Методическое пособие 247

§1.2. Аффинное каноническое уравнение невырожденной по

Леви вещественной гиперповерхности пространства C2

Напомним, что обсуждения в нашей работе носят локальный характер и связаны с аффинной однородностью изучаемых поверхностей вблизи некоторой фиксированной точки. В рамках аффинной геометрии без ограничения общности можно считать, что эта точка является началом координат пространства C2, и через нее проходят все изучаемые поверхности.

Все они предполагаются аналитическими, т.е. заданными посредством уравнений

(z; z; w; w) = 0

(1:12)

свещественнозначными аналитическими функциями .

Вформуле (1.12) z; w - комплексные координаты пространства C2; мы часто будем переходить от таких координат к их вещественным и мнимым частям

x = Re z; y = Im z; u = Re w; v = Im w:

Начало координат пространства C2 мы считаем неособой точкой любой изучаемой поверхности M.

Тогда уравнение (1.12) можно локально разрешить относительно одной из вещественных координат пространства C2 и переписать в виде

X
v = F (z; z; u) = fklmzkzlum	(1:13)

k;l;m

с некоторой аналитической функцией F .

Уточним, что в силу вещественности этой функции коэффициенты правой части уравнения (1.13) удовлетворяют условиям сопряженности

fklm = flkm при всех k; l; m 0:
Саму эту правую часть, т.е. функцию
X	fklmzkzlum
F (z; z; u) =		(1:14)
k;l;m	0

можно "улучшать" за счет аффинных преобразований пространства C2.

Мы опишем сейчас простейшие возможные упрощения и покажем, что уже на этом уровне возникают содержательные утверждения об однородности, формулируемые в терминах тейлоровских коэффициентов уравнения (1.13) или, что то же самое, функции (1.14).

21

Отметим сразу, что степенные ряды в традиционном "равновесном" виде для дальнейшего изложения менее удобны и естественны, чем предложенные в [92] весовые разложения аналитических функций. Будем считать, что переменные z; z имеют вес 1, а переменной u припишем вес 2. Веса отдельных мономов, построенных из переменных z; z; u, будем определять по естественному принципу сложения весов. Например, вес монома z2zu равен 5.

Выделяя в степенном разложении функции F (z; z; u) однородные весовые компоненты, перепишем уравнение (1.13) в виде

v = F (z; z; u) = F0 + F1(z; z; u) + F2(z; z; u):::

(1:15)

Напомним, впрочем, что сдвигом осей координат мы уже добились равенства F0 0, поэтому весовое представление уравнения (1.13) упростится до

X
v = f100z + f100z + Fk(z; z; u):	(1:16)

k 2

При этом многочлен веса 2 имеет в (1.16) вид

F2 = f110jzj2 + f200z2 + f020z2 + f001u:

Линейные по z; z; u слагаемые, имеющие веса 1 и 2, удаляются из (1.16)

заменой

z = z; w = (1 if001)w 2if100z:

Тогда уравнение обсуждаемой поверхности M примет вид

v = f110jzj2 + f200z2 + f020z2 + f101zu + f011zu + ::: ;

(1:17)

аобсуждаемая точка поверхности останется началом координат.

Сточки зрения комплексной геометрии основными в разложении (1.17)

естественно считать вещественный коэффициент f110 и эрмитову форму f110jzj2, называемую (см. [94]) формой Леви поверхности (1.13). При обращении в нуль коэффициента f110 обсуждаемая поверхность называется Леви-вырожденной (Леви-плоской) в начале координат, в противном слу-

чае - Леви-невырожденной.

И обращение, и необращение этого коэфициента в нуль являются, как известно (см. [94]), голоморфно инвариантными, а значит, и аффинно инвариантными свойствами поверхности. Эти свойства (в фиксированной точке) поверхности не зависят от того, какими именно преобразованиями (сохраняющими фиксированную точку) было получено уравнение вида (1.17).

22

Наша главная задача в этом параграфе - построить так называемое аффинное каноническое уравнение для Леви-невырожденных поверхностей. В следующих разделах монографии аналогичные канонические уравнения будут введены и для Леви-плоских (аффинно-однородных) гиперповерхностей. Причины, по которым понятие канонического уравнения вводится раздельно для двух рассматриваемых классов многообразий, будут ясны из дальнейших обсуждений.

Итак, в невырожденном случае за счет растяжения переменной z и возможного изменения знака у переменной w коэффициент f110 в уравнении (1.17) можно сделать равным единице. Это означает справедливость следующего утверждения.

Предложение 1.1. Аффинными преобразованиями уравнение любой невырожденной по Леви гиперповерхности может быть приведено вблизи любой ее точки к виду

X
v = jzj2 + f200z2 + f020z2 + Fk(z; z; u):	(1:18)

k 3

Теперь мы обратим внимание на коэффициент f200 из уравнения (1.18). Если он отличен от нуля, то его можно представить в виде

f200 = jf200jei

с некоторым значением углового параметра . Поворот переменной z на угол =2, очевидно, сохраняет вид (1.18) уравнения изучаемой поверхности, но при этом переводит коэффициент f200 на положительную полуось (f200 превращается в jf200j ). Обозначая это положительное значение через ", перепишем уравнение (1.18) в виде

X
v = jzj2 + "(z2 + z2) + Fk(z; z; u); " > 0:	(1:19)

k 3

Замечание. При нулевом значении коэффициента f200 уравнение (1.18) можно автоматически считать имеющим вид (1.19) с нулевым значением параметра " в нем.

Вуравнении (1.19) (с любым неотрицательным ") возможны дальнейшие упрощения за счет аффинных преобразований. Чтобы реализовать эти упрощения, нам потребуются следующие договоренности и обозначения.

Вразложении произвольного многочлена Fk = Fk(z; z; u) веса k из уравнения (1.15) мы будем выделять слагаемые, не содержащие перемен-

ной u. Их совокупность мы обозначим через Fk(0), а остальные слагаемые,

23

^

входящие в Fk, сгруппируем в дополнительную сумму Fk(z; z; u), так что

(0)	^
Fk = Fk	(z; z) + Fk(z; z; u):	(1:20)

^

Отметим, что каждый из мономов, составляющих Fk, содержит в виде множителя переменную u в некоторой ненулевой степени.

Рассмотрим теперь слагаемое

F3 = (f101z + f011z)u + F3(0)(z; z) =

= (f101z + f011z)u + (f300z3 + f210z2z + f120zz2 + f030z3)

из уравнения (1.19).

Здесь, в отличие от слагаемых веса 2, содержится переменная u. Ее наличие в правой части уравнения (1.19) отличает рассматриваемый случай от голоморфных канонических уравнений Мозера. Впрочем, возможно более тесное приближение к голоморфному "идеалу" на основе, например, следующего предложения.

Предложение 1.2. Если в уравнении (1.19) коэффициент " удовлетворяет ограничению 0 " 6= 1=2; то заменой

z ! z + Aw; w ! w

(1:21)

с подходящим параметром A можно удалить слагаемые (f101z + f011z)u из уравнения (1.19), сохраняя при этом его вид. Доказательство.

При замене (1.21) исходное уравнение (1.19) обсуждаемой поверхности превратится в уравнение

X

v = jz + Awj2 + " (z + Aw)2 + (z + Aw)2 + Fk(z + Aw; z + Aw; u);

k 3

(1:22)

не разрешенное относительно v. При этом в начале координат производная по переменной v правой части уравнения (1.22) равна нулю. Это означает разрешимость (1.22) относительно v.

Подставляя формальное весовое разложение

v= F (z; z; u) = F1 + F2 + F3 + :::

в(1.22), легко получить, что

F1 = 0; F2 = F2(z; z) = jzj2 + "(z2 + z2):

В компоненте веса 3 имеем здесь равенство

F3 = F3 +zA(u + iF2)+zA(u+iF2)+2"(A(u+iF2)z +A(u + iF2)z): (1:23)

24

Это означает, что изменение слагаемых (f101z + f101z)u в уравнении (1.19) описывается при замене (1.21) формулой

(f101z +				)u + u zA + zA + 2"(Az +			)
	f101z	)u = (f101z +	f101z			Az
или
		f101 = f101 + (A + 2"A):						(1:24)
Заметим, что при " 6= 1=2 отображение C ! C, определяемое формулой
					1)iIm A;			(1:25)
A ! A + 2"A = (1 + 2")Re A + (2"

является обратимым. Следовательно, при любом начальном коэффициенте f101 его новое значение после замены (1.21) можно сделать нулевым. Предложение 1.2 доказано.

Несколько сложнее выглядит ситуация с упрощением уравнения (1.19)

при

" = 1=2:

(1:26)

Замечание. Случай (1.26) важен в наших рассмотрениях по следующей причине. Пусть трубчатая гиперповерхность M = + iR2( y; v) в пространстве C2 имеет в основании аналитическую кривую = fu = f(x)g с произвольной определяющей функцией f(x). Несложно проверить, что после простейших преобразований, описанных выше, уравнение этой поверхности приводится к виду (1.19) с параметром "; равным в точности 1=2.

Предложение 1.3. Если в уравнении (1.19) коэффициент " удовлетворяет равенству (1.26), то заменой (1.21) с подходящим параметром A можно привести в чисто мнимое состояние коэффициент f101 из слагаемого (f101z + f101z)u, а также коэффициент f210 того же многочлена

F3.

Для доказательства этого предложения мы более детально рассмотрим формулу (1.23) при выполнении условия (1.26). Помимо уравнения (1.24) мы имеем здесь еще

2Re(f300z3 + f210z2z) = 2Re(f300z3 + f210z2z)+

+( izA + ziA)	jzj2 + 2	(z2	+ z2) + 2"(ziA izA)
	1

В отдельных компонентах тогда получаем

jzj2 + 2(z2		+ z2) +
1

z3

:

f

=

f

300

Im A; z2z

f

=

f

Im A:

(1

:

27)

300

:

210

210 3

25

В этом случае вещественную часть параметра A определим равенством

(1 + 2")Re A = Re f101;

гарантирующим (в силу формулы (1.24)) выполнение условия Re f101 = 0 в новых координатах.

А Im A можно задать формулой

3Im A = Re f210;

при выполнении которой получим (в силу (1.27)) второе требуемое в предложении 1.3 условие.

Замечание. В случае " = 1=2 растяжением переменных

z ! tz; w ! t2w

(1:28)

с подходящим вещественным t ненулевой чисто мнимый коэффициент f101 уравнения (1.19) можно превратить в мнимую единицу (при этом коэффициент f210 останется чисто мнимым).

Объединяя предложения 1.2 и 1.3, можно сформулировать основной результат данного параграфа.

ТЕОРЕМА 1.10. Уравнение невырожденной по Леви гиперповерхности можно привести аффинными преобразованиями к виду

v = jzj2 + "(z2 +		z2	) + i (z z)u+		(1:29)
			k+lX
+(f300z3	+ f210z2z + f120zz2 + f030z3) +				Fk(z; z; u);
			+2m 4
где			" 0; 2 f0; 1g:
					(1:30)

Если при этом 0 " 6= 1=2, то можно считать, что = 0; если же " = 1=2, то в дополнение к ограничению (1.30) на можно еще утверждать, что

Re f210 = 0:

(1:31)

Уравнение (1.29) со всеми уточняющими моментами теоремы 1.10 будем в дальнейшем называть каноническим уравнением невырожденной по Леви вещественно-аналитической гиперповерхности. В этом уравнении уже выделяются некоторые аффинные инварианты поверхности, например, важная

26

в дальнейших обсуждениях пара ("; ). Для нее справедливо следующее утверждение.

Предложение 1.4. В фиксированной точке вещественно-аналити- ческой гиперповерхности M 2 C2 неотрицательный коэффициент " из ее канонического уравнения (1.29) является аффинным инвариантом. При " = 1=2 аффинным инвариантом M является также коэффициент 2 f0; 1g.

В самом деле, фиксация точки означает возможность рассматривать вместо произвольных аффинных лишь линейные преобразования

w = B11z + B22w	(1:32)
z = A z + A w;

Потребуем сохранения вида уравнения (1.29) и, в частности, его весовой структуры при подстановке формул (1.32) в это уравнение. Для того, чтобы новое уравнение не содержало слагаемых веса 1 в своей правой части, необходимо, чтобы коэффициент B1 равнялся нулю. Коэффициент B2 должен быть вещественным ненулевым числом в силу отсутствия в весовой компоненте 2-го веса правой части уравнения (1.29) переменной u.

Теперь рассмотрим решение (относительно переменной v) неявного уравнения

B2v = (A1z+A2w)(A1z + A2w)+"((A1z+A2w)2 +(A1z + A2w)2 +:::: (1:33)

Подставляя в (1.33) формальное разложение
v = F2 + F3 + :::;	(1:34)

рассмотрим, по аналогии с доказательством предложения 1.2, отдельные весовые компоненты получающегося тождества.

Компонента веса 2 имеет здесь вид

F

2

1j

2

A2z2

2z2

B

A

z

+

"

+

A

;

2

2

= j

1j

j

(

1

1 )

так что

2

F

=

jA1j2

z

2

+ "

A12

z2 +

A1

z2:

(1:35)

B2

2

j j

B2

B2

Так как коэффициент при jzj2 в уравнении (1.29) равен 1, то

jA1j2 = 1: B2

27

Это означает, что преобразование (1.32) может быть представлено композицией двух более простых линейных преобразований '1 и '2 с матрицами

	ei 0	и		1	A	; > 0; 2 [0; 2 ); A 2 C
	0 2			0	1

соответственно.

Остается заметить, что отображение '1 переводит пару коэффициентов (f200; f101) любого уравнения вида (1.17) в пару (f200e2i; f101 ei). Рассмотренное в предложении 1.2 отображение '2 превращает аналогичную пару

в

(f200; f101 + 2ReA):

Тем самым, нулевой коэффициент " сохраняется композицией любых отображений вида '1 и '2. Сохранить такой композицией свойство положительности коэффициента f200 можно только при условии e2i = 1, означающем неизменность самого значения f200. Первая часть предложения 1.4 доказана.

В случае " = 1=2 имеются два возможных значения для коэффициента f101 = i канонического уравнения: 0 и i. При отображении '2 к исходному мнимому значению коэффициента f101 = i может добавиться ненулевая вещественная часть 2Re A. Сохранить в такой ситуации отображением '1 значение f200 = 1=2 и привести к мнимой единице или к нулю выражение (f101 + 2ReA) ei невозможно. Тем самым, нормированное значение коэффициента f101 = i также является аффинным инвариантом канонического уравнения (1.29) при условии " = 1=2. Предложение 1.4 доказано полностью.

Замечание. Уточним, что за счет растяжения координат (1.28), сохраняющего вид уравнения (1.29) при = 0, возможны дополнительные ограничения на старшие коэффициенты этого уравнения.

Дальнейшие рассмотрения невырожденых по Леви гиперповерхностей естественно распадаются на три случая в зависимости от значений параметра ": при " = 0 мы говорим о нулевой квадратичной части в уравнении поверхности (или о слабом вырождении такого многообразия); поверхности с " = 1=2 мы называем поверхностями трубчатого типа; наконец, в случае 0 < " 6= 1=2 мы говорим о поверхностях общего положения.

Общая идея приведения к каноническому виду, применяемая к классу каких-либо математических объектов часто подразумевает единственность такого канонического представления.

Построенная нами каноническая форма, как следует из приведенных

28

описаний, такой единственностью, вообще говоря, не обладает. Кроме того, в зависимости от значений некоторых коэффициентов промежуточных уравнений вид канонического уравнения невырожденной по Леви гиперповерхности в C2 может существенно изменяться.

Еще более сложными оказываются аналогичные построения в случае Леви-плоских поверхностей. Тем не менее, понятие канонического уравнения и в этом случае играет существенную роль в изучаемой задаче. По этой причине ситуация с вырожденными поверхностями будет рассмотрена ниже со "смешаной" точки зрения в отличие от "рафинированного" подхода к однородности невырожденных по Леви гиперповерхностей.

Точнее говоря, мы построим ниже канонические уравнения не для всех Леви-плоских поверхностей, а лишь для некоторых их классов. При этом нужные нам классы определяются на основе частичного использования информации об однородности изучаемых поверхностей. Для этого нам потребуется обсудить алгебры аффинных векторных полей на однородных поверхностях.

§1.3. Алгебра Ли, соответствующая однородной

гиперповерхности

Как известно, для произвольного гладкого (аналитического) многообразия совокупность гладких векторных полей на нем, рассматриваемых с операцией коммутатора полей, образует (бесконечномерную) алгебру Ли.

Взадаче описания вложенных подмногообразий, однородных относительно заданного семейства A преобразований объемлющего пространства, естественно рассматривать на таких многообразиях не произвольные векторные поля, а лишь связанные c семейством A.

Внашем исследовании основной является ситуация, в которой в объемлющем (вещественном или комплексном) пространстве действует группа аффинных преобразований. При этом некоторая ее подгруппа Ли G(M) сохраняет обсуждаемое (не обязательно однородное) многообразие. Нас интересуют в этой ситуации инфинитезимальные преобразования, соответствующие действиям однопараметрических подгрупп группы G(M). Согласно общеизвестным утверждениям (см. [17], [36]) эти преобразования образуют алгебру Ли, соответствующую группе G(M). Обозначается эта алгебра через g(M), а ее элементы естественно трактовать как аффинные векторные поля, касательные к поверхности (многобразию) M.

29

Если поверхность M предполагается локально-однородной (в фиксированной точке), то инфинитезимальные преобразования, соответствующие транзитивно действующей на M (локальной) группе G(M), позволяют смещаться вдоль поверхности M в любом касательном направлении. Отсюда следует, что значениями полей из алгебры g(M) в обсуждаемой точке накрывается вся касательная плоскость к поверхности M. Из совпадения размерностей алгебры g(M) и группы G(M) вытекает естественный вывод о том, что для аффинно-однородной гиперповерхности M n-мерного вещественного пространства справедлива оценка

dim G(M) (n 1):

(1:36)

Далее нам потребуется формализация обсуждаемой ситуации. Пусть в несколько большей общности рассматривается вещественная гиперповерхность вещественного же пространства Rn(n 2), однородная относительно некоторой подгруппы аффинной группы Aff(n; R).

Всякое аффинное преобразование пространства Rn записывается в виде

X = AX + B;

(1:37)

где A - квадратная невырожденная матрица порядка n с постоянными коэффициентами,

B - постоянный вектор-столбец,

X и X - векторы-столбцы старых и новых координат точки пространства Rn.

При обсуждении группы G(M), транзитивно действующей на гиперповерхности M пространства Rn, матрицу A из формулы (1.37) необходимо рассматривать не как константу, а как матричную функцию, зависящую от k-мерного вещественного параметра t = (t1; :::; tk); k (n 1).

Тогда, например, в случае вещественных гиперповерхностей M2 R3 развернутую запись (1.37) можно представить в виде

0 x1 1 0 a11(t)

@x2 A = @ a21(t) x3 a31(t)

a22	(t) a23		(t)	10 x2	1	+	0 b2	(t)	1	:	(1:38)
a12	(t)	a13	(t)	x1	A		b1	(t)
a32(t)		a33(t) A@ x3					@ b3(t) A

Дифференцирование преобразования (1.38) по одномерному параметру, входящему в t, приводит к аффинным векторным полям вида

Z = (A11x1 + A12x2 + A13x3 + p)				@			+
				@x1
+(A21x1	+ A22x2	+ A23x3	+ s)		@			+ ;		(1:39)
				@x2
+(A31x1	+ A32x2	+ A33x3	+ q)			@
						@x3

30