- •Часть 1
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Основные классы квадратных матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определители. Ранг матрицы
- •1.2.1. Вычисление определителей
- •1.2.2. Вычисление ранга матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная матрица
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Как изменится матрица , если совершить аналогичные преобразования со столбцами матрицы а?
- •1.4. Жорданова нормальная форма
- •1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. След матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Многочлены
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Введение в анализ
- •2.1. Метод математической индукции
- •Алгоритм метода математической индукции
- •Решение. Используем метод математической индукции.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2. Пределы последовательностей
- •Упражнение 14. Найти
- •Примеры решения задач
- •Пример 2. Пусть , . Найти .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы:
- •2.3. Предел функции. Непрерывность
- •Примеры решения задач
- •Пример 8. Доказать, что если функция непрерывна на отрезке и имеет обратную функцию, то она монотонна на этом отрезке.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению
- •Если он существует и конечен, называется правосторонней (левосторонней) производной и обозначается . Если существует производная , то будем говорить, что дифференцируема в точке .
- •Теорема 2. Если существует производная , то функция непрерывна в точке .
- •Примеры решения задач Пример 1. Пусть Подобрать коэффициенты a и b так, чтобы функция была дифференцируемой в точке .
- •Заметим, что как произведение бесконечно малой функции на ограниченную , после замены получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Показать, что функция , где – непрерывная функция и , не имеет производной в точке .
- •2. Пусть
- •3.2. Вычисление пределов функций с использованием методов дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы
- •3.3. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба
- •Важную роль при исследовании функции на выпуклость вверх (выпуклость вниз) играют точки, в которых происходит изменение направления выпуклости функции.
- •В этом разделе будут рассмотрены основные свойства выпуклых вниз (вверх) функций, заданных на отрезке .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Обратим внимание на то, что является точкой перегиба функции . Оказывается, что этот факт верен для любой дважды дифференцируемой функции.
- •Так как , то , что и требовалось доказать.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Исследование функции нескольких переменных на экстремум
- •7. Доказательство тождеств с использованием свойств дифференцирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Упражнение 14. Найти
Решение.
Более универсальный метод вычисления рассмотренных выше пределов дает применение правила Лопиталя. Еще один метод вычисления пределов последовательностей, выходящий за рамки теории последовательностей, связан с использованием интегральных сумм Римана. Оба эти метода будут рассмотрены ниже.
Примеры решения задач
Рассмотрим нестандартные приемы вычисления пределов последовательностей на конкретных примерах.
Пример 1. Вычислить , если
, для .
Решение. Заметим, что для любого справедливы равенства
Отсюда
.
Пример 2. Пусть , . Найти .
Решение. Запишем в виде
Непосредственными вычислениями проверяется, что для всех . Отсюда вытекает оценка Отсюда и из теоремы 4 получаем равенство . Это означает, что = 0.
Пример 3. Пусть – все положительные корни уравнения , расположенные в порядке возрастания. Вычислить .
Решение. Так как функция на каждом полуинтервале возрастает от 0 до , то , . Отсюда следует, что
Так как и для всех , то при . Таким образом,
Пример 4. Числовая последовательность задана соотношением . Определить, при каких значениях a и b последовательность сходится, и вычислить ее предел.
Решение. Предположим, что данная последовательность имеет предел, равный А. В этом случае
Таким образом, и
Из неравенства следует, что последовательность возрастает. Так как ее предел равен а, то для всех должно быть выполнено неравенство
Для того чтобы найти условия на , вытекающие из последнего неравенства, рассмотрим функцию и найдем решение неравенства :
Отсюда . Это означает, что члены удовлетворяют условию: для всех . В частности, Таким образом, условие является необходимым для сходимости . Покажем, что оно является и достаточным.
Итак, пусть . Используя метод математической индукции, покажем, что условие выполняется для всех . Для оно выполнено в силу равенства . Предположим, что двойное неравенство выполнено для некоторого . Покажем, что в этом случае выполняется неравенство .
С другой стороны, так как , то и
Из полученных неравенств следует, что и . Применяя метод математической индукции, получаем, что и для всех . По теореме 2 последовательность сходится и, как было доказано выше,
Таким образом,
сходится и
Пример 5. Даны три числа По этим числам строятся средние арифметические
Затем по тому же правилу строятся и т. д. Доказать, что для
Решение. Пусть попарно различные числа из множества . Тогда
Обозначим Как мы видели выше, для Покажем теперь, что сумма не зависит от номера . Действительно,
.
Обозначим
Из равенства
получаем
аналогично
Пример 6. Найти предел , где − произвольное число, – его целая часть, то есть наибольшее целое число, не превосходящее х.
Решение. Из определения целой части числа следует, что для всех . Тогда
,
,
.
Переходя к пределу при , получаем
.
Таким образом,
При рассмотрении следующего примера предполагается, что читатель знаком с основами теории рядов.
Пример 7. Найти
Решение.
= =
=
Так как ряд сходится, то его остаточный член стремится к 0, следовательно, . Второй предел равен 1 в силу соотношения . Таким образом,
Пример 8. Пусть – последовательность с ограниченным изменением, то есть существует такое, что
для всех .
Доказать, что последовательность сходится.
Решение. Рассмотрим последовательность
.
Так как возрастает и ограничена сверху константой , то последовательность сходится. Применив к ней критерий Коши, получим
,
Из неравенства треугольника следует, что
.
Таким образом,
,
то есть удовлетворяет условию критерия Коши и, значит, сходится к конечному пределу.