- •Часть 1
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Основные классы квадратных матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определители. Ранг матрицы
- •1.2.1. Вычисление определителей
- •1.2.2. Вычисление ранга матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная матрица
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Как изменится матрица , если совершить аналогичные преобразования со столбцами матрицы а?
- •1.4. Жорданова нормальная форма
- •1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. След матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Многочлены
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Введение в анализ
- •2.1. Метод математической индукции
- •Алгоритм метода математической индукции
- •Решение. Используем метод математической индукции.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2. Пределы последовательностей
- •Упражнение 14. Найти
- •Примеры решения задач
- •Пример 2. Пусть , . Найти .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы:
- •2.3. Предел функции. Непрерывность
- •Примеры решения задач
- •Пример 8. Доказать, что если функция непрерывна на отрезке и имеет обратную функцию, то она монотонна на этом отрезке.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению
- •Если он существует и конечен, называется правосторонней (левосторонней) производной и обозначается . Если существует производная , то будем говорить, что дифференцируема в точке .
- •Теорема 2. Если существует производная , то функция непрерывна в точке .
- •Примеры решения задач Пример 1. Пусть Подобрать коэффициенты a и b так, чтобы функция была дифференцируемой в точке .
- •Заметим, что как произведение бесконечно малой функции на ограниченную , после замены получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Показать, что функция , где – непрерывная функция и , не имеет производной в точке .
- •2. Пусть
- •3.2. Вычисление пределов функций с использованием методов дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы
- •3.3. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба
- •Важную роль при исследовании функции на выпуклость вверх (выпуклость вниз) играют точки, в которых происходит изменение направления выпуклости функции.
- •В этом разделе будут рассмотрены основные свойства выпуклых вниз (вверх) функций, заданных на отрезке .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Обратим внимание на то, что является точкой перегиба функции . Оказывается, что этот факт верен для любой дважды дифференцируемой функции.
- •Так как , то , что и требовалось доказать.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Исследование функции нескольких переменных на экстремум
- •7. Доказательство тождеств с использованием свойств дифференцирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Примеры решения задач
Пример 3. Доказать, что если функция непрерывна на и любые точки из этого интервала, то найдется число такое, что
и .
Решение. Не ограничивая общности, будем считать, что
.
Тогда функция
непрерывна и удовлетворяет условиям
Если одно из неравенств обращается в равенство, то можем взять где или .
Если и , то по теореме 7 найдется число между и такое, что .
Из равенства получаем
.
Пример 4. Найти
Решение.
.
Пример 5. Исследовать на непрерывность функции:
1) 2) .
Решение. 1а) если , то и . Следовательно, . Если , то и .
1б) пусть , где . Тогда и .
1в) пусть , где . Тогда и .
Таким образом, функция непрерывна на каждом множестве , и , где . Исследуем функцию на непрерывность в точках :
.
.
Следовательно,
и точки , являются точками разрыва функции . Аналогично доказывается, что функция имеет разрыв в точках . Покажем, что непрерывна в точке . Так как для всех , то для
Переходя к пределу при , получаем . Аналогично .
2) Рассмотрим следующие случаи:
а) . Тогда и для выполнено неравенство . Следовательно,
Таким образом,
Отсюда получаем, что
б) и .
в) . В этом случае и
Из а, б, в следует, что непрерывна всюду.
Пример 6. Вычислить .
Решение. Сделаем замену . Тогда при и
Пример 7. Пусть не является непрерывной на отрезке . Что можно сказать о непрерывности функций ?
Решение. Функция может быть как непрерывной, так и разрывной функцией в зависимости от выбора функции . Приведем соответствующие примеры.
1. Пусть
тогда имеет разрыв в точке , а непрерывная на функция.
2. Пусть
тогда обе функции и имеют разрыв в точке .
Пример 8. Доказать, что если функция непрерывна на отрезке и имеет обратную функцию, то она монотонна на этом отрезке.
Решение. Из существования обратной функции следует, что в разных точках отрезка принимает различные значения. Следовательно, . Будем считать, что . Если предположить, что не является монотонно возрастающей на , то найдутся точки такие, что
Рассмотрим следующие возможные случаи.
1. .
По теореме 7 части 2 на интервале найдется точка такая, что , что противоречит существованию обратной функции.
2. .
В силу сделанного предположения и, следовательно, найдется такая, что и , так как . Получили противоречие аналогично пункту 1.
3. .
Этот случай рассматривается аналогично пункту 2. Таким образом, сделанное нами предположение неверно и монотонна на .
Пример 9. Доказать, что если монотонна на и при-нимает все значения между и , то эта функция непре-рывна на .
Решение. Предположим, что монотонно возрастает на и имеет разрыв в точке .
Обозначим . Так как возрастает на , то и выполнены условия
для всех ,
для всех .
Это означает, что не принимает значений из интервала , вложенного в . Получили противоречие. Аналогично доказывается, что непрерывна в концах отрезка .
Пример 10. Функция непрерывна при и . Доказать, что ограничена на .
Решение. Предположим, что не ограничена на . Тогда найдется последовательность такая, что выполнено равенство . Так как конечен, то выбранная по-следовательность ограничена, то есть . По теореме 7 ограничена на и, следовательно, найдется такое, что . В частности, . Получили противоречие.