Методическое пособие 247

g : E1 = 0			0		I + 0 1			; E2 =		0 0	1	0 1		; E3	=	0 0		0		0 1		;
(2)		I				0	0			1	0	0					0		1	0
@			0			0	0 A	0		@ 0	0	0 A				@ 0		0		0 A
g((3)s;) : E1 =	0		0	s	0	1	; E2 =		0	i +		0	1	; E3	=	0	0		0	0	1	;
			1	0	0			@	i + 0 0								0		1	0
где s; 2 R	@ 0			0	0 A				0	0		0 A				@ 0			0	0 A

Предложение 3.23. С точностью до аффинной эквивалентности все интегральные многообразия для алгебр из предложения 3.22 являются поверхностями из 3-параметрического семейства (3.2).

Для доказательства предложения 3.23 рассмотрим в первую очередь группы линейных преобразований, порожденные алгебрами g1.

Несложно проверить, что при 2 (0; =2) [ ( =2; ) орбитами этих групп являются билефельдские вееры

w		w
z		= exp B arg( z ) ; (B = ctg ):

При = 0 и = =2 получаем конусы вида

w

= 1 или Im(zw) = 0

z

сответственно.

Каждая из остальных алгебр из предложения 3.22 подобна одной из 3- мерных подалгебр алгебры конуса (3.69). Следовательно, их интегральные поверхности являются аффинными образами конуса, входящего в семейство (3.2).

Доказательство предложения 3.23, а с ним и теоремы 3.2 завершено.

Завершая весь раздел, связанный с поверхностями веса 3, отметим, что одно из первых его утверждений, а именно, предложение 3.3, не допускает обращения.

В самом деле, размерность алгебры g(C) всех аффинных векторных полей на конусе C = fIm(zw) = 0g, относящемуся к 3-параметрическому семейству (3.2), равна не 3, а 5. При этом в 5-мерной алгебре g(C) имеются подалгебры размерности 3 и 4, для каждой из которых интегральным многообразием является аффинный образ поверхности C. Трехмерные подалгебры g(C) не являются (см. Предложение 3.22) аффинно диагонализируемыми.

Группы аффинных преобразований, соответствующие всем построенным подалгебрам конуса, легко выписываются. Например, для алгебры g(0(3);0)

121

из предложения 3.22 эта группа состоит из преобразований

(z; w) ! (z; w); 2 C; (z; w) ! (z + tw; w); t 2 R:

§ 3.4. Поверхности веса 4

Теперь нам остается расмотреть последний случай, в рамках которого обсуждаемая афффинно-однородная поверхность M веса 4 задается уравнением

X
v = u2 + Fk(z; z; u):	(3:83)

k 5

Предложение 3.24. Если вещественная гиперповерхность (3.83) аф- финно-однородна, то в действительности ее уравнение имеет еще более специальный вид

X
v = u2 + f003u3 + Fk(z; z; u);	(3:84)

k 7

а параметры любого линейного векторного поля Z, касательного к поверхности M, удовлетворяют ограничениям

B1 = 0; B22 = ImB2 = 2q; B21 = 3f003q:

(3:85)

Для доказательства этого предложения рассмотрим, как и в предыдущих разделах книги, младшие компоненты основного тождества для обсуждаемой поверхности M.

Из тождества веса 0, как всегда, вытекает условие вещественности параметра q, а компонента веса 1 превращается здесь в равенство B1 = 0:

Вместо общего уравнения веса 2

Re

p @z3

+ A1z

@z2

+

2q

@u4

+ 2B1z

@u3

+ 2B2(u + iF2)

= 0;

@F

@F

1

@F

1

@F

i

(3:86)

получаем здесь

Re 12q@F@u4 + 2i B2u = 0:

Это означает, что выполняется второе равенство из (3.85),т.е.

B22 = ImB2 = 2q:

122

В силу равенства нулю младших коэффициентов канонического уравнения (3.83) компонента веса 3 также упрощается. Ее (3,0,0)-, (2,1,0)- и (1,0,1)-

составляющие имеют вид:

2q(f301z3

+ f031z3) = 0;

(3; 0; 0) : Re

(3:87)

1

(2; 1; 0) : Re

2q(f211z2z + f121zz2) = 0;

(3:88)

1

(1; 0; 1) : Re

2q(2f102zu + 2f012zu) = 0:

(3:89)

1

Из этих соотношений получаем

f301 = 0;

f211 = 0

f102 = 0;

^

т. что F5 = 0; а уравнение M имеет вид:

v = u2 + F (0)(z; z) +

Fk(z; z; u):

(3:90)

5

X

k 6

Рассмотрим еще компоненту веса 4. В общем случае она имеет вид

Re p @z5

+ 2q

@u6 +

2B2(u @u4 F4) = 0:

(3:91)

@F

1

@F

1

@F

Отсюда получаем в нашей ситуации

(0)

= 0;

^

3

;

F5

F6 = f003u

т. что уравнение поверхности упрощается до требуемого вида (3.84).

Самую интересную часть компоненты веса 4 составляет (0,0,2)-уравнение

Re

2q

@u6

+ 2B2(u

@u4 F4)

= 0:

(3:92)

1

@F

1

@F

С учетом полученных выражений для F4 и F6 имеем в обсуждаемом

случае

3

1

(0; 0; 2)

:

f003q +

B21

= 0:

2

2

Отсюда получаем:

B21 = 3f003q:

(3:93)

Предложение 3.24 доказано.

123

Следствие. Для алгебры G(M), соответствующей аффинно-однородной вырожденной гиперповерхности веса 4 справедлива следующая оценка размерности

dimR g(M) 7:

В самом деле, в дополнение к основной тройке (p; q) свободными в алгебре g(M) в силу предложения 1 могут быть лишь два комплексных параметра A1 и A2.

Теперь мы можем доказать основной результат этого параграфа.

ТЕОРЕМА 3.3. Любая аффинно-однородная вырожденная гиперповерхность M веса 4 в пространстве C2(z;w) аффинно-эквивалентна декартову произведению логарифмической спирали, лежащей в плоскости Cw, на плоскость Cz. Размерность группы аффинных преобразований, транзитивно действующей на любой такой поверхности, равна 7.

Для доказательства заметим, во-первых, что все слагаемые канонического уравнения (3.84) однородной поверхности веса 4 свободны от переменных z; z и однозначно определяются вещественным коэффициентом= f003. Это легко устанавливается из индуктивного рассмотрения компонент веса k основного тождества.

Следовательно, существует не более чем 1-параметрическое семейство аффинно-однородных поверхностей обсуждаемого вида. Все такие поверхности имеют 7-мерные группы аффинных преобразований, свободно действующие в направлении переменной z. Это означает, что все они являются произведениями некоторых кривых в плоскости Cw на плоскость Cz.

В силу свойства аффинной однородности любой такой поверхности, "опорная" кривая для нее является аффинно-однородной кривой относительно комплексных аффинных преобразований плоскости одной комплексной переменной w.

Теперь для завершения доказательства достаточно учесть существование логарифмических спиралей

= eB'; B 2 R;

(3:94)

являющихся аффинно-однородными (как в вещественном, так и в комплексном смысле) кривыми в плоскости Cw. Это означает, что декартово (прямое) произведение любой такой спирали на второй экземпляр комплексной плоскости Cz является аффинно-однородной вещественной 3-мерной гиперповерхностью в 2-мерном комплексном пространстве C2 = Cz Cw: Эта поверхность вырождена по Леви в силу своей расслоенной структуры, и ее уравнение (в любой точке) после аффинного преобразования переменной w

124

несложно записать в виде

XX

v =	Dkuk = u2 + Dkuk;	(3:95)
k 2	k 3

являющемся частным случаем уравнения (3.90). Коэффициенты Dk из этого уравнения определяются параметром B из уравнения (3.94).

Никаких других однородных поверхностей веса 4 не существует поскольку помимо логарифмических спиралей не существует других плоских кривых, являющихся однородными относительно комплексных аффинных преобразований. Этот факт является простым свойством полного списка плоских аффинно-однородных кривых (см. Теорему 1.1 в §1.1).

Напомним, что (помимо спиралей) в этот список входят графики степенных функций v = u ; 2 [ 1; 1) и еще две кривые v = ln u и v = u ln u. Аффинные преобразования, реализующие однородность любой из этих кривых, являются веществеными (но не комплексными !) аффинными преобразованиями.

Теорема 3.3 доказана.

Пример 9. 7-мерная группа аффинных преобразований поверхности (3.95) состоит из преобразований

z = A1z + A2w + p; w = w (w; t);

(3:96)

где t 2 R; A1; A2; p 2 C. При этом вторая формула в (3.96) означает сдвиг вдоль спирали, реализуемый умножением на текущую точку этой спирали. В стандартных декартовых координатах такое преобразование записывает-

ся в виде

w = e(B+i)tw:

Использование канонической координатной системы несколько усложняет соответствующую формулу. Ее точный вид можно определить из рассмотрения 7-мерной алгебры Ли, отвечающей поверхности (3.95) и имеющей базис

E1 =			0	0	0	0	1		E2	=	0	0	0	0	1		; E3 =			0	0 (			3B + 2i)			1	1; (3:97)
				0	0	1						0	0	i							0				0		0
			@ 0		0	0 A					@ 0 0			0 A						@ 0					0		0 A		0 0 1
E4	=	0 0			0	0 1		; E5		=	0 0 0			0 1		; E6		=	0 0			0	0 1			; E7 =	0 0			:
			1		0	0						i 0		0							0	1	0					0	i 0
		@ 0			0	0 A					@ 0 0			0 A					@ 0			0	0 A				@ 0		0 0 A

Замечание. При B = 0 спираль с уравнением (3.94) превращается в окружность fjwj = 1g 2 Cw.

125

Заключение

Построенная в настоящей книге классификация заполняет пробел, образовавшийся после описания Э. Картаном 80 лет назад голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей двумерных комплексных пространств.

Эта классификация является естественным промежуточным шагом при переходе от картановского случая к изучению голоморфной однородности вложенных многообразий в комплексных пространствах более высоких размерностей. В задаче описания однородных гиперповерхностей, как частного случая таких многообразий, пока имеются лишь самые общие утверждения.

Семейства аффинно-однородных многообразий образуют при этом значительную часть известных к настоящему времени примеров однородности.

В монографии иллюстрируется эффективность коэффициентного подхода в сочетании с техникой матричных алгебр Ли в задаче об аффинной однородности вложенных многообразий. Такой комбинированный подход, как ожидается, позволит получить в будущем новые класификационные результаты как в аффинном, так и в голоморфном случаях в пространствах высоких размерностей.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Абросимов, А.В. О локально биголоморфной эквивалентности гладких гиперповерхностей в C2/А.В. Абросимов //ДАН СССР. - 1988.- Т. 299.- N 4.- С. 777 - 781.

2.Azad, H. Homogeneous CR manifolds /H. Azad, A. Huckleberry, W. Richthofer // J. Reine und Angew. Math. - 1985. - Bd. 358. - P. 125 - 154.

3.Артин, Э. Геометричеcкая алгебра/Э. Артин.- М.: Наука, 1969.- 284 с.

4.Baouendi, M. S. Real Submanifolds in Complex Space and Their Mappings/ M.S. Baouendi, P. Ebenfelt, L.P. Rothschild.- 1998.- 409 pp.

5.Белицкий, Г.Р. Нормальные формы, инварианты и локальные отображения /Г.Р. Белицкий.- Киев: Наукова думка, 1979.- 176 с.

6.Белошапка, В. К. О размерности групп автоморфизмов аналитической гиперповерхности/В.К. Белошапка // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1979.- Т. 43.- N 2.- C. 243 - 266.

7.Белошапка, В.К. Однородные гиперповерхности в C2/В.К. Белошапка // Мат. заметки.- 1996.- Т. 60.- N 5.- С. 760 - 764.

8.Beloshapka, V.K. Homogeneous hypersurfaces in C3, associated with a model CRcubic / V. K. Beloshapka, I.G. Kossovskiy // J. Geom. Anal. - 2010 - V. 20.- No. 3.- P. 538 - 564.

126

9.Beloshapka, V.K. Classification of homogeneous CRmanifolds in dimension 4 / V. K. Beloshapka, I.G. Kossovskiy // J. Math. Anal. Appl. - 2011.- V. 374.- No. 2.- P. 655-672.

10.Белых, Ф.А. Вещественные подалгебры малых размерностей матричной алгебры Ли M(2; C) / Ф.А. Белых, А.Ю. Борзаков, А.В. Лобода // Известия вузов. Математика. - 2007. - N 5. – С. 13 - 24.

11.Берс, Л. Уравнения с частными производными /Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер. - М.: Мир, 1966.

12.Бишоп, Р. Геометрия многообразий /Р. Бишоп, Р. Криттенден. М.: Мир, 1963.

– 364 c.

13.Blaschke, W. A ne Di erentialgeometrie / W. Blaschke // Berlin. – 1923.

14.Болдырева, О.А. О коэффициентном подходе к аффинной однородности / О.А. Болдырева, А.В. Лобода // Вестник ВГУ. Серия "Физика. Математика". – 2006. N 1. – С. 105 - 109.

15.Webster, S.M. On the Moser normal form at a nonumbilic point / S.M. Webster // Math. Ann.- 1978.- Bd. 233.- N 2.- P. 97 - 102.

16.Webster, S.M. On the transformation groups of a real hypersurfaces / S.M. Webster // Trans. Amer. Math. Soc.- 1977.- V. 231.- N 1. - P. 179 - 190.

17.Винберг, Э.Б. "Семинар по группам Ли и алгебраическим группам"/ Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик.- М.: "УРСС 1995.- 344 с.

18.Winkelmann, J. The classification of 3-dimensional homogeneous complex manifolds / J. Winkelmann // Lecture Notes in Math. Springer, N 1602 (1995). - 230 pp.

19.Витушкин, А.Г. Голоморфные отображения и геометрия поверхностей / А.Г. Витушкин // Современные проблемы математики. Т.7. М.:ВИНИТИ.- 1985. С. 167-226.

20.Витушкин, А.Г. Вещественно-аналитические гиперповерхности комплексных многообразий / А.Г. Витушкин // УМН.-1985.- Т.40.- N2 (242).- C. 3-31.

21.Витушкин, А.Г. Голоморфное продолжение отображений компактных гиперповерхностей/А.Г. Витушкин // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1982.- Т. 46.- N 1.- C. 28-35.

22.Владимиров, В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных/ В.С. Владимиров. - М.: Наука, 1964.- 412 с.

23.Wang, C.P. The classification of equia ne indefinite flat homogeneous surfaces in R4 /C.P. Wang // Geom. Dedicata. - V. 65 (1997). – P. 323 - 353.

24.Ганнинг, Р. Аналитические функции многих комплексных переменных/ Р. Ганнинг, Х. Росси.- М.: Мир, 1969.- 396 с.

25.Горбацевич, В.В. О классификации однородных пространств / В.В. Горбацевич // ДАН СССР.- 1974.- Т. 216.- N 5.- С. 968 - 971.

26.Горбацевич, В.В. О трехмерных однородных пространствах/В.В. Горбацевич // Сиб. матем. журн.- 1977.- Т. 18.- N 2.- С. 280 - 293.

27.Гузеев, Р.Н. О нормальных уравнениях аффинно-однородных выпуклых поверхностей пространства R3 / Р.Н. Гузеев Р.Н, А.В. Лобода // Известия вузов. Математика.- 2001.- N 3.- С. 25 - 32.

28.Гиллиган, Б. Слоения и глобализации компактных однородных CR-многообра- зий / Б. Гиллиган, А. Хаклберри // Изв. РАН. Сер. матем.-2009.- Т. 73.- N3- C. 67-126.

29.Guggenheimer, H. Di erential geometry / H. Guggenheimer // McGraw-Hill. New

127

York. – 1963.

30.Dadok, J. Automorphisms of tube domains and spherical hypersurfaces/J. Dadok, P. Yang // Amer. Journal of Math.- 1985.- V.107.- N 4.- P. 999-1013.

31.Данилов, М.С. Примеры аффинно-однородных индефинитных вещественных гиперповерхностей пространства C3/М.С. Данилов// Вестник ВГУ, Сер. "Физика. Математика". 2010.- N 1.- C. 97-106

32.Данилов, М.С. Об аффинной однородности индефинитных вещественных гиперповерхностей пространства C3/ М.С. Данилов, А.В. Лобода // Матем. заметки.- 2010.- Т. 88.- N 6. С. 866-883.

33.Демин, А.М. Пример 2-параметрического семейства аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей в C3 / А.М. Демин, А.В. Лобода // Мат. заметки.- 2008.-Т. 84.- N 5 С. 791 - 794.

34.Dillen, F.J. (ed.) Handbook of Di erential Geometry. Vol. 1. / F. Dillen, L.C.A. Verstraelen // 2000, 1054 pp.

35.Doubrov, B. M. Homogeneous surfaces in the 3-dimensional a ne geometry / B.M. Doubrov, B.P. Komrakov, M. Rabinovich // Geometry and Topology of Submanifolds. – VIII, World Scientific. – 1996. – P. 168 - 178.

36.Дубровин, Б.А. Современная геометрия / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко.- М.: Наука, 1979. - 760 с.

37.Евченко, В. К. 4-мерные матричные алгебры и аффинная однородность вещественных гиперповерхностей пространства C3 / В.К. Евченко, А.В. Лобода // Вестник ВГУ. Сер. "Физика. Математика". 2009, вып.1. С. 108 - 118.

38.Желобенко, Д. П. Представления групп Ли/ Д. П. Желобенко, А. И. Штерн // М.: Наука, 1983 – 360 с.

39.Zaitsev D. Germs of local automorphisms of real-analytic CR structures and dependence on k-jets / D. Zaitsev // Math. Res. Let. V. 4 (1997), N 6, P. 823 - 842.

40.Zaitsev D. On di erent notions of homogeneity for CR-manifolds / D. Zaitsev // The Asian Journal of Math. – V.11(2007). – N 2. – P. 331 - 340.

41.Исаев, А.В. Классификация сферических трубчатых гиперповерхностей, имеющих в сигнатуре формы Леви один минус / А.В. Исаев, М.А. Мищенко М.А. // Изв. АН

СССР, Сер. матем. – 1988. – Т. 52. – N 6. – С. 1123 - 1153.

42.Isaev, A.V. Rigid spherical hypersurfaces/A.V. Isaev // Complex Variables.- 1996.- V. 31.- P. 141 - 163.

43.Isaev, A.V. On the number of a ne equivalence classes of spherical tube hypersurfaces/A.V. Isaev // Math. Ann.- 2011.- V. 349.- P. 59-74.

44.Eastwood, M. Towards a classification of homogeneous tube domains in C4 / M. Eastwood, V.V. Ezhov, A.V. Isaev J. // Dif. Geom.-2004.- N 68.- P. 553-569.

45.Eastwood, M. Examples of unbounded homogeneous domains in complex space/ M. Eastwood, A.V. Isaev // Science in China, Ser. A, Mathematics.- 2005.- V. 48.- P. 248-261.

46.Eastwood, M. On a ne normal forms and a classification of homogeneous surfaces in a ne three-space/ M. Eastwood, V.V.Ezhov // Geom Dedicata. – 1999. – V. 77. – P. 11 - 69.

47.Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геомет-

128

рия, изложенные методом подвижного репера / М.: Изд-во МГУ, 1963.- 368 с.

48.Cartan, E. Sur la geometrie pseudoconforme des hypersurfaces de deux variables complexes / E. Cartan // Ann. Math. Pura Appl. – (4) 11 (1932). – P. 17 - 90 (Oeuvres II, 2, 1231 - 1304).

49.Kaup, W. Reele Transformationensgruppen und invariante Metriken auf Komplexen Raumen/W. Kaup // Inv. Math.-1967. - V.3.P. 43 - 70.

50.Kaup, W. On the CR-structure of compact group orbits associated with bounded symmetric domains /W. Kaup, D. Zaitsev// Invent. Math.- 2003.- V.153.- P. 45-104.

51.Кириллов, А.А. Элементы теории представлений /А.А. Кириллов.- М.: Наука, 1978.- 344 с.

52.Кобаяси, Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси. - М.: Наука, 1986.- 224 c.

53.Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу

//М.: Наука. – 1981. т. 1 - 344 с.

54.Кружилин, Н. Г. Голоморфная эквивалентность трубчатых областей в C2/ Н.Г. Кружилин, П.А. Солдаткин // Труды МИАН.- 2006.- Т. 253.- С. 101-110.

55.Lewy, H. On the boundary behavior of holomorphic mappings/ H. Lewy // Acad. Naz. Lincei. V. 35 (1977). P. 1 - 8.

56.Liu, H.L. Centroa nely homogeneous surfaces in R3 / H.L. Liu, C.P. Wang // Beitr. Algebra Geom. – V. 35(1)(1994).– P. 109 - 117.

57.Лобода, А. В. О некоторых инвариантах трубчатых гиперповерхностей в C2/ А. В. Лобода // Матем. заметки. – 1996. – Т. 59. – N 2 – С. 211 - 223.

58.Лобода, А. В. Об определении аффинно-однородной седловидной поверхности пространства R3 по коэффициентам ее нормального уравнения / А. В. Лобода // Матем. заметки.- 1999.- Т. 65.- N5.- C. 793 - 796.

59.Лобода, А.В. О размерности группы, транзитивно действующей на гиперповерхности в C3/ А. В. Лобода // Функц. анализ.- 1999.- Т. 33.- c. 68-71.

60.Лобода, А.В. Локальное описание однородных вещественных гиперповерхностей двумерного комплексного пространства в терминах их нормальных уравнений/ А. В. Лобода // Функц. анализ.- 2000, Т. 34. В. 2. - C. 33-42.

61.Лобода, А. В. Однородные вещественные гиперповерхности в C3 с двумерными группами изотропии/ А. В. Лобода // Труды МИАН. – 2001. -Т. 235. – С. 114 - 142.

62.Лобода, А.В. Однородные строго псевдо-выпуклые гиперповерхности в C3 с двумерными группами изотропии/ А.В.Лобода // Матем. сборник.- 2001.- Т. 192.- С. 3 - 24.

63.Лобода, А.В. Об определении однородной строго псевдо-выпуклой гиперповерхности по коэффициентам ее нормального уравнения /А.В. Лобода // Матем. заметки. – 2003. – Т. 73. – N 3. – С. 419 - 423.

64.Loboda, A.V. On homogeneity of embedded manifolds // Preprint. http:// www.mathematik.uni-bielefeld.de/sfb701/files/preprints/ sfb10091.pdf

65.Лобода, А. В. Аффинно-однородные вещественные гиперповерхности в C2 / Функц. анализ, 2012. Принято к печати.

66.Лобода, А. В. Классификация аффинно-однородных невырожденных по Леви

129

вещественных гиперповерхностей пространства C2/ А.В. Лобода // Совр. проблемы математики и механики. вып. 3. К 100-летию со дня рождения Н.В.Ефимова. М.: Изд-во МГУ.- 2011.- Т. VI, Математика.- С. 56 - 68.

67.Лобода, А. В. Об одном семействе аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей 3-мерного комплексного пространства / А. В. Лобода, А. С. Ходарев // Известия вузов. Математика. – 2003. – N 10. – C. 38 - 50.

68.Montgomery, D. Topological transformation groups / D. Montgomery, L. Zippin.- New York. - 1955.- 282 pp.

69.Mostow, G.D. The extensibility of local Lie groups of transformations and groups on surfaces/G.D. Mostow // Annals of Math. V. 52, N 3, 1950.- P. 606 - 636.

70.Нгуен Т.Т.З. Об обобщениях логарифмических спиралей в пространстве C2 / Нгуен Т.Т.З // "Вестник ВГУ Сер. "Физика. Математика". - 2010.- N 1.- С. 139-143.

71.Nomizu, K. A new model of unimodular-a nely homogeneous surfaces / K. Nomizu, T. Sasaki // Manuscr. Math. – V. 73(1991).– N 1. – P. 39 - 44.

72.Nomizu, K. A ne Di erential Geometry / K. Nomizu, T. Sasaki // Cambridge Univ. Press, 1994. – 263 pp.

73.Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М.: Наука, 1976.- 432 с.

74.Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. - М.: Мир, 1989.- 639 с.

75.Oliker, V. A ne geometry and polar hypersurfaces / V. Oliker, U. Simon // Analysis and Geometry. – 1992. – P. 87 - 112.

76.Opozda, B., On locally homogeneous-structures / B. Opozda // Geom. Dedicata. - 1998.- V.73.- P. 215-223.

77.Пинчук, С.И. Об аналитическом продолжении голоморфных отображений / С.И. Пинчук // Матем. сб., 98(140):3(11), 1975.- С. 416-435.

78.Пинчук, С.И. О голоморфных отображениях вещественно аналитических гиперповерхностей/С.И. Пинчук // Матем. сб., 105(147):4, 1978.- С. 574-593.

79.Пинчук, С.И. Голоморфные отображения в Cn и проблема голоморфной эквивалентности /С.И. Пинчук // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, Т. 9.1986, С. 195-223.

80.Понтрягин, Л.С. Непрерывные группы / Л.С. Понтрягин.- М.: Наука. 4-е изд., 1984.- 520 с.

81.Постников, М.М. Группы и алгебры Ли (Лекции по геометрии. 5-й семестр)/ М.М. Постников.- М.: Наука, 1982.- 448 с.

82.Repovs, D. C1- homogeneous compacta in Rn are C1-submanifolds of Rn / D. Repovs, A.B. Skopenkov, E.V. Schepin // Proc. Amer. Math. Soc. – V. 124 (1996). – P. 1219 - 1226.

83.Rossi, H. Homogeneous strongly pseudoconvex hypersurfaces/H. Rossi // Rice Univ. Studies.- 1973. -V. 59.- N 3. - P. 131 - 145.

84.Серр, Ж.-П. Алгебры и группы Ли/ Ж.-П. Серр.- Ч. 1-3, "Платон 1997.- 372 с.

85.Stanton, N.K. Infinitesimal CR automorphisms of rigid hypersurfaces / N.K. Stanton // Amer. J. Math. V. 117 (1995), N 1.- P. 141 - 167.

86.Takagi, R. On homogeneous real hypersurfaces in a complex projective space / R.

130