- •Часть I
- •Часть I
- •Введение
- •I. Элементы линейной алгебры
- •§1. Матрицы
- •Основные понятия
- •Действия над матрицами
- •§2. Определители
- •Основные понятия
- •2.2. Свойства определителей
- •§3. Невырожденные матрицы
- •Основные понятия
- •Обратная матрица
- •3.3. Ранг матрицы
- •§4. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
- •Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Системы линейных однородных уравнений
- •II. Элементы векторной алгебры
- •§5. Векторы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Проекция вектора на ось
- •5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •5.5. Действия над векторами, заданными проекциями
- •§6. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •6.1. Определение скалярного произведения
- •6.2. Свойства скалярного произведения
- •6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
- •6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
- •§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •§8. Смешанное произведение векторов
- •8.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
- •8.2. Свойства смешанного произведения
- •8.3. Выражение смешанного произведения через координаты
- •8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§9. Система координат на плоскости
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Основные приложения метода координат на плоскости
- •9.3. Преобразование системы координат
- •§10. Линии на плоскости
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Уравнения прямой на плоскости
- •10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи
- •§11. Линии второго порядка на плоскости
- •11.1. Основные понятия
- •11.2. Окружность
- •11.3. Эллипс
- •11.4. Гипербола
- •IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§12. Уравнения поверхности и линии в пространстве
- •12.1. Основные понятия
- •12.2. Уравнения плоскости в пространстве
- •12.3. Плоскость. Основные задачи
- •12.4. Уравнения прямой в пространстве
- •12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
- •12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
- •12.7. Цилиндрические поверхности
- •12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности
- •12.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •V. Введение в анализ
- •§13. Множества. Действительные числа
- •13.1. Основные понятия
- •13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел
- •13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •§14. Функции
- •14.1. Понятие функции
- •14.2. Числовые функции. График функции. Способы задания функций
- •14.3. Основные характеристики функции
- •14.4. Обратная функция
- •14.5. Сложная функция
- •14.6. Основные элементарные функции и их графики
- •§15. Последовательности
- •15.1. Числовая последовательность
- •15.2. Предел числовой последовательности
- •15.3. Предельный переход в неравенствах
- •15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число . Натуральные логарифмы
- •§16. Предел функции
- •16.1. Предел функции в точке
- •16.2. Односторонние пределы
- •16.3. Предел функции при
- •16.4. Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.)
- •§17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •17.1. Определения и основные теоремы
- •17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •17.3. Основные теоремы о пределах
- •17.4. Признаки существования пределов
- •17.5. Первый замечательный предел
- •17.6. Второй замечательный предел
- •§18. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •18.1. Сравнение бесконечно малых функций
- •18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
- •18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
- •§ 19. Непрерывность функций
- •19.1. Непрерывность функции в точке
- •19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •19.3. Точки разрыва функции и их классификация
- •19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
- •19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Часть I
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
9.2. Основные приложения метода координат на плоскости
Расстояние между двумя точками.
Требуется найти расстояние между точками и плоскости .
Искомое расстояние равно длине вектора , т. е.
.
Деление отрезка в данном отношении.
Требуется разделить отрезок , соединяющий точки и в заданном отношении , т. е. найти координаты точки отрезка такой, что (см. рис. 9.4).
Введем в рассмотрение векторы и . Точка делит отрезок в отношении , если
. (9.1)
Но , т.е. и , т.е. . Уравнение (9.1) принимает вид
.
Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем
, т.е.
(9.2)
Рис. 9.4
и
, т.е.
. (9.3)
Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в данном отношении.
В частности, при , т. е. если , то они примут вид , . В этом случае точка является серединой отрезка АВ.
Замечание. Если , то это означает, что точки и совпадают, если , то точка лежит вне отрезка — говорят, что точка делит отрезок внешним образом ( , т.к. в противном случае , т.е. , т. е. ).
Площадь треугольника.
Требуется найти площадь треугольника с вершинами , , .
Опустим из вершин , , перпендикуляры , , на ось (см. рис. 9.5).
Рис. 9.5
Очевидно, что
.
Поэтому
т. е.
,
Замечание. Если при вычислении площади треугольника получим , то это означает, что точки , , лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.
9.3. Преобразование системы координат
Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.
Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.
Параллельный перенос осей координат.
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат . Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат к новой системе , при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.
Пусть начало новой системы координат точка имеет координаты старой системе координат , т. е. . Обозначим координаты произвольной точки плоскости в системе через , а в новой системе через (см. рис. 9.6).
Рассмотрим векторы
, , .
Так как , то , т.е.
.
Следовательно,
Полученные формулы позволяют находить старые координаты и по известным новым и и наоборот.
Рис. 9.6
Поворот осей координат.
Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.
Пусть новая система получена поворотом системы на угол .
Пусть — произвольная точка плоскости, — ее координаты в старой системе и — в новой системе.
Введем две полярные системы координат с общим полюсом и полярными осями и (масштаб одинаков). Полярный радиус в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны и , где — полярный угол в новой полярной системе.
По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем
т.е.
Ho и . Поэтому .
Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты произвольной точки через новые координаты этой же точки , и наоборот.
Рис. 9.7
Если новая система координат получена из старой путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол (см. рис. 9.8), то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы
,
выражающие старые координаты и произвольной точки через ее новые координаты и .
Рис. 9.8