2. Правила построения эпюр изгибающих моментов

и поперечных сил

Рассмотрим консольную балку, на которую действует сила F

(рис. 9.5).

Рис. 9.5. Эпюры изгибающего момента и поперечной силы консольной балки

Изгибающий момент в сечении на расстоянии x от опоры , т.е. представляет собой линейную функцию от x. Графическое изображение, представляющее эпюры изгибающего момента и поперечной силы приведены на рис. 9.5. При этом при построении использовались следующие правила построения и :

1) Значения изгибающего момента и поперечной силы определяются по формулам (9.18) и (9.19) и при этом к внешним нагрузкам, действующим на балку по одну сторону сечения, относят и реакции опор.

2) Знаки изгибающего момента и поперечной силы принимаются в соответствии с рис. 9.6, при этом положительные значения и откладываются вверх от оси эпюры, а отрицательные вниз.

3) Балку делят на участки так, чтобы все внутренние точки каждого из них несли одинаковую по характеру

нагрузку, и поэтому вид функций и оставался неизменным, а сами функции непрерывными и дифференцируемыми.

Рис. 9.6. Знаки изгибающего момента и поперечной силы

4) Для контроля правильности построения и эпюр и используются дифференциальные зависимости (9.20) и (9.21)

5) Если на балку действует сосредоточенная сила, то на эпюре изгибающего момента наблюдается излом, а на эпюре поперечной силы скачок (рис. 9.7).

Рис. 9.7. Действие на балку сосредоточенной силы

Эти правила используются далее при построении эпюр изгибающих моментов и поперечной силы и при анализе сложных деформаций.

2. Напряжения при поперечном изгибе. Расчеты

на прочность

При поперечном изгибе балки в ее сечениях под действием внешних нагрузок возникают нормальные и касательные напряжения , которые создают сложное напряженное состояние. Нормальные напряжения определяются на основании теории чистого изгиба в соответствии с выражениями (8.18) и (8.19). Эпюры этих напряжений для балки круглого сечения приведены на рис. 9.5 а. Максимальные нормальные напряжения возникают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нейтрального слоя.

,

где - изгибающий момент в рассматриваемом сечении балки, - осевой момент сопротивления сечения.

Касательные напряжения действуют в плоскости поперечного сечения балки, их равнодействующая представляет поперечную силу равную . При исследовании простых сечений было установлено, что касательные напряжения изменяются по высоте сечения по параболической зависимости и эпюры этих напряжений приведены на рис. 9.8 б. В точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нейтрального слоя, касательные напряжения равны нулю. В точках, лежащих у нейтрального слоя они достигают наибольшего значения. Для круглого сечения величина максимальных касательных напряжений равна , для прямоугольного сечения .

Рис. 9.8. Напряжения при поперечном изгибе

При этом Q - это поперечная сила, а A - площадь поперечного сечения. В общем случае нормальные и касательные напряжения создают в определенной точке сечения сложное напряженное состояние, которое может быть опасным по условию прочности балки. Для простых сечений касательные напряжения незначительны по сравнению с нормальными и их можно не учитывать. Поэтому балки простых поперечных сечений можно рассчитывать только по нормальным напряжениям, а условие прочности принимает вид

(9.22)

где -допускаемое напряжение при деформации изгиба, значение которого можно принять , считая что представляет допускаемое напряжение при растяжении, определяемое из диаграммы растяжения образца.