- •Часть 1
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Основные классы квадратных матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определители. Ранг матрицы
- •1.2.1. Вычисление определителей
- •1.2.2. Вычисление ранга матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная матрица
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Как изменится матрица , если совершить аналогичные преобразования со столбцами матрицы а?
- •1.4. Жорданова нормальная форма
- •1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. След матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Многочлены
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Введение в анализ
- •2.1. Метод математической индукции
- •Алгоритм метода математической индукции
- •Решение. Используем метод математической индукции.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2. Пределы последовательностей
- •Упражнение 14. Найти
- •Примеры решения задач
- •Пример 2. Пусть , . Найти .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы:
- •2.3. Предел функции. Непрерывность
- •Примеры решения задач
- •Пример 8. Доказать, что если функция непрерывна на отрезке и имеет обратную функцию, то она монотонна на этом отрезке.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению
- •Если он существует и конечен, называется правосторонней (левосторонней) производной и обозначается . Если существует производная , то будем говорить, что дифференцируема в точке .
- •Теорема 2. Если существует производная , то функция непрерывна в точке .
- •Примеры решения задач Пример 1. Пусть Подобрать коэффициенты a и b так, чтобы функция была дифференцируемой в точке .
- •Заметим, что как произведение бесконечно малой функции на ограниченную , после замены получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Показать, что функция , где – непрерывная функция и , не имеет производной в точке .
- •2. Пусть
- •3.2. Вычисление пределов функций с использованием методов дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы
- •3.3. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба
- •Важную роль при исследовании функции на выпуклость вверх (выпуклость вниз) играют точки, в которых происходит изменение направления выпуклости функции.
- •В этом разделе будут рассмотрены основные свойства выпуклых вниз (вверх) функций, заданных на отрезке .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Обратим внимание на то, что является точкой перегиба функции . Оказывается, что этот факт верен для любой дважды дифференцируемой функции.
- •Так как , то , что и требовалось доказать.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Исследование функции нескольких переменных на экстремум
- •7. Доказательство тождеств с использованием свойств дифференцирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Заметим, что как произведение бесконечно малой функции на ограниченную , после замены получим
.
Таким образом,
Второй способ. Вычислим :
.
Теперь по теореме о дифференцировании сложной функции
Пример 7. Пусть функция определена на интервале . Будем говорить, что является гладкой в точке , если выполнено равенство
,
а) доказать, что если имеет производную в точке , то является гладкой в этой точке;
б) доказать, что если непрерывная функция является гладкой во всех точках из , то найдется , в которой имеет производную;
в) построить функцию, гладкую во всех точках интервала и не дифференцируемую в некоторой точке этого интервала.
Решение. а) пусть существует конечный предел
.
Тогда
;
б) возьмем некоторую точку и обозначим для . Тогда для всех . В противном случае найдутся точки такие, что и . Не ограничивая общности, будем считать, что . Для каждого найдем число такое, что , что можно сделать в силу непрерывности функции и теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении. Рассмотрим функцию , непрерывную на .
Рассмотрим равенство
.
Так как и , то . Аналогично . Таким образом, непрерывная функция не является постоянной на отрезке и принимает одинаковые значения на его концах. Следовательно, по теореме Вейерштрасса, найдется точка , для которой . Тогда для любого такого, что , имеем
и
Так как и принимают значения одного знака и их сумма стремится к нулю при , то
.
Следовательно, и .
в) рассмотрим функцию
которая является гладкой во всех точках и имеет разрыв первого рода в точке . Следовательно, не имеет производной в этой точке.
Задачи для самостоятельного решения
1. Показать, что функция , где – непрерывная функция и , не имеет производной в точке .
2. Пусть
где функция имеет левостороннюю производную в точке . При каком выборе коэффициентов функция будет непрерывной (дифференцируемой) в точке ?
3. Доказать, что производная дифференцируемой периодической функции есть функция периодическая с тем же периодом.
4. Доказать, что если функция бесконечно дифференцируема в каждой точке , то функция
также является бесконечно дифференцируемой.
5. Используя определение, вычислить производные следующих функций:
а) б) в)
6. Пусть
Доказать, что бесконечно дифференцируема на .
7. Пусть . Доказать, что .
8. Пусть функция непрерывна на и для любого функция дифференцируема на . Доказать, что дифференцируема на .
Указание. Воспользоваться доказательством из примера 7.
9. Доказать, что если для функции существует вторая производная , то .
10. Рассмотрим функцию f вида
,
определенную для тех значений х, для которых это выражение имеет смысл.
1. Указать, для каких х функция f определена, непрерывна и дифференцируема, и вычислить производную функции в этих точках.
2. Показать, что (n-1)-я производная есть рациональная дробь:
и что числитель есть многочлен степени n.
11. Если функция f определена на интервале, содержащем внутри точку , и если отношение
имеет предел, когда h стремится к нулю, то этот предел называется симметрической производной функции f в точке и обозначается .
Показать, что если функция имеет в точке отдельно правую и левую производные, то она имеет в этой точке и симметрическую производную.
12. Показать, что функция f со значениями и , если , не имеет в нуле ни правой, ни левой производной, но имеет симметрическую производную.
13. Показать, что если функция возрастает и имеет симметрическую производную, то эта производная положительна.
14.Привести пример функции, непрерывной на и дифференцируемой всюду, кроме точек .
15. Доказать, что функция не дифференцируема в точке .