- •Часть I
- •Часть I
- •Введение
- •I. Элементы линейной алгебры
- •§1. Матрицы
- •Основные понятия
- •Действия над матрицами
- •§2. Определители
- •Основные понятия
- •2.2. Свойства определителей
- •§3. Невырожденные матрицы
- •Основные понятия
- •Обратная матрица
- •3.3. Ранг матрицы
- •§4. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
- •Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Системы линейных однородных уравнений
- •II. Элементы векторной алгебры
- •§5. Векторы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Проекция вектора на ось
- •5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •5.5. Действия над векторами, заданными проекциями
- •§6. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •6.1. Определение скалярного произведения
- •6.2. Свойства скалярного произведения
- •6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
- •6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
- •§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •§8. Смешанное произведение векторов
- •8.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
- •8.2. Свойства смешанного произведения
- •8.3. Выражение смешанного произведения через координаты
- •8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§9. Система координат на плоскости
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Основные приложения метода координат на плоскости
- •9.3. Преобразование системы координат
- •§10. Линии на плоскости
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Уравнения прямой на плоскости
- •10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи
- •§11. Линии второго порядка на плоскости
- •11.1. Основные понятия
- •11.2. Окружность
- •11.3. Эллипс
- •11.4. Гипербола
- •IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§12. Уравнения поверхности и линии в пространстве
- •12.1. Основные понятия
- •12.2. Уравнения плоскости в пространстве
- •12.3. Плоскость. Основные задачи
- •12.4. Уравнения прямой в пространстве
- •12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
- •12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
- •12.7. Цилиндрические поверхности
- •12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности
- •12.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •V. Введение в анализ
- •§13. Множества. Действительные числа
- •13.1. Основные понятия
- •13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел
- •13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •§14. Функции
- •14.1. Понятие функции
- •14.2. Числовые функции. График функции. Способы задания функций
- •14.3. Основные характеристики функции
- •14.4. Обратная функция
- •14.5. Сложная функция
- •14.6. Основные элементарные функции и их графики
- •§15. Последовательности
- •15.1. Числовая последовательность
- •15.2. Предел числовой последовательности
- •15.3. Предельный переход в неравенствах
- •15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число . Натуральные логарифмы
- •§16. Предел функции
- •16.1. Предел функции в точке
- •16.2. Односторонние пределы
- •16.3. Предел функции при
- •16.4. Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.)
- •§17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •17.1. Определения и основные теоремы
- •17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •17.3. Основные теоремы о пределах
- •17.4. Признаки существования пределов
- •17.5. Первый замечательный предел
- •17.6. Второй замечательный предел
- •§18. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •18.1. Сравнение бесконечно малых функций
- •18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
- •18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
- •§ 19. Непрерывность функций
- •19.1. Непрерывность функции в точке
- •19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •19.3. Точки разрыва функции и их классификация
- •19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
- •19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Часть I
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
Вычисление пределов.
Для раскрытия неопределённостей вида часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, при , при . Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.
Пример 18.6. Покажем, что при .
Решение.
Пример 18.7. Найдем .
Решение. Обозначим . Тогда и при .
Поэтому
.
Следовательно, при .
Пример 18.8. Покажем, что при .
Решение. Так как
при .
Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:
при ;
;
;
;
;
;
;
;
;
, ; в частности .
Пример 18.9. Найти .
Решение. Так как , при , то
.
Пример 18.10. Найти .
Решение. Обозначим , из следует . Поэтому
.
Пример 18.11. Найти .
Решение. Так как при , то
.
Приближенные вычисления.
Если , то, отбрасывая в равенстве бесконечно малую более высокого порядка, т.е. , получим приближенное равенство .
Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул.
Приведенные формулы справедливы при малых , и они тем точнее, чем меньше .
Н апример, графики функций и в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 18.1), а кривая в окрестности точки 0 сливается с прямой (рис. 18.2). На рисунках 18.2–18.6 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.
Рис. 18.1
Рис. 18.2
Рис. 18.4
Рис. 18.5
Рис. 18.6
Пример 18.12. Найти приближенное значение для .
Решение. . Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что = 0,031498…
§ 19. Непрерывность функций
19.1. Непрерывность функции в точке
Определение. Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.
. (19.1)
Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:
1)функция определена в точке и в ее окрестности;
2)функция имеет предел при ,
3)предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство (19.1).
Так как , то равенство (19.1) можно записать в виде
. (19.2)
Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию вместо аргумента подставить его предельное значение .
Например, . В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции .
Пример 19.1. Вычислить .
Решение.
.
Отметим, что при .
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.
Определение. Пусть функция определена в некотором интервале . Возьмем произвольную точку . Для любого разность называется приращением аргумента в точке и обозначается («дельта »): . Отсюда .
Определение. Разность соответствующих значений функций называется приращением функции в точке и обозначается (или или ): или (см. рис. 19.1).
Очевидно, приращения и могут быть как положительными, так и отрицательными числами.
Рис. 19.1
Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия и одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид или
. (19.3)
Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и ее окрестности и выполняется равенство (19.3), т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.
Пример 19.2. Исследовать на непрерывность функцию .
Решение. Функция определена при всех .
Возьмем произвольную точку и найдем приращение :
.
Тогда , так как произведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф.
Согласно определению (19.3), функция непрерывна в точке .
Аналогично доказывается, что функция также непрерывна.