Методическое пособие 247

с некоторыми (комплексными) коэффициентами D; E; r. Громоздкие точные выражения для них нам здесь не потребуются. Достаточно лишь заметить, что из вещественной и мнимой частей последнего уравнения коэффициенты A21 и B21 также выражаются линейным образом через параметры p; p; q.

С учетом третьего и пятого уравнений обсуждаемой системы все элементы матрицы e выражаются через те же параметры p; p; q. А это и означает требуемую оценку размерности для алгебры векторных полей.

Предложение 2.7. Не существует однородных поверхностей трубчатого типа (" = 1=2), удовлетворяющих условию = 1.

Предположим, что имеется некоторая вещественная аффинно-однород- ная гиперповерхность трубчатого типа, в каноническом уравнении которой коэффициент = 1. Тогда матричное представление алгебры линейных векторных полей на этой поверхности удовлетворяет ограничениям, полученным в предложении 2.6.

В частности, учитывая простейшие из уравнений системы (2.22), базис этой алгебры, отвечающий "стандартным" векторам (p; q), т.е. (1; 0), (i; 0), (0; 1), можно записать в виде

E1

=

0 4i T1

0 1

; E2

=

0 0

T2

0 1

; E3

=

0 2 T3

1 1

:

M1 N1

1

M2

N2

i

M3 N3

0

@ 0 0

0 A

@ 0

0

0 A

@ 0 0

0 A

(2:23)

Здесь в силу (0,0,1)-уравнения системы (2.22) можно еще считать, что

ImT1 = 0; ImT2 = 2:

(2:24)

ЛЕММА 4. Не существует матричной алгебры Ли с базисом (2.23).

Отметим, что доказательство этой леммы было получено при помощи пакета символьной математики MAPLE. Допуская существование такой алгебры, можно утверждать, что скобки [E1; E2]; [E1; E3]; [E2; E3] разлагаются по базису (2.23) с некоторыми вещественными коэффициентами. Однако большая система нелинейных уравнений относительно коэффициентов матриц (2.23) и гипотетических коэффициентов разложений трех скобок оказывается несоместной.

Детали рассмотрения этой системы, как и многих аналогичных систем, связанных с другими случаями однородности, мы здесь не приводим. Отметим лишь, что в 21 веке использование для таких вычислений компьютерных программ символьной математики явлется естественным. Впрочем, как в обсуждаемой в данной монографии задаче, так и во многих других

61

вопросах "чистой" математики, такое применение носит достаточно ограниченный характер.

2.3.2. Однородные поверхности, не допускающие жестких уравнений

Перейдем к рассмотрению случая = 0. Здесь, в отличие от случая= 1 выписанная система из пяти уравнений, аналогичная (2.22), имеет несколько измененный вид:

(1; 0; 0) : B1 = 2i(p + p);
	1		B21 (3f300p + f210p + f201q);
(2; 0; 0) :	A1 =
		2
(0; 0; 1) :	B22 = 2f002q;			(2:25)
(1; 0; 1) :	2A21 + f002B1 + (2f201p + f111p + 2f102q) = 0;
(0; 0; 2) :	f002B21 + (f102p + f012p + 3f003q) = 0:

Напомним, что при " = 1=2 коэффициент f210 можно считать чисто мнимым. А в случае = 0 заменой z ! z его можно перевести в состояние

f210 = it; t 0:

(2:26)

Этот коэффициент, а также f002 наиболее важны в обсуждаемом случае

" = 1=2, = 0.

Мы начнем с рассмотрения случая f002 6= 0. Ясно, что каноническое уравнение с таким свойством не является жестким. При этом условии можно разрешить (0,0,2)-уравнение системы (2.25) относительно коэффициента B21. Для удобства дальнейших выкладок отметим, что в этом случае растяжением координат

z ! sz; w ! s2w (s > 0)

коэффициент f002 можно превратить в 1, сохраняя условия " = 1=2, = 0, а также условие неотрицательности параметра t в формуле (2.26). Обозначим для краткости f002 через . Тогда (0,0,2)-уравнение можно записать в виде

B21 = (f102p + f012p + 3f003q):

62

Дополним систему (2.25) еще одним, (3,0,0)-уравнением, имеющим вид

	1	+ f300(3A1 B21) + (4f400p + f310p + f301q):
A22 =	2f201B1		(2:27)

Тогда, как легко видеть в этом случае, все коэффициенты произвольного векторного поля, касательного к поверхности M, выражаются из уравнений (2.25), (2.27) через параметры p; q этого поля. Это означает, что размерность алгебры g(M) для однородной поверхности M, удовлетворяющей ограничениям

" = 1=2; = 0; f002 = = 1;

(2:28)

может принимать только значение 3.

Предложение 2.8. Если коэффициенты канонического уравнения аф- финно-однородной поверхности M удовлетворяют ограничениям (2.28), то:

1)= 1,

2)алгебра g(M), соответствующая каноническому виду уравнения этой поверхности, имеет базис

		0	2 4it t 2i(1 + 2) 1					1		0	2t (2 + i t) i			1
E1	=		4i		4		0		; E2 =		0	0	0		;
		@	0	0	0		0	A		@	0	0	0	A
			E3 =		(2	0	i(2 + 3i t)			1	1	;		(2:29)
				@		+ i t)		(2 + i t)		0	A
						0			0	0

p

где - вещественный параметр, t = 2.

Для доказательства первой части сформулированного утверждения нам потребуются некоторые конкретные формулы, получаемые указанным выше способом и связывающие коэффициенты векторных полей на изучаемых однородных гиперповерхностях. Например, из (2.25) получаем

B1 = 2i(p + p);

B2 = B21 + iB22 = (f102p + f012p) + ( 3f003 + 2i)q;

A1 = (	1	f102	+ 3f300)p (	1	f012	+ f210)p (	3	f003	+ f201)q:
	2			2			2

Чрезмерно громоздкое выражение для коэффициента A2 = A21 + iA22 мы здесь не будем выписывать. Вместо этого обратим внимание на формулу

A21 = (f201 + i )p (	1	+ i )p f102q;
	2f111		(2:30)

63

получающуюся из (1,0,0)- и (1,0,1)-уравнений системы (2.25).

Из требования вещественности правой части этой формулы легко выводятся два условия:

a ) f102 2 R;

b ) f201 = 2i +

1

f111

:

(2:31)

2

В дополнение к (2.26) введем обозначения

f102 = r 2 R;

f003 = 2 R; f111 = 2 R:

(2:32)

Тогда

1

1

3

1

A1 = (

r + 3it)p

(

r + it)p (

+

2i )q;

2

2

2

2

B1 = 2i(p + p);

(2:33)

B2 = r(p + p) + ( 3 + 2i)q:

Теперь мы рассмотрим базисные матрицы E1; E2; E3 гипотетической алгебры g(M), отвечающие "стандартным" векторам (p; q), т.е. (1; 0), (i; 0), (0; 1). В силу формул (2.33) эти матрицы имеют вид

E1

=

0 4i T1

0 1; E2

= 0

0 T2

0 1; E3 = 0

0 T3

1 1

:

M1

N1

1

A

M2

N2

i

M3

N3

0

@

@

A

@

A

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(2:34)

или в более развернутой форме

0 0 0 0 1

E1 = 0

4i

2 r 0 1; E2 =

;

@

r 4it N1

1

2t N2

i

0

0

0 A

@ 0 0 0 A

E3 = 0

(

3

1 + 2i )

N

0

1

2

02

(

3 3+ 2i) 1

:

(2:35)

@

0

0

0

A

Далее, используя предварительные сведения (2.34) о базисных матрицах изучаемой алгебры, можно уточнять полученную информацию. Воспользуемся для этого требованием замкнутости относительно матричной скобки для линейной оболочки < E1; E2; E3 >. Например, скобка

[E1; E2] =	0	8it	4iN2		4	1	(2:36)
	@	4iN2	( r 4it)N2		2tN1 2t i r	A
		0	0		0

64

должна разлагаться по базису E1; E2; E3. Из расмотрения (1,3)- и (2,3)- элементов выписанной матрицы легко вычисляются коэффициенты такого разложения. Здесь

1 = 2t; 2 = r; 3 = 4

являются коэффициентами при E1; E2; E3 соответственно, т. что выполняется равенство

[E1; E2] 2tE1 + rE2 + 4E3 = 0:

(2:37)

Рассматривая (1,1)- и (2,2)-элементы полученного матричного равенства, приходим к системе следующих двух уравнений:

3 1

4iN2 + 2t( r + 4it) + r 2t + 4( 2 2 + 2i ) = 0;

4iN2 2t( 2 r) + 4( 3 + 2i ) = 0:

Эта система позволяет легко получить новое соотношение на параметры, входящие в базисные матрицы, а именно

8 rt + 8it2 18 2 + 16i = 0:

Отделяя здесь вещественную и мнимую части, получим

= r(4tr 9 ); t2 + 2 = 0:

Последнее равенство возможно лишь при

p

= 1; t = 2:

Тем самым, первая часть предложения 2.8 доказана. Рассмотрение всех оставшихся элементов матричного уравнения (2.37), а также аналогичных уравнений, соответствующих разложениям скобок [E1; E3] и [E2; E3] позволяет завершить доказательство предложения 2.8. Ясно, однако, что объем таких вычислений достаточно велик, и потому все необходимые выкладки мы здесь не приводим.

Отметим лишь, что процедура решения большой системы (2.37) квадратичных уравнений относительно неизвестных коэффициентов матриц оказывается сводимой к последовательному разрешению отдельных уравнений, являющихся по сути линейными относительно искомых неизвестных величин.

Для получения явных уравнений однородных поверхностей, соответствующих алгебрам (2.35), остается проинтегрировать эти алгебры.

65

Предложение 2.9. Если вещественная аффинно-однородная гиперповерхность M имеет алгебру вида (2.29), то M аффинно-эквивалентна одной (и только одной) из поверхностей однопараметрического семейства

Re(zw) = jzjeBargz; B 2 R; z 6= 0:

(2:38)

Процедура интегрирования семейства матричных алгебр (2.29), подробно описанная в статье [70], повторяет общую схему серии работ [67], [33], [31], [32], [37]:

1)сначала подбирается алгебра, подобная изучаемой, но имеющая "более удобный для интегрирования" базис;

2)затем строится вещественная система дифференциальных уравнений

вчастных производных, все уравнения которой являются расшифровками основного соотношения для базисных полей интегрируемой алгебры;

3)уравнения этой системы поочередно интегрируются с уменьшением на каждом шаге числа уравнений и числа независимых (возможно, измененных) переменных в системе;

4)на последнем шаге от системы уравнений в частных производных остается одно обыкновенное дифференциальное уравнение. Его общее решение зависит, как известно, от одного вещественного параметра. Однако, начальное условие, связанное с требованием принадлежности начала координат пространства C2 обсуждаемой однородной поверхности, позволяет восстановить ее по алгебре единственным образом.

Если при этом каноническое уравнение изучаемой поверхности из рассматриваемого класса обладает свойством единственности (например, за счет каких-либо ограничений на коэффициенты), то никакие однородные поверхности из других классов не могут быть аффинно эквивалентны именно этой поверхности, получаемой в результате интегрирования соответствующей конкретной алгебры.

Мы опускаем здесь технические детали, связанные с получением семейства поверхностей (2.38).

66

2.3.3. Аффинно-однородные жесткие поверхности,

не сводимые к трубкам

Рассмотрения предыдущего параграфа были связаны с ненулевым коэффициентом f002. Теперь мы допустим равенство нулю этого коэффициента. Тогда в каноническом уравнении обсуждаемой однородной поверхности возможны уточнения, связанные с другими коэффициентами. Например, вместо ограничения (2.26) за счет все тех же растяжений координат (1.28) можно получить более жесткое условие

f210 2 fi; 0g:

(2:39)

Рассмотрим подслучаи, связанные с двумя возможностями (2.39).

Предложение 2.10. Если коэффициенты канонического аффинного уравнения аффинно-однородной гиперповерхности M C2 удовлетворяют ограничениям

" = 1=2; = 0; f002 = 0; f210 = i;

то M аффинно экивалентна одной из поверхностей семейства

v = jzjeB arg z; B 2 R:

Для доказательства из основной системы девяти уравнений выделим пять. С учетом условий доказываемого предложения (1,0,0)-, (2,0,0)-, (0,0,1)- , (1,0,1)-, (3,0,0)-уравнения имеют вид:

(1,0,0):			iB1 + 2(p + p) = 0,
(2,0,0):			A1 21B21 + (3f300p + f210p + f201q) = 0,
(0,0,1):			B22 = 0,
(1,0,1):
			(A2 + A2) + (2f201p + f111p + 2f102q) = 0,
		i		1
(3,0,0):	2		(A2 A2)+	2f201B1+f300(3A1 B21)+(4f400p+f310p+f301q) = 0.

С учетом равенства f300 = f210 = i легко видеть, что из (2,0,0)- и (3,0,0)- уравнений выражаются через p; p; q параметры A22; B21 и A1 векторного поля. Так как B22; A21 и B1 определяются аналогично, но более прозрачным образом, это означает справедливость оценки

dim g(M) 3:

Параллельно с оценкой из этих же уравнений получается и "грубая

67

схема" для базиса изучаемой матричной алгебры

E1	=	0	(			4	4i		t	4	i	)			2		2(4y + t)						0	1	;
		@		0			0										0					1	0	A
	E2 =					( 4		0					12			2(4x				s)	0		;		(2:40)
				@				4x + s)						i( 4y + t)							i	A
								0								0					0
				E3 = 0						0			(3 2 ) 1 1:
							@	( )						i			0		A
										0					0		0

Здесь f111 = 2 R, а

f400 = x + iy; f310 = s + it; f301 = + i

- разложения на мнимые и вещественные части других вошедших в базисные матрицы коэффициентов канонического уравнения.

Рассмотрение (с использованием пакетов символьных вычислений) скобок для матриц из выписанного набора приводит к следующему техническому утверждению.

ЛЕММА 5. Набор матриц (2.40) образует базис алгебры Ли тогда и только тогда, когда

t = 0; y = 0; = 0; = 2 ; s = 2 14 2; x = 52 161 2:

При этом

	= 0			i			i 2=		1	1;
E1		(	4i	4 )			2	2	0		(2:41)
	@		0				0		0	A
E2 =	0 0 4		0 1	; E3 =			0 0			1 1	;
	4	0	i						0	0
	@ 0	0	0 A				@ 0	0		0 A

а коммутационные соотношения для базисных матриц имеют вид

2

[E1; E2] = E2 4E3; [E1; E3] = 2 E2 2 E3; [E2; E3] = E2 + 4E3:

Далее полученное 1-параметрическое семейство алгебр необходимо проинтегрировать. Для удобства перейдем к подобным алгебрам. Например,

68

при 6= 0 подобие с матрицей

S = 0	2i	4i 1=(3 ) 1
@	2i +		i=6	A
	0	0	1

превращает алгебру с базисом (2.41) в новую алгебру, базисом которой являются матрицы

E1	=	0	0	1	0	1	; E2	=	0	0	3 =4	0	1	; E3	=	0	0	0	1	1	: (2:42)
			1	0	0					i	0	0					0	0	0
		@ 0		0	0 A				@ 0		0	0 A				@ 0		0	0 A

Замечание. Образами матриц (2.41) при подобии Ek ! S 1EkS являются линейные комбинации с вещественными коэффициентами матриц (2.42)

Утверждение об интегрировании алгебр несколько более общего вида, чем (2.42), сформулируем в виде следующей леммы.

ЛЕММА 6. Интегральным многообразием алгебры с базисом

E1	=	0 0	C 0 1		; E2	=	0 0	D	0 1	; E3	=	0 0	0	1 1	; C; D R
		1	0	0			i	0	0			0	0	0
		@ 0	0	0 A			@ 0	0	0 A			@ 0	0	0 A	2

(2:43)

вблизи произвольной точки (z0; w0) 2 C2 (z0 6= 0) является либо вещественная гиперплоскость v = 0 (если Imw0 = 0), либо (с точностью до аффинных преобразований) жесткая поверхность

v = jzjCeDargz:

(2:44)

Доказательство.

Наличие в обсуждаемой алгебре поля E3 = @=@w означает, как обычно, выполнение условия @F =@u = 0 для уравнения v = F (z; z; u) искомой интегральной поверхности или ее жесткость. Функцию F (z; z), определяющую эту поверхность, можно тогда определить из системы

Re(E1( ))M = 0; Re(E2( ))M = 0:

В вещественных координатах два этих уравнения имеют вид

x	@F	+ y	@F	= CF;	y	@F	+ x	@F	= DF:	(2:45)
	@x		@y			@x		@y

69

Общее решение первого из этих уравнений имеет (при x > 0 ) вид

F = xC' xy ;

где ' - произвольная аналитическая функция одного переменного.

Подставляя эту формулу во второе уравнение системы (2.45), получим

	1 +	y		2
xC				'0 CxC 1y' = DxC'
		x

или при t = y=x

(1 + t2)'0 = (D + Ct)':

Общим решением последнего ОДУ является функция

'(t) = R(1 + t2)C=2eDarctg(t)

с произвольным вещественным множителем R.

Возвращаясь к исходным комплексным обозначениям, получим уравнение искомой поверхности в виде

v = RjzjCeargz:

(2:46)

Внося минимальные изменения в проведенные рассуждения, можно прийти к аналогичной формуле и в случае x < 0, а также при x = 0, но y 6= 0.

Остается заметить, что нулевое значение множителя R в формуле (2.46) дает в качестве искомой интегральной поверхности вещественную гиперплоскость, а деление на ненулевой множитель R переменной w приводит к уравнению (2.44). Лемма 6 доказана.

Применяя ее основное утверждение о Леви-невырожденных поверхностях к алгебре (2.42), получаем требуемое в предложении 2.10 уравнение поверхности

v = jzje( 3 =4)argz

при 6= 0.

Случай = 0 сводится аналогичными рассмотрениями к уравнению поверхности

v = jzj:

(2:47)

Случай предложения 2.10 разобран полностью.

70