- •Часть I
- •Часть I
- •Введение
- •I. Элементы линейной алгебры
- •§1. Матрицы
- •Основные понятия
- •Действия над матрицами
- •§2. Определители
- •Основные понятия
- •2.2. Свойства определителей
- •§3. Невырожденные матрицы
- •Основные понятия
- •Обратная матрица
- •3.3. Ранг матрицы
- •§4. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
- •Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Системы линейных однородных уравнений
- •II. Элементы векторной алгебры
- •§5. Векторы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Проекция вектора на ось
- •5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •5.5. Действия над векторами, заданными проекциями
- •§6. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •6.1. Определение скалярного произведения
- •6.2. Свойства скалярного произведения
- •6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
- •6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
- •§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •§8. Смешанное произведение векторов
- •8.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
- •8.2. Свойства смешанного произведения
- •8.3. Выражение смешанного произведения через координаты
- •8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§9. Система координат на плоскости
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Основные приложения метода координат на плоскости
- •9.3. Преобразование системы координат
- •§10. Линии на плоскости
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Уравнения прямой на плоскости
- •10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи
- •§11. Линии второго порядка на плоскости
- •11.1. Основные понятия
- •11.2. Окружность
- •11.3. Эллипс
- •11.4. Гипербола
- •IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§12. Уравнения поверхности и линии в пространстве
- •12.1. Основные понятия
- •12.2. Уравнения плоскости в пространстве
- •12.3. Плоскость. Основные задачи
- •12.4. Уравнения прямой в пространстве
- •12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
- •12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
- •12.7. Цилиндрические поверхности
- •12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности
- •12.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •V. Введение в анализ
- •§13. Множества. Действительные числа
- •13.1. Основные понятия
- •13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел
- •13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •§14. Функции
- •14.1. Понятие функции
- •14.2. Числовые функции. График функции. Способы задания функций
- •14.3. Основные характеристики функции
- •14.4. Обратная функция
- •14.5. Сложная функция
- •14.6. Основные элементарные функции и их графики
- •§15. Последовательности
- •15.1. Числовая последовательность
- •15.2. Предел числовой последовательности
- •15.3. Предельный переход в неравенствах
- •15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число . Натуральные логарифмы
- •§16. Предел функции
- •16.1. Предел функции в точке
- •16.2. Односторонние пределы
- •16.3. Предел функции при
- •16.4. Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.)
- •§17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •17.1. Определения и основные теоремы
- •17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •17.3. Основные теоремы о пределах
- •17.4. Признаки существования пределов
- •17.5. Первый замечательный предел
- •17.6. Второй замечательный предел
- •§18. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •18.1. Сравнение бесконечно малых функций
- •18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
- •18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
- •§ 19. Непрерывность функций
- •19.1. Непрерывность функции в точке
- •19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •19.3. Точки разрыва функции и их классификация
- •19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
- •19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Часть I
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
12.7. Цилиндрические поверхности
Определение. Поверхность, образованная движением прямой , которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую , называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом кривая называется направляющей цилиндра, а прямая — его образующей (см. рис. 12.18).
Рис. 12.18
Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.
Пусть в плоскости лежит некоторая линия , уравнение которой
. (12.21)
Построим цилиндр с образующими параллельными оси и направляющей .
Теорема 12.1. Уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси , имеет вид (12.21), т. е. не содержит координаты.
Возьмем на цилиндре любую точку (см. рис. 12.19). Она лежит на какой-то образующей. Пусть — точка пересечения этой образующей с плоскостью . Следовательно, точка лежит на кривой и ее координаты удовлетворяют уравнению (12.21).
Рис. 12.19
Но точка имеет такие же абсциссу и ординату , что и точка . Следовательно, уравнению (12.21) удовлетворяют и координаты точки , так как оно не содержит . И так как — это любая точка цилиндра, то уравнение (12.21) и будет уравнением этого цилиндра.
Теперь ясно, что есть уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси , a — с образующими, параллельными оси . Название цилиндра определяется названием направляющей. Если направляющей служит эллипс
в плоскости , то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром (см. рис. 12.20).
Рис. 12.20
Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение . Уравнение определяет в пространстве параболический цилиндр (см. рис. 12.21).
Рис. 12.21
Уравнение
определяет в пространстве гиперболический цилиндр (см. рис. 12.22).
Рис. 12.23
Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат , и .
12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности
Определение. Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая лежит в плоскости . Уравнений этой кривой запишутся в виде
Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси .
Возьмем на поверхности произвольную точку (см. рис. 12.24).
Рис. 12.24
Проведем через точку плоскость, перпендикулярную оси , и обозначим точки пересечения ее с осью и кривой соответственно через и . Обозначим координаты точки через . Отрезки и являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому . Но , . Следовательно, или . Кроме того, очевидно, .
Так как точка лежит на кривой , то ее координаты удовлетворяют уравнению (12.22). Стало быть, . Исключая вспомогательные координаты и точки , приходим к уравнению
. (12.23)
Уравнение (12.23) — искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.
Как видно, уравнение (12.23) получается из (12.22) простой заменой на , координата сохраняется.
Понятно, что если кривая (12.22) вращается вокруг оси , то уравнение поверхности вращения имеет вид
;
если кривая лежит в плоскости ( ) и ее уравнение , то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси , есть .
Так, например, вращая прямую вокруг оси (см. рис. 12.25), получим поверхность вращения (ее уравнение или ). Она называется конусом второго порядка.
Рис. 12.25
Определение. Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку и пересекающими данную плоскую линию (не проходящую через ), называется конической поверхностью или конусом. При этом линия называется направляющей конуса, точка — ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.
Пусть направляющая задана уравнениями
(12.24)
а точка — вершина конуса. Найдем уравнение конуса.
Рис. 12.26
Возьмем на поверхности конуса произвольную точку (см. рис. 12.25). Образующая, проходящая через точки и , пересечет направляющую в некоторой точке . Координаты точки удовлетворяют уравнениям (12.24) направляющей:
(12.25)
Канонические уравнения образующих, проходящих через точки и имеют вид
. (12.26)
Исключая , и из уравнений (12.25) и (12.26), получим уравнение конической поверхности, связывающее текущие координаты , и .
Пример 12.3. Составить уравнение конуса с вершиной в точке, , если направляющей служит эллипс , лежащий в плоскости .
Решение. Пусть — любая точка конуса. Канонические уравнения образующих, проходящих через точки (0;0;0) и точку пересечения образующей с эллипсом будут .
Исключим , и из этих уравнений и уравнения
(12.27)
(точка лежит на эллипсе), . Имеем: , . Отсюда и . Подставляя значения и в уравнение эллипса (12.27), получим
или .
Это и есть искомое уравнение конуса.