Методическое пособие 247

ГЛАВА 2. ЛЕВИ-НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

2.1. Формулировки основных теорем

Пусть M - аффинно-однородная невырожденная по Леви гиперповерхность пространства C2. Будем считать, что она задана каноническим уравнением вида (1.29),т.е.

v = jzj2 + "(z2 + z2) + i (z z)u+

	k+lX
+(f300z3 + f210z2z + f120zz2	+ f030z3) +		Fk(z; z; u);
	+2m 4

с ограничениями

"0; 2 f0; 1g

иуточнениями, сформулированными в §1.2 главы 1.

Задачу описания всех однородных поверхностей мы сводим к изучению основного тождества (1.43) для аффинных векторных полей. Напомним при этом, что все Леви-невырожденные гиперповерхности были разделены на три типа в соответствии со свойствами квадратичной части их канонических уравнений:

при " = 0 мы говорим о нулевой квадратичной части в уравнении поверхности;

поверхности с " = 1=2 называются поверхностями трубчатого типа;

наконец, в случае 0 < " 6= 1=2 мы говорим о поверхностях общего положения.

Описание однородных Леви-невырожденных поверхностей (Теорема 1.3 из §1.1) складывается из трех следующих теорем, соответствующих названным случаям.

ТЕОРЕМА 2.1. Существует три (с точностью до аффинной эквивалентности) аффинно-однородных аффинно-различных гиперповерхности с нулевой квадратичной частью в каноническом уравнении:

W1) "классическая сфера" jzj2 + jwj2 = 1;

W2) гиперболоид jzj2 jwj2 = 1;

W3) "сфера Мозера" v = jzj2.

ТЕОРЕМА 2.2. Всякая аффинно-однородная вещественная гиперповерхность трубчатого типа в C2 аффинно эквивалентна либо трубке над

51

аффинно-однородным вещественным основанием, либо одной из поверхностей двух следующих семейств

T 1) v = jzjeB arg z; B 2 R; z 6= 0;

T 2) Im(wz) = jzjeB arg z; B 2 R; z 6= 0:

ТЕОРЕМА 2.3. Всякая аффинно-однородная вещественная гиперповерхность общего положения в C2 является аффинным образом одной из поверхностей следующих трех семейств:

G1) v = jzj2 + "(z2 + z2); 0 < " 6= 12;

G2) v = jzjAeB arg z; A 2 R n f1g; B 2 R; z 6= 0:

G3) Im(zw) = jzjAeB arg z; A 2 R n f1g; B 2 R; z 6= 0:

Еще одно утверждение, которое мы сейчас сформулируем, будет доказано "попутно в процессе получения трех главных результатов этой главы. Однако оно, по мнению автора, естественно дополняет сводку классификационных теорем 2.1 - 2.3 и представляет общематематический интерес, а потому заслуживает отдельного упоминания.

ТЕОРЕМА 2.4. Размерность группы G аффинных преобразований, транзитивно действующей на невырожденной вещественно-аналитиче- ской гиперповерхности пространства C2, удовлетворяет двухсторонней оценке

3 dimR G 5:

(2:1)

Замечание. В этой теореме речь идет о размерности максимальной группы, транзитивно действующей на однородной поверхности. Как мы увидим ниже, имеются ситуации, в которых транзитивность действия сохраняется и у собственных подгрупп максимальных групп.

§2.2. Однородные поверхности с нулевой квадратичной

частью

Основной задачей этого параграфа является доказательство теоремы 2.1, сформулированной выше и содержащей описание аффинно-однородных

52

гиперповерхностей, канонические уравнения которых

X

v = jzj2 + (f300z3 + f210z2z + f120zz2 + f030z3) + Fk(z; z; u) (2:2)

k 4

свободны от квадратичной части.

Мы начнем обсуждение таких поверхностей с того, что перепишем основную систему девяти уравнений из предложения 1.7 с учетом упрощений

		" = 0;				= 0;
возникающих в обсуждаемой ситуации.
Имеем здесь систему :
Вес 0:	(0,0,0):	Re(q	i	) = 0,
		2
Вес 1:	(1,0,0):	iB1 + 2p = 0,
Вес 2:	(2,0,0):	3f300p + f210p + f201q = 0,
	(1,1,0):	(2A11 B21) + (2f210p + 2f120p + f111q) = 0,
	(0,0,1):	B22 + 2f002q = 0,
Вес 3:	(3,0,0):	21f201B1 + f300(3A1 B21) + (4f400p + f310p + f301q) = 0,
	(2,1,0): iA2 + f210(2A1					+ A1 B21)+
		1
		+2(f111B1			+ f201B1) + (3f310p + 2f220p + f211q) = 0;
	(1,0,1):				+ (2f201p + f111p + 2f102q) = 0,
		A2 + f002B1
Вес 4:	(0,0,2):	f002B21 + (f102p + f012p + 3f003q) = 0:

Первое содержательное утверждение об однородных поверхностях такого класса связано с оценкой размерности соответствующих этим поверхностям групп и алгебр Ли.

Предложение 2.1. В семействе аффинно-однородных гиперповерхностей, задаваемых каноническими уравнениями без квадратичной части, оценка (2.1), т.е.

dimR g(M) 5

является точной. В этом семействе имеется единственный представитель с 5-мерной алгеброй g(M), а именно поверхность

v = jzj2:

(2:3)

Для доказательства предложения 2.1 обратим внимание, прежде всего, на (2,0,0)-уравнение основной системы, имеющее в нашем случае вид

3f300p + f210p + f201q = 0:

(2:4)

53

Для однородной поверхности параметры p; q алгебры g(M) являются свободными. Тогда из (2.4) следует равенство нулю всех трех коэффициентов, входящих в это уравнение:

f300 = 0; f210 = 0; f201 = 0:

(2:5)

Точно так же из (3,0,0)-уравнения (с учетом первого и третьего равенств (2.5)) теперь получаются условия

f400 = 0; f310 = 0; f301 = 0:

(2:6)

Далее нам потребуются еще 4 уравнения из основной системы. С учетом уже полученных упрощений они имеют вид:

(1,0,0): B1 = 2ip,

(1,1,0): A11 = (B21 + f111q)=2,

(0,0,1): B22 = 2f002q,

(1,0,1): A2 = 2if002p (f111p + 2f102q).

Простой вывод, получаемый из этих уравнений, состоит в том, что через параметры p и q векторного поля легко выражаются все элементы мат-

рицы e =	A1	A2	, кроме вещественных коэффициентов A12 = Im A1
	B1	B2

и B21 = Re B2. Это означает, что произвольное линейное векторное поле, касательное к однородной поверхности M, определяется не более чем пятью вещественными параметрами

p; q; A12; B21:

Теперь обсудим необходимые условия на рассматриваемые 5-мерные алгебры g(M) и коэффициенты канонических уравнений соответствующих гиперповерхностей.

Например, исключая из (2,1,0)- и (1,0,1)-уравнений основной системы

параметр A2, легко получить следующие ограничения на коэффициенты канонического уравнения однородной поверхности

2( f002 + if111 + f220) = 0;	f211 + 2if102 = 0:
В частности, отсюда следует, что
f111 = 0;	(2:7)

а базис любой из обсуждаемых 5-мерных алгебр можно записать в виде:

E1	=	0	2i	0	0	1	; E2	=	0	2	0	0	1	; E3	=	0	0	2f002	1	1	;
			0	2if002	1					0	2f002	i					0	2f012	0
		@ 0		0	0 A				@ 0		0	0 A				@ 0		0	0 A

54

E4	=	0 0		0	0 1		; E5	=	0 0		2	0 1		:	(2:8)
		@	i	0	0	A			@	1	0	0	A
			0	0	0					0	0	0

Здесь и в дальнейших рассмотрениях после получения "грубых схем" для базисов обсуждаемых алгебр мы проверяем условие замкнутости этих "алгебр" относительно скобки. Во всех случаях такая проверка является чисто технической операцией, приводящей, тем не менее, к важным заключениям. В обсуждаемой ситуации так получается следующее утверждение.

ЛЕММА 2. Набор матриц (2.8) является базисом матричной алгебры лишь в случае f012 = f002 = 0. При этом базис алгебры имеет вид

E1	=	0 2i	0	0 1	; E2			=	0 2		0	0 1	; E3 =				0 0		0	1 1	; (2:9)
		0	0	1						0	0	i						0	0	0
		@ 0	0	0 A		0 0			@ 0		0	0 A		0 0 2			@ 0		0	0 A
				E4 =				0	0 1		; E5 =						0 1		:
						@	i	0	0	A				@	1	0	0	A
							0	0	0						0	0	0

Остается проинтегрировать эту алгебру. Для этого можно рассмотреть систему пяти уравнений в частных производных, соответствующих базисным полям (2.9):

@F

2y

@F

@F

@F

@F

= 2x;

+ 2x

= 2y;

= 0;

@x

@u

@y

@u

@u

y

@F

@F

@F

@F

@F

+ x

= 0;

x

+ y

+ 2u

= 2F:

@x

@y

@x

@x

@u

Легко видеть, что единственным решением F (z; z; u) этой системы уравнений, удовлетворяющим условию F (0; 0; 0) = 0, является функция

F = jzj2 = x2 + y2:

Значит, искомая поверхность, действительно, задается уравнением (2.3).

Поверхность (2.3) является исключительно "симметричной и потому ее относительно легко обнаружить. Основная сложность при описании однородных поверхностей заключается в нахождении всех остальных, не являющихся исключительными, многообразий. В рамках нашего подхода к задаче в большинстве ее частных случаев важную роль играет обращение в ноль коэффициента f002 из канонического уравнения обсуждаемых поверхностей или его отличие от нуля.

55

Так, при f002 6= 0 из (0,0,2)-уравнения основной системы можно выразить через тройку p; p; q параметр B21. Это означает, что для однородных поверхностей с ненулевым коэффициентом f002 размерность алгебры g(M) не превышает 4.

Кроме того, имеет место следующий факт.

Предложение 2.2. В пространстве C2 cуществует единственная (с точностью до аффинных преобразований) аффинно-однородная невырожденная по Леви гиперповерхность, каноническое уравнение которой имеет нулевую квадратичную часть и нулевой коэффициент f002, а именно, поверхность (2.3).

Доказательство. Во-первых, напомним, что для поверхностей с нулевой квадратичной частью в каноническом уравнении мы получили следующие формулы:

B22 = 2f002q; A2 = 2if002p 2f102q:

(2:10)

Рассмотрим теперь (0,0,2)-уравнение, т.е.

f002B21 + (f102p + f012p + 3f003q) = 0:

(2:11)

Если для некоторой однородной поверхности (с нулевой квадратичной частью) выполняется равенство f002 = 0, то из (2.11) следует, что

f102 = 0; f003 = 0:

(2:12)

Подставляя (2.12) в (2.10), получим равенства

B22 = 0; A2 = 0;

справедливые для слабо вырожденной аффинно-однородной поверхности с нулевым коэффициентом f002. Напомним, что эти же равенства под номером (1.71) обсуждались в первой главе. Теперь доказательство предложения 2.2 завершается ссылкой на предложение 1.9 из главы 1.

Вернемся к случаю f002 6= 0 для поверхностей с нулевой квадратичной частью.

Замечание. Растяжением переменных (1.28) ненулевой коэффициент f002 можно превратить в этом случае в 1.

Для описания однородных поверхностей с f002 = = 1 и 4-мерными алгебрами g(M) рассмотрим базис любой из таких алгебр. В силу (0,0,2)- компоненты основного тождества в этом случае

B21 = (f102p + f012p + 3f003q):

(2:13)

56

Поэтому свободным в 4-мерной алгебре помимо параметров p; q является вещественный параметр A12 = ImA1. Учитывая полученную выше информацию о коффициентах канонического уравнения M и вводя еще обо-

значения

s = Ref102;

t = Imf102;

= f003;

(2:14)

имеем здесь "базис" следующего вида:

0

1

E1 =

0

2i

2 s

0

1

; E2 =

2

2 t 0

;

(2:15)

@

s

2i 1

t

2 i

0

0

0 A

@ 0

0 0 A

E3 = 0

0

(2i 3 =2)

1 1; E4

= 0 0 0 0 1:

@

3 =2

2(s it)

0

i 0 0

0

0

0

0 A

@ 0 0 0 A

4

1

Cкобки [E3; E4] =

0

0

0

1

и [E1; E2] = 0

0

8i

0 2i(s

it) 0

8i 0

0

@ 0

0

0 A

@ 0

2i(s

it)A

0

0

приводят к выводу о вещественной пропорциональности чисел

и

2(s it) и о равенстве

3

8i = 4( 2i +

):

2

Следовательно, о замкнутости линейной оболочки матриц (2.15) можно

говорить лишь при выполнении необходимых условий

s = 0;

t = 0;

= 0:

(2:16)

Эти условия, как несложно убедиться, оказываются также (независимо от значения = 1) достаточными для того, чтобы получаемый из (2.15)

упрощенный набор матриц					1			0		0		1
E1 =	0	2i	0	0		; E2	=		2		0		;	(2:17)
	@	0	2i	1	A			@	0	2	i	A
		0	0	0					0	0	0

		0	0	0	0	1			0	i	0	0	1
E3	=		0	2i	1		; E4	=		0	0	0		:
		@	0	0	0	A			@	0	0	0	A

был базисом 4-мерной алгебры. Коммутационные соотношения в этих двух алгебрах имеют вид:

[E1; E2] = 4E3 + 8 E4; [E1; E3] = 2 E2; [E1; E4] = E2;

57

[E2; E3] = 2 E1; [E2; E4] = E1; [E3; E4] = 0:

Предложение 2.3. Интегральные многообразия, отвечающие 4-мер- ным алгебрам (2.10), задаются (с точностью до аффинных преобразований) уравнениями:

= 1 : jzj2 + jwj2 = 1;	(2:18)
= 1 : jzj2 jwj2 = 1:	(2:19)

В обсуждаемом случае " = 0 остается еще рассмотреть возможность существования однородных поверхностей с 3-мерными алгебрами.

В силу предыдущих обсуждений необходимым условием 3-мерности алгебры g(M) является неравенство = f002 6= 0. При этом коэффициент B21 любого векторного поля выражается через тройку свободных параметров (p; q) по известной уже формуле (2.13). А коэффициент A12, остававшийся не связанным в наших рассуждениях выше, должен в этом случае принимать некоторые фиксированные (вещественные) значения при каждой фиксации значений тройки (p; q).

Обозначим в связи с этим через значение коэффициента A12 при условии p = 1; q = 0, через - значение того же коэффициента A12 при условии p = i; q = 0, а через - значение A12 при условии p = 0; q = 1:

Тогда базис гипотетической 3-мерной алгебры, матричные элементы которого удовлетворяют выписанным выше условиям случая нулевой квадратичной части, имеет в соответствии с (2.15) вид:

E1 = 0	2i	2 s	0 1	; E2	= 0	2	2 t 0 1	;
@	( s + i ) 2i		1		@	( t + i )	2 i
	0	0	0 A			0	0 0 A

E3 =	0	0	(2i 3 =2)	1	1	:	(2:20)
	@	( 3 =2 + i )	2(s it)	0	A
		0	0	0

ЛЕММА 3. Если матрицы (2.20) образуют базис 3-мерной алгебры, то входящие в них коэффициенты s; t; равны нулю. При этом набор ( ; ; ; ) остальных параметров, входящих в (2.20), имеет один из двух следующих видов:

а) = 0; = 0; = 2 ; = 1;

б) = 1; = 2; = 4 cos '; = 4 sin ' (' 2 [0; 2 )):

Предложение 2.4. Интегральными многообразиями для алгебр (2.13), удовлетворяющих условиям а) или б) леммы 2, являются (с точностью до аффинной эквивалентности) все те же поверхности (2.18) и (2.19).

58

Доказательство предложения 2.4 можно получить, заметив, что каждая из этих алгебр является подалгеброй одной из двух 4-мерных алгебр (2.12) при = 1 соответственно.

После этого остается сослаться на предложение 1.11 первой главы.

§2.3. Поверхности трубчатого типа

Полное описание аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа приведено в теореме 2.2. Данный параграф посвящен ее доказательству.

Сначала мы обсудим некоторые простейшие утверждения, вытекающие из основной системы девяти уравнений в случае, соответствующем " = 1=2. Эти уравнения имеют вид:

Вес 0:	(0,0,0):	Re(q			i	) = 0,
					2
Вес 1:	(1,0,0):	iB1 + 2(p + p) + 2i q = 0,
Вес 2:	(2,0,0):	A1 21B21					i	B1 + (3f300p + f210p + f201q) = 0,
							2
	(1,1,0):	(2A11 B21) + B12 + (2f210p + f120p + f111q) = 0,
	(0,0,1): B22 + 2f002q + i (p p) = 0,
Вес 3:	(3,0,0):		i					1
			2	(A2	A2) +			2f201B1	+ f300(3A1 B21)+
	+(4f400p + f310p + f301q) = 0,
	(2,1,0):	3i								1
		2 (A2			A2)+f210(2A1				+A1 B21)+	2(f111B1	f201B1)+
					+(3f310p + 2f220p + f211q) = 0;
	(1,0,1):
		(A2 +A2)+f002B1 +i A1 +(2f201p+f111p+2f102q) = 0,
Вес 4:	(0,0,2):	f002B21 2 A22 + (f102p + f012p + 3f003q) = 0:

Напомним еще предложение 1.8 из предыдущей главы, утверждающее, что при " 6= 0 справедливы (выводимые из (2,0,0)- и (1,1,0)-уравнений) следующие ограничения на коэффициенты канонических уравнений.

f300 =	1	(4"f210	f120);	Ref201 = "f111:
	3

Учтем теперь, что при " = 12 коэффициент f210 канонического уравнения (1.29) обсуждаемой поверхности является чисто мнимым. Подставляя в обе выписанные формулы равенство " = 1=2, а также учитывая сопряженность друг другу чисто мнимых коэффициентов f210 и f120, получим первое утверждение о поверхностях трубчатого типа.

59

Предложение 2.5. Для коэффициентов однородной поверхности трубчатого типа выполнены равенства

f300 = f210; f111 = 2Ref201:

(2:21)

Замечание. Многочлен третьей степени

F3(0)(z; z) = f300z3 + f210z2z + f120zz2 + f030z3

из канонического уравнения (1.29) обсуждаемой поверхности можно записать в этом случае в виде

F3(0)(z; z) = f210(z3 + z2z zz2 z3) = f210(z2(z + z) (z + z)z2) = = f210(2x)(4ixy) = 8if210x2y;

где x = Rez; y = Imz.

2.3.1. Коэффициентные запреты на однородность

Из выписанной системы девяти уравнений в некоторых случаях можно выразить все элементы матрицы e через параметры p; p; q. Такая ситуация означает, что размерность алгебры линейных векторных полей на изучаемой поверхности не превосходит 3. Например, справедливо следующее утверждение.

Предложение 2.6. При выполнении условия = 1 для афинно-одно- родной поверхности M трубчатого типа размерность алгебры g(M) не превышает 3.

Док-во следует из выписанной выше основной системы. Так, при " =

1=2 и = 1 пять уравнений из девяти примут вид:
(1; 0; 0) : B1 = 2i(p + p) 2q
	1					i
(2; 0; 0) : A1 =			B21				B1 (3f300p + f210p + f201q);
		2				2
(0; 0; 1) : B22 = i(p p) + 2f002q;								(2:22)
(1; 0; 1) :	2A21 + f002B1 + iA1 + (2f201p + f111p + 2f102q) = 0;
(0; 0; 2) :	2A22 = f002B21 + (f102p + f012p + 3f003q):
Подставляя первое и второе уравнения этой системы в четвертое урав-
нение, мы получим в итоге формулу
				i
	2A21 +				B21 = Dp + Ep + rq
				2

60