие "исследование операций", которое традиционно обозначает математическую дисциплину, охватывающую исследование математических моделей для выбора величин, оптимизирующих заданную математическую конструкцию (критерий). Системный анализ может сводиться к решению ряда задач исследования операций, но обладает свойствами, не охватываемыми этой дисциплиной. Однако в зарубежной литературе термин "исследование операций" не является чисто математическим и приближается к термину "системный анализ". Широкая опора системного анализа на исследование операций приводит к таким его математизированным разделам, как

• постановка задач принятия решения;

• описание множества альтернатив;

• исследование многокритериальных задач;

• методы решения задач оптимизации;

• обработка экспертных оценок;

• работа с макромоделями системы.

Системный анализ – наука, занимающаяся проблемой принятия решения в условиях анализа большого количества информации различной природы.

Из определения следует, что целью применения системного анализа к конкретной проблеме является повышение степени обоснованности принимаемого решения, расширение множества вариантов, среди которых производится выбор, с одновременным указанием способов отбрасывания, заведомо уступающих другим.

В системном анализе выделяют

• методологию;

• аппаратную реализацию;

• практические приложения.

Методология включает определения используемых понятий и принципы системного подхода.

Практически любой объект с определенной точки зрения может быть рассмотрен как система. Вопрос состоит в том, насколько целесообразна такая точка зрения.

Большая система – система, которая включает значительное число однотипных элементов и однотипных связей. В качестве примера можно привести трубопровод. Элементами последнего будут участки между швами или опорами. Для расчетов на прочность по методу конечных элементов элементами системы считаются небольшие участки трубы, а связь имеет силовой (энергетический) характер – каждый элемент действует на соседние.

Сложная система – система, которая состоит из элементов разных типов и обладает разнородными связями между ними. В качестве примера можно привести ЭВМ, здание или судно.

Принципы системного подхода – это положения общего характера, являющиеся обобщением опыта работы человека со сложными системами. Их часто считают ядром методологии. Известно около двух десятков таких принципов, ряд из которых целесообразно рассмотреть:

• принцип конечной цели: абсолютный приоритет конечной цели;

• принцип единства: совместное рассмотрение системы как целого и как совокупности элементов;

• принцип связности: рассмотрение любой части совместно с ее связями с окружением;

• принцип модульного построения: полезно выделение модулей в системе и рассмотрение ее как совокупности модулей;

• принцип иерархии: полезно введение иерархии элементов и (или) их ранжирование;

• принцип функциональности: совместное рассмотрение структуры и функции с приоритетом функции над структурой;

• принцип развития: учет изменяемости системы, ее способности к развитию, расширению, замене частей, накапливанию информации;

• принцип децентрализации: сочетание в принимаемых решениях и управлении централизации и децентрализации;

• принцип неопределенности: учет неопределенностей и случайностей в системе.

Аппаратная реализация включает стандартные приемы моделирования принятия решения в сложной системе и общие способы работы с этими моделями. Модель строится в виде связных множеств отдельных процедур. Системный анализ исследует как организацию таких множеств, так и вид отдельных процедур, которые максимально приспосабливают для принятия согласующихся и управленческих решений в сложной системе.

Модель принятия решения чаще всего изображается в виде схемы с ячейками, связями между ячейками и логическими переходами. Ячейки содержат конкретные действия – процедуры. Совместное изучение процедур и их организации вытекает из того, что без учета содержания и особенностей ячеек создание схем оказывается невозможным. Эти схемы определяют стратегию принятия решения в сложной системе. Именно с проработки связанного множества основных процедур принято начинать решение конкретной прикладной задачи.

Практическое приложение системного анализа чрезвычайно обширно. Важнейшими разделами являются научно-технические разработки и различные задачи экономики. Ссылки на системность исследований, анализа, подхода включают строительство, биологию, экологию, военное дело, психологию, социологию, медицину, управление государством и регионом, лесное и сельское хозяйство, обучение и многое другое.

Операцией называется всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели.

Цель исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров называется решением. Оптимальными называются решения, по тем или другим признакам предпочтительные перед другими.

Параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения.

Множеством допустимых решений называются заданные условия, которые фиксированы и не могут быть нарушены.

Показатель эффективности – количественная мера, позволяющая сравнивать разные решения по эффективности.

Приведем основные этапы решения задач принятия решений при управлении производственной системой, характеризующихся многокритериальностью:

1. Выявление условия работы (функционирования) системы и описание производственной ситуации.

2. Определение взаимосвязи между элементами системы.

3. Сбор и обработка доступной (количественной и качественной) информации.

4. Выбор локальных критериев качества, т.е. показателей работы системы и подсистемы, которые надо свести к желаемым значениям.

5. Определение управляющих параметров, при изменении которых можно добиться экстремальных значений критериев.

6. Формулировка задачи управления (принятия решений, многокритериальной оптимизации) системой.

7. Разработка пакета моделей системы, описывающего связь управляющих параметров со значениями локальных критериев качества.

8. Корректировка постановки задачи управления.

9. Разработка алгоритмов управления (решение задач многокритериальной оптимизации, принятия решений) системой.

Такой подход к решению задач управления сложной системой эффективно реализуется при решении задач типа оперативного планирования и прогнозирования.

Лицом, принимающим решения (ЛПР), называют специалиста, имеющего цель, которая служит мотивом постановки задачи и поиска ее решения. Предполагается, что ЛПР является компетентным в области, связанной с задачей, обладает необходимым опытом деятельности, наделено необходимыми полномочиями и несет ответственность за принятое решение. Во многих процедурах принятия решений ЛПР дает информацию о принципе оптимальности. Именно под ЛПР решается задача, и он (для удобства будем считать, что ЛПР мужского рода) определяет, хорошо или плохо решена задача принятия решений.

ЛПР имеет цель, которая служит мотивом постановки задачи и ее решения, имеет полномочия и ответственность, систему предпочтений о достоинствах и недостатках альтернатив.

В определенных ситуациях в качестве ЛПР может выступать группа людей, образуя коллективное ЛПР.

Эксперт имеет информацию об отдельных элементах задачи, но не несет непосредственной ответственности за результат ее решения. Эксперт помогает ЛПР сформировать универсальное множество альтернатив , исходное множество альтернатив , оценить альтернативы по критериям , …, , предлагает варианты выбора решений.

Консультант (аналитик, специалист по системному анализу) разрабатывает модель задачи, проблемы, процедуры решения, организует работу ЛПР и экспертов.

В некоторых случаях задачу  Х, opt  решает непосредственно ЛПР, объединяя функции экспертов и консультантов.

Существенным элементом задач принятия решений является то, что качество процесса принятия решений находится в прямой зависимости от полноты учета всех факторов, существенных для последствий от принятых решений. Часто эти факторы носят чисто субъективный характер, присущий как ЛПР, так и любому процессу принятия решений. В этих условиях элементы субъективности заметно сказываются на решении.

Принятие решений заключается в выборе ЛПР последовательности действий (альтернатив) для перевода объекта из состояния в текущий момент времени в желаемое состояние. Реализация той или иной альтернативы обычно приводит к различным исходам, состояниям объекта. Для сравнения между собой качеств различных альтернатив нужно иметь возможность оценивать соответствующие исходы (результаты) выбора. Исход операции выбора оценивается с помощью некоторых критериев качества (критериев оптимальности), которые являются математическим выражением цели принятия решений, позволяющим оценить степень достижения этой цели.

Процедура принятия решений включает следующие общие операции:

• описание ситуации и оценку ресурсов;

• формирование множества критериев, ограничений, альтернатив;

• оценку критериев и альтернатив;

• формирование правил выбора;

• упорядочение альтернатив по многомерным признакам;

• выбор и принятие решений.

Методы выполнения перечисленных действий образуют основы теории принятия решений, они позволяют ЛПР успешно решать многие сложные задачи эффективного выбора, систематизируя и формализуя его действия при принятии решений.

Состав и содержание операций процедуры принятия решений при управлении производственными объектами зависят от состояния объекта и типа задачи принятия решений.

Методы проведения процедур принятия решений состоят из следующих групп:

1. Методы подготовки информации для принятия решения, выполняющие функции описания, оценки и формирования множеств.

2. Методы выбора, формирующие правила выбора и реализующие собственно выбор.

В группу методов подготовки информации входят различные методы сбора и обработки информации. В данных методах используется информация различного характера, которую получают из теоретических сведений, экспериментально-статистическими методами (количественная) и (или) на основе методов экспертных оценок и теории нечетких множеств. При формировании множеств (альтернатив, критериев, ограничений) можно использовать методы «мозгового штурма», морфологического анализа, экспертного перечисления, дискуссии и т.п.

Вторая группа методов связана с формированием правил выбора и принятием решения в зависимости от исходной ситуации и подготовленной информации. При управлении производственными объектами принятие решений, как правило, осуществляется критериально-экспертным выбором, позволяющим оценить альтернативы по нескольким критериям.

Все решения принимаются всегда на основе информации, которой располагает лицо, принимающее решение (ЛПР).

Каждая задача в своей постановке должна отражать структуру и динамику знаний ЛПР о множестве допустимых решений и о показателе эффективности.

Задача называется статической, если принятие решения происходит в наперед известном и не изменяющемся информационном состоянии. Если информационные состояния в ходе принятия решения сменяют друг друга, то задача называется динамической.

Несмотря на то, что методы принятия решений отличаются универсальностью, их успешное применение в значительной мере зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен иметь четкое представление о специфических особенностях изучаемой системы и уметь корректно поставить задачу.

Искусство постановки задач постигается на примерах успешно реализованных разработок и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфики различных методов оптимизации. В первом приближении можно сформулировать следующую последовательность действий, которые составляют содержание процесса постановки задачи:

• установление границы подлежащей оптимизации системы, т.е. представление системы в виде некоторой изолированной части реального мира. Расширение границ системы повышает размерность и сложность многокомпонентной системы и тем самым затрудняет ее анализ. Следовательно, в инженерной практике следует прибегнуть к декомпозиции сложных систем на подсистемы, которые можно изучать по отдельности без излишнего упрощения реальной ситуации;

• определение показателя эффективности, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта с тем, чтобы выявить "наилучший" проект или множество "наилучших" условий функционирования системы. В инженерных приложениях обычно выбираются показатели экономического (издержки, прибыль и т.д.) или технологического (производительность, энергоемкость, материалоемкость и т.д.) характера. "Наилучшему" варианту всегда соответствует экстремальное значение показателя эффективности функционирования системы;

• выбор внутрисистемных независимых переменных, которые должны адекватно описывать допустимые проекты или условия функционирования системы и способствовать тому, чтобы все важнейшие технико-экономические решения нашли отражение в формулировке задачи;

• построение модели, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на значение показателя эффективности. В самом общем случае структура модели включает основные уравнения материальных и энергетических балансов, соотношения, связанные с проектными решениями, уравнения, описывающие физические процессы, протекающие в системе, неравенства, которые определяют область допустимых значений независимых переменных и устанавливают лимиты имеющихся ресурсов. Элементы модели содержат всю информацию, которая обычно используется при расчете проекта или прогнозировании характеристик инженерной системы. Очевидно, процесс построения модели является весьма трудоемким и требует четкого понимания специфических особенностей рассматриваемой системы.

Несмотря на то, что модели принятия оптимальных решений отличаются универсальностью, их успешное применение зависит от профессиональной подготовки инженера, который должен иметь полное представление о специфике изучаемой системы.

Все оптимизационные задачи имеют общую структуру. Их можно классифицировать как задачи минимизации (максимизации) M-векторного показателя эффективности W_m(x), m = 1, 2,..., M, N-мерного векторного аргумента x = (x₁, x₂, ..., x_N), компоненты которого удовлетворяют системе ограничений-равенств h_k(x) = 0, k = 1, 2..., K, ограничений-неравенств g_j(x)>0, j = 1, 2, ..., J, областным ограничениям x_li < x_i < x_ui, i = 1, 2, ..., N.

Все задачи принятия оптимальных решений можно классифицировать в соответствии с видом функций и размерностью W_m(x), h_k(x), g_j(x) и размерностью и содержанием вектора x:

• одноцелевое принятие решений – W_m(x) – скаляр;

• многоцелевое принятие решений – W_m(x) – вектор;

• принятие решений в условиях определенности – исходные данные – детерминированные;

• принятие решений в условиях неопределенности – исходные данные – случайные.

Наиболее разработан и широко используется на практике аппарат одноцелевого принятия решений в условиях определенности, который получил название математического программирования.

Математический аппарат одноцелевого принятия решений в условиях неопределенности представляет собой стохастическое программирование (известны законы распределения случайных величин), теории игр и статистических решений (закон распределения случайных величин неизвестен).

К неструктуризованным относятся задачи принятия решений, основные характеристики которых носят качественный характер. Примерами таких задач являются многие задачи принятия решений экономического характера, планирования научных исследований, конкурсного отбора проектов. В данных задачах обычно отсутствуют надежные количественные модели и методы измерения.

Можно выделить общие черты неструктуризованных задач принятия решений.

1. Задачи являются проблемами уникального выбора, т.е. задача либо новая для ЛПР, либо обладает новыми особенностями по сравнению со встречавшимися ранее.

2. Задачи связаны с неопределенностью в оценках альтернатив, которая обусловлена нехваткой информации на момент ее решения.

3. Оценки альтернатив имеют качественный характер, например, сформулированы в словесном виде.

4. Общая оценка альтернатив может быть получена лишь на основе субъективных предпочтений ЛПР (индивидуального или коллективного). Интуиция ЛПР, его вера в те или иные варианты развития событий являются основой решающего правила, позволяющего перейти от оценок по отдельным критериям к общей оценке альтернатив.

5. Оценки альтернатив по отдельным критериям могут быть получены только от экспертов. Обычно отсутствует объективная шкала измерения оценок по отдельным критериям. Более того, в ряде случаев эксперты могут достаточно надежно дать лишь относительные оценки альтернатив по критериям, т. е. оценить альтернативы в шкале порядка.

Большинство промышленных, реальных объектов и процессов настолько сложны, что невозможно или нецелесообразно строить модели, которые полностью отражали бы природу и количественные взаимосвязи различных факторов. Реальные задачи принятия решений требуют в качестве неотъемлемого элемента решения участия людей, т.е. представляют собой человеко-машинную систему. Кроме того, сам процесс управления всегда предполагает ориентацию не только на количественную, но и на качественную информацию, на здравый смысл и опыт людей, участвующих в управлении.

Методологические основы экспертных методов заключаются в получении от специалистов-экспертов недостающей информации (в виде количественных и качественных оценок), обработке и использовании собранной информации для подготовки и принятия решений. Многозначность, многомерность и качественное различие показателей объекта управления являются серьезным препятствием для получения обобщенной оценки относительной эффективности, важности каждого из возможных решений. Применение расчетов здесь всегда переплетается с использованием суждений (знаний) руководителей, ученых, специалистов, т. е. экспертов. Эти суждения позволяют хотя бы частично компенсировать недостаток информации, полнее использовать индивидуальный и коллективный опыт. Опыт, понимание существа проблемы, чувство и интуиция помогают специалисту в ситуации неопределенности оценить значимость альтернативных исходов, выбрать наиболее рациональное решение. Применение математико-статистических методов значительно расширяет возможности использования информации, полученной от специалистов. Практика показала, что даже простые статистические методы в сочетании с экспертной информацией при выборе перспективных решений часто приводят к более успешным результатам, чем «точные» расчеты с ориентацией на средние показатели.

Основные трудности, возникающие при поиске и выборе решений, обусловлены, прежде всего, недостаточно высоким качеством и неполнотой имеющейся информации. Среди причин возникновения этих трудностей выделим следующие:

1. Исходная статистическая информация зачастую бывает недостаточно достоверной. Часто, даже при наличии достоверных данных, они не могут служить надежной базой для принятия решений, направленных в будущее, поскольку существующие условия и обстоятельства могут в дальнейшем измениться.

2. Часть информации может иметь качественный характер, который не поддается количественной оценке. Поскольку такие факторы и явления оказывают существенное влияние на результаты решений, их нельзя не учитывать.

3. На практике часто возникают ситуации, когда, в принципе, необходимую информацию получить можно, однако из-за больших затрат времени или средств сбор информации нецелесообразен (например, слишком дорого).

При решении многих практических задач простота математического аппарата может оказаться более важным обстоятельством, чем предполагаемая точность результатов. Поскольку структуру и процесс решения таких задач нельзя определить достоверно, точность результатов не может быть больше той, которая заключена в самой задаче, в исходной информации, а следовательно, применение более сложных и точных математических методов обработки информации не гарантирует получения более точного результата.

Для широкого круга плохо формализуемых задач науки и производства, проблем в политической, экономической, социальной и других сферах человеческой деятельности экспертные процедуры являются эффективным, а в ряде случаев и единственным средством их решения.

Характерными особенностями метода экспертных оценок как инструмента решения сложных неформализуемых проблем являются, во-первых, грамотная организация проведения всех этапов экспертизы, обеспечивающая наибольшую эффективность работы на каждом из этапов, и, во-вторых, применение количественных методов как при организации экспертизы, так и при обработке результатов. Эти две особенности отличают метод экспертных оценок от традиционной экспертизы.

Множество трудно формализуемых проблем можно разделить на два класса:

1. Проблемы, в отношении которых имеется достаточный информационный потенциал, позволяющий успешно решать эти проблемы.

Основные трудности при решении проблем этого класса с помощью экспертных оценок заключаются в реализации существующего информационного потенциала путем подбора экспертов, построения рациональных процедур опроса и применения эффективных методов обработки его результатов. При этом методы опроса экспертов основываются на использовании принципа «хорошего измерителя». Данный принцип опирается на следующие гипотезы:

• эксперт является хранилищем большого объема рационально обработанной информации (знания, опыт, интуиция), и поэтому он может рассматриваться как качественный источник информации;

• групповое мнение экспертов близко к истинному решению проблемы.

При выполнении этих гипотез для построения процедур опроса и алгоритмов обработки можно использовать результаты и методы теории измерений и математической статистики.

2. Проблемы, в отношении которых нет уверенности в выполнении указанных гипотез.

При решении проблем из этого класса экспертов уже нельзя рассматривать как «хорошие измерители». Поэтому необходимо очень осторожно проводить обработку результатов экспертизы. Применение методов осреднения, справедливых в первом случае, может привести к большим ошибкам. Например, мнение одного эксперта, сильно отличающееся от мнения группы, может оказаться правильным. В связи с этим для проблем этого класса в основном должна применяться качественная обработка информации.

Область применения метода экспертных оценок весьма широка. Основными типовыми задачами, решаемыми методом экспертных оценок, являются:

• определение целей и задач управления с упорядочением их по степени важности;

• решение задач классификации;

• определение альтернативных вариантов решения задачи с оценкой их предпочтения;

• построение математических моделей сложных объектов и процессов при дефиците информации;

• построение базы знаний и создание экспертных систем;

• решение задач принятия решений на основе количественной и качественной информации.

Эффективное решение многих задач, возникающих при исследовании и управлении сложными объектами и производственными процессами, возможно только на основе математических моделей и ЭВМ. Основная проблема при математическом описании таких объектов заключается в нехватке необходимой информации.

Как уже отмечалось, в таких случаях дополнительные данные, компенсирующие недостающую информацию, получают на основе экспертного опроса. Специалисты-эксперты могут количественно или качественно описать исследуемый объект. Затем с помощью специальных формальных методов осуществляется обработка собранной информации.

Особую роль играют экспертные оценки в управлении. Возрастающая сложность управления производственными объектами требует тщательного анализа их функционирования, путей и средств решения поставленных задач, а также условий, в которых происходит процесс управления.

Можно выделить следующие функции в процессе управления: прогнозирование, планирование, оценку обстановки, принятие решений, контроль и учет. Для эффективного управления сложными объектами и процессами необходимо разработать их математические модели и алгоритмы управления, а также требуются вычислительные средства для реализации процесса управления.

Среди перечисленных функций управления принятие решений играет особую роль. Оно является более общей, чем другие функции управления, т.к. их можно представить как последовательность принятия решений. Например, при прогнозировании и планировании принимаются решения по выбору методов, организации работ, оценке достоверности прогноза и наилучшего варианта плана. Следовательно, принятие решений можно рассматривать как типовую задачу, которую приходится решать при реализации различных функций управления. В связи с этим управление в целом рассматривается нами как процесс принятия решений.

В процессе принятия решений принимают участие ЛПР, эксперты (Э), консультанты (К). Считается, что ЛПР имеет цель, которая служит мотивом постановки задачи и ее решения, имеет полномочия и ответственность, систему предпочтений о достоинствах и недостатках альтернатив. Для помощи ЛПР в подготовке и формировании решения привлекаются эксперты и консультанты.

Эксперты имеют информацию об отдельных элементах задачи, помогают ЛПР сформировать множество альтернатив, оценить альтернативы по отдельным критериям, предлагают варианты выбора решений. Эксперты, являющиеся специалистами по решаемой проблеме, помогают ЛПР количественно оценить и качественно описать изучаемую проблему, определить время и ресурсы для принятия решений, построить множество возможных ситуаций, сформулировать множество целей и множество возможных решений, высказать свои предпочтения по ситуациям и целям и предложить возможные критерии оптимального выбора решений.

Консультант, аналитик, специалист по системному анализу разрабатывают модель задачи, проблемы, процедуры решения, организуют работу ЛПР и экспертов.

В общем случае предпочтения экспертов могут не совпадать с предпочтениями ЛПР. Это позволяет ему критически осмыслить свою точку зрения и более обоснованно выбрать наилучшее решение. Таким образом, экспертные оценки в задачах принятия решений используются для формирования наилучшего решения.

Рассмотрим роль экспертов в реализации различных функций управления с позиции принятия решений. Например, при прогнозировании развития предприятия эксперты описывают проблемную ситуацию и определяют множество целей прогноза. Далее они формируют множество альтернативных вариантов развития, которое в задаче прогнозирования совпадает с множеством решений. В результате экспертизы определяется предпочтительность различных вариантов развития, например в виде достоверностей их реализации. В качестве критерия выбора может быть принят критерий максимума достоверности прогноза. Увеличение достоверности прогноза достигается привлечением к работе нескольких специалистов, образующих экспертную группу. Обработка результатов групповой экспертизы позволяет получить более обоснованные и достоверные результаты прогнозирования.

В процессе планирования, рассматриваемого с позиций принятия решений, роль экспертов сводится к описанию проблемной ситуации, ее уточнению с помощью возможных альтернативных ситуаций, определению множества целей планирования и множества вариантов плана. Предпочтения экспертов на множестве планов, целей и ситуаций могут выражать различные стороны оценки качества планов: степень достижения целей планирования, сроки выполнения, затраты финансовых, материальных и трудовых ресурсов. Критерием выбора оптимального плана могут являться минимум затрат ресурсов при ограничениях на сроки и степень достижения целей или минимум времени на достижение целей при ограничениях на ресурсы. При определении целей эксперты могут давать оценку их относительной важности и устанавливать зависимость между ними.

При решении слабоструктуризованных проблем (которые не могут быть в полной мере описаны математически) человеческая интуиция имеет особую ценность. Догадки эксперта, основанные на его прошлом опыте, на неявных знаниях, позволяют ему решать проблемы на хорошем уровне. В связи с этим возникает естественное желание передать это умение ЭВМ, запечатлеть это умение в базе знаний, в специальных системах (экспертных системах, системах принятия решений). В системах, основанных на знаниях, делается попытка, используя эвристические правила экспертов, моделировать осуществляемый ими содержательный процесс решения задачи. Таким образом, в отличие от формально-алгоритмического подхода, основанного на количественных методах обработки информации, в данном случае решение задачи осуществляется непосредственно содержательными методами, при этом предполагается, что это должно повысить качество и обоснованность решения соответствующих задач.

При использовании метода экспертных оценок в различных задачах возникают свои проблемы. Основными из них являются: организация экспертной процедуры, отбор экспертов, проведение опроса, обработка результатов опроса, поиск и исключение противоречий и ошибок. В следующих разделах рассмотрим подходы к решению перечисленных проблем и особенности различных методов экспертных оценок.

Рациональное использование информации, получаемой от экспертов, возможно после преобразования ее в форму, удобную для дальнейшего анализа, направленного на подготовку и принятие решений. В зависимости от характеристик собранной информации, специфических особенностей исследуемого объекта, уровня принятия решения разработаны различные методы преобразования, т.е. обработки экспертной информации. Основной целью обработки является получение обобщенных данных и выявление новой информации, содержащейся в скрытой форме в экспертных оценках. На основе результатов обработки формируется решение проблемы.

Наличие как числовых данных, так и содержательных высказываний экспертов приводит к необходимости применения количественных и качественных методов обработки результатов экспертного оценивания.

Для обработки результатов группового экспертного оценивания проблемы, для решения которой имеется необходимый информационный потенциал (достаточный уровень знаний и опыта), можно применять методы математической статистики, основанные на осреднении данных.

На практике встречаются сложные, слабоструктуризованные проблемы, для решения которых еще не накоплен достаточный информационный потенциал. Суждения экспертов, приведенные для решения этих проблем, могут очень отличаться друг от друга. Поэтому обработка результатов опроса экспертов в этом случае должна базироваться на методах, не использующих принципов осреднения, на методах качественного анализа.

В зависимости от целей экспертного оценивания и выбранного метода опроса при обработке результатов опроса возникают следующие задачи:

• построение обобщенной оценки альтернатив на основе индивидуальных оценок экспертов;

• построение обобщенной оценки на основе парного сравнения альтернатив каждым экспертом;

• определение относительных весов альтернатив;

• определение согласованности мнений экспертов;

• определение зависимостей между ранжировками;

• оценка надежности результатов обработки.

Задача построения обобщенной оценки альтернатив по индивидуальным оценкам экспертов возникает при групповом экспертном оценивании. Решение этой задачи зависит от использованного экспертами метода измерения.

ЛПР является главным субъектом в процессах принятия решений. Методы принятия решений должны учитывать субъективный взгляд и его предпочтения. Кроме того, методы должны учитывать возможности и ограничения человека при восприятии и переработке информации.

Особо важную роль играют особенности человека при решении неструктуризованных задач, когда приходится иметь дело с качественными, недостаточно определенными зависимостями между основными переменными и факторами при дефиците информации. Данные особенности можно учесть, рассматривая качественную модель человека (ЛПР) как переработчика информации.

Выделим основные черты и особенности деятельности человека при переработке информации.

1. Человек имеет ограниченный объем кратковременной памяти; он не может уделять одновременно внимание многим аспектам, влияющим на принимаемое решение.

Особенно ярко это ограничение проявляется при принятии новых решений (в отличие от повторяющихся), когда человек не может путем постоянных тренировок расширить возможности своей памяти, выработать определенную внутреннюю структуру хранения информации. Следствием этого ограничения являются известные случаи, когда ЛПР сознательно упрощает ситуацию, превращает часть критериев в ограничения, уменьшает число возможных оценок, группирует альтернативы и т. д.

2. Человек не является точным измерительным устройством; он не может совершать точные количественные измерения. Поэтому, рассматривая экспертную деятельность ЛПР, индивидуальную или коллективную, нельзя для обработки экспертной информации без учета особенностей информации применять методы математической статистики.

3. В процессе анализа проблем, подлежащих решению, человек время от времени совершает ошибки, противоречит сам себе. Эти ошибки могут быть объяснены различными причинами: невнимательностью, ограниченным объемом кратковременной памяти, экономией усилий, но сам факт наличия таких ошибок бесспорен.

4. Человек обычно не имеет готового решающего правила. Он вырабатывает это решающее правило, обучаясь, используя метод проб и ошибок.

5. Из-за ограниченного объема кратковременной памяти человек в каждый момент времени уделяет внимание ограниченному подмножеству объектов. При рассмотрении большого количества альтернатив человек первоначально применяет простые стратегии, упрощая задачу, пытаясь уменьшить число альтернатив до приемлемого. В дальнейшем опытный ЛПР использует более сложные методы сравнения и анализа альтернатив.

6. Часто человек ищет удовлетворительное решение, устойчивое к изменению внешних условий, а не «лучшее» решение.

7. Человек минимизирует свои усилия при поиске решения. Он меняет свои стратегии по ходу решения задач, выбирая те из них, которые требуют меньше интеллектуальных усилий. Человек стремится использовать простые операции (например, сложение), простые сравнения малого числа переменных и т. д.

Знание особенностей поведения ЛПР в процессах принятия решений должно существенно влиять на выбор и построение методов анализа неструктуризованных задач. При разработке методов анализа неструктуризованных задач существенное внимание должно уделяться следующему:

• способам измерения качественных переменных;

• способам построения решающего правила;

• проверке на непротиворечивость информации, получаемой от ЛПР.

Большинство методов многокритериальной оценки альтернатив и систем поддержки принятия решений ориентировано на использование количественных оценок. С другой стороны, компьютеры могут работать как с числами, так и с символами, в том числе с символами, представляющими качественные переменные. Переход от качественных переменных к количественным путем произвольного присваивания чисел либо использования нечетких множеств не является единственно возможным. Такой переход иногда связан с внесением существенных искажений в формальное описание решаемой задачи.

Компьютер может непосредственно использовать качественные переменные, оперируя с их символами. Можно построить многокритериальные методы принятия решений, использующие непосредственно результаты качественных измерений. Аккуратное применение методов экспертных оценок позволяет получить информацию в виде, подходящем для ее применения в процедурах принятия решений. Перечисленные выше особенности человека при переработке информации необходимо учитывать при построении методов получения и обработки информации, получаемой от человека.

При качественном измерении оценок альтернатив по критериям эти измерения не очень точны, но они создают основу для использования порядковой шкалы с дискретными оценками. Измерение часто сводится к классификации, в которой свойства альтернативы относят либо к одной из оценок, либо к интервалу между оценками.

Порядковая шкала в этих случаях не может иметь много градаций, т.к. они станут плохо различимыми для экспертов. Обычно выделяют всем понятные, одинаково ощущаемые точки на этой шкале и подробно объясняют их значение. На таких шкалах используют детальные словесные формулировки оценок – градаций качества.

Итак, оценки на порядковой шкале определяются как потребностями ЛПР в оценках, так и различимостью оценок, возможностью построения вербального описания их смысла в понятном для экспертов и ЛПР виде.

Когда неопределенность велика, эксперты могут с достаточной уверенностью осуществлять лишь качественные сравнения альтернатив по отдельным критериям. От вербальных шкал с развернутыми словесными оценками эксперты переходят к словесным сравнениям типа: «лучше – хуже»; «примерно одинаково».

Решающие правила представляют собой правила перехода от измерений к ранжированию альтернатив, их классификации, выбору наилучшей из них. Любые операции с качественными переменными должны соответствовать возможностям переработки информации человеком. Наиболее приемлемыми для человека при качественных переменных являются следующие операции:

• сравнение двух оценок на вербальных шкалах двух критериев;

• отнесение многокритериальных альтернатив к классам решений;

• сравнительные словесные оценки качества альтернатив по отдельным критериям.

Рассмотренные ранее диалоговые методы деформируемых конфигураций можно отнести к методам качественного принятия решений. Действительно, при использовании конфигураций, состоящих из двух вершин, от ЛПР требуется установить лишь отношение порядка. В более общих вариантах методов от ЛПР требуется классифицировать вершины конфигурации, разделив их на «хорошие» и «плохие» или на «хорошие», «средние» и «плохие».

При анализе методов принятия решений следует оценивать методы на устойчивость к ошибкам в информации, получаемой от людей. При передаче информации, при ее обработке люди ошибаются. Ошибки могут быть вызваны отвлечением внимания человека, его усталостью, другими причинами. Следовательно, для повышения эффективности методов принятия решений информацию, получаемую от человека, надо подвергать проверке. В методах должны присутствовать специальные процедуры, позволяющие людям исправлять свои ошибки. Процедуры должны позволять человеку усомниться в своих решениях и вернуться на более ранние стадии процесса принятия решений для корректировки своей информации и решений.

Лабораторная работа № 1

Решение задач линейного программирования

Цель работы: решить задачи линейного программирования графическим методом и в Microsoft Excel с помощью надстройки Поиск решения.

1.1. Постановка задачи

Решить задачу линейного программирования

Линейное программирование (ЛП) – это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.

1.2. Теоретический материал для изучения

Линейное программирование является составной частью раздела математики, который изучает методы нахождения условного экстремума функции многих переменных и называется математическим программированием. В классическом математическом анализе рассматривается задача отыскания условного экстремума функции. Тем не менее время показало, что для многих задач, возникающих под влиянием запросов практики, классические методы недостаточны. В связи с развитием техники, ростом промышленного производства и с появлением ЭВМ все большую роль начали играть задачи отыскания оптимальных решений в различных сферах человеческой деятельности.

Основным инструментом при решении этих задач стало математическое моделирование – формальное описание изучаемого явления и исследование с помощью математического аппарата. Искусство математического моделирования состоит в том, чтобы учесть как можно больше факторов по возможности простыми средствами. Именно в силу этого процесс моделирования часто носит итеративный характер. На первой стадии строится относительно простая модель и проводится ее исследование, позволяющее понять, какие из существенных свойств изучаемого объекта не улавливаются данной формальной схемой. Затем происходит уточнение, усложнение модели.

В большинстве случаев первой степенью приближения к реальности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, предполагаются линейными. Значительное количество экономических, технических и других процессов достаточно хорошо и полно описывается линейными моделями.

Различают три основные формы задач линейного программирование в зависимости от наличия ограничений разного типа.

1. Стандартная задача ЛП – матрица коэффициентов. Постановка задачи осуществляется вектором коэффициентов линейной формы и вектором ограничений. Стандартная задача важна ввиду наличия большого числа прикладных моделей, сводящихся наиболее естественным образом к этому классу задач ЛП.

2. Каноническая задача ЛП – если ограничения системы состоят только из уравнений и целевую функцию необходимо минимизировать. Основные вычислительные схемы решения задач ЛП разработаны именно для канонической задачи.

3. Общая задача ЛП – в этой задаче часть ограничений носит характер неравенств, а часть является уравнениями. Кроме того, не на все переменные наложено условие неотрицательности. Ясно, что стандартная задача получается как частный случай общей.

Все три перечисленные задачи эквивалентны в том смысле, что каждую из них можно простыми преобразованиями привести к любой из двух остальных. При изучении задач ЛП сложилась определенная терминология. Линейная форма, подлежащая максимизации (или минимизации), называется целевой функцией. Вектор, удовлетворяющий всем ограничениям задачи ЛП, называется допустимым вектором, или планом. Задача ЛП, для которой существуют допустимые векторы, называется допустимой задачей.

Тривиальная задача принятия решения: однокритериальная, детерминированная, точная. Если хотя бы в одном элементе имеется другое значение – задача принятия решения нетривиальна.

Чтобы принять решение, необходимо установить, насколько хорошие значения по критериям достижимы одновременно. Сделать это совсем не просто. Число переменных, описывающих область D допустимых значений, равно сотням и тысячам. Получая каким-то из способов решение задачи, лицо, принимающее решение, видит соотношения между критериями. Для поведения лица, принимающего решение, типичны попытки достичь «всего сразу» (т. е. получить наилучшие значения по всем критериям одновременно). Результаты таких попыток позволяют понять, чего можно достичь и чего нельзя. Наряду с этим лицо, принимающее решение, вырабатывает компромисс между оценками по критериям, определяя желательное для него отношение между ними в точке решения.

Выработка такого компромисса достигается тоже путем проб, ошибок и затрат времени. На первых этапах решения лицо, принимающее решение, обычно стремится к идеальному результату, но потом, с опытом, его притязания становятся более реалистичными.

Графический метод решения задач линейного программирования основан на геометрической интерпретации задач и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = 3.

Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме записи:

при ограничениях

x_j ≥ 0, j = 1, 2, …, n.

Наиболее наглядна эта интерпретация для случая n = 2, т.е. для случая двух переменных x₁ и x₂. Пусть нам задана задача линейного программирования в стандартной форме

x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0.

Возьмем на плоскости декартову систему координат и каждой паре чисел поставим в соответствие точку на этой плоскости.

Обратим, прежде всего, внимание на ограничения x₁ ≥ 0 и x₂ ≥ 0. Они из всей плоскости вырезают лишь ее первую четверть (рис. 2.1). Рассмотрим теперь, какие области соответствуют неравенствам вида . Сначала рассмотрим область, соответствующую равенству . Это прямая линия. Строить ее проще всего по двум точкам.

Пусть b ≠ 0. Если взять x₁ = 0, то получится . Если взять x₂ = 0, то получится . Таким образом, на прямой лежат две точки (0, ) и ( , 0). Дальше через эти две точки можно по линейке провести прямую линию (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Построение области определения

Если же b = 0, то на прямой лежит точка (0,0). Чтобы найти другую точку, можно взять любое отличное от нуля значение x₁ и вычислить соответствующее ему значение x₂.

Эта построенная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. В одной её части , а в другой, наоборот, . Узнать, в какой полуплоскости какой знак имеет место, проще всего, посмотрев, какому неравенству удовлетворяет какая-то точка плоскости, например, начало координат, т.е. точка (0, 0).

Каждое неравенство системы уравнений геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой , i = 1, m. Условия неотрицательности определяют полуплоскости соответственно с граничными прямыми x₁ = 0; х₂ = 0. Система совместна (имеет хотя бы одно решение), поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых составляют решение данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Это может быть точка, отрезок, луч, замкнутый многоугольник, неограниченная многоугольная область.

Если в системе ограничений n = 3, то каждое неравенство геометрически представляет полупространство трехмерного пространства, граничная плоскость которого , а условия неотрицательности – полупространства с граничными плоскостями соответственно x_i = 0 (i = 1, 2, 3). Если система ограничений совместна, то эти полупространства, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют в трехмерном пространстве общую часть, которая называется многогранником решений.

Пусть в системе ограничений n > 3, тогда каждое неравенство определяет полупространство n-мерного пространства с граничной гиперплоскостью , i = 1, m, а условия неотрицательности – полупространства с граничными гиперплоскостями x_j = 0, j = 1, n.

Если система ограничений совместна, то по аналогии с трехмерным пространством она образует общую часть n-мерного пространства, называемую многогранником решений, так как координаты каждой его точки являются решением.

Таким образом, геометрически задача линейного программирования представляет собой отыскание такой точки многогранника решений, координаты которой доставляют линейной функции максимальное значение, причем допустимыми решениями служат все точки многогранника решений.