5.5. Представление чисел в формате с плавающей точкой

В ЭВМ вещественные десятичные числа представляются в формате с плавающей точкой. При этом используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления: N=M*2^p, где M – двоичная мантисса, а р – порядок. При записи число представляют в нормализованном виде, выделив порядок и мантиссу числа. Обычно результат нормализации представляется в виде правильной дроби, т.е. с единицей после двоичной точки и нулем в целой части числа. Однако, в IBM PC нормализованная мантисса содержит старший бит слева от двоичной точки, т.е. записывается в нормализованном виде 1.n₁n₂…, где n₁n₂…- дробная часть числа. Целая часть, всегда равная единице, прямо не представляется в некоторых форматах чисел, а учитывается неявно (представляет скрытый разряд). Следовательно, мантисса должна иметь значения в интервале [1, 2). Ее первая цифра отлична от нуля (равна единице): (1М<2). Нормализованная мантисса представлена в памяти ЭВМ в прямом коде. Старший бит мантиссы, всегда равный 1, обычно в мантиссу не записывается и является скрытым разрядом. Скрытый разряд участвует в арифметических операциях.

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, но все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, которые имеют структуру следующего вида:

Старший бит во всех форматах с плавающей точкой является знаковым и несет знак числа: 0 означает положительное число, 1 – отрицательное. Число бит для хранения мантиссы и порядка зависит от типа вещественного числа. Порядок представляется в смещенной форме: если для задания порядка выделено k двоичных разрядов, то к истинному значению порядка, прибавляют смещение, равное (2^k-1-1). Однако, IBM для вещественных чисел типа REAL использует смещение равное (2^k-1 +1).

Стандартные форматы представления вещественных чисел IBM (single, real, double, extended) представлены в табл. 5.1.

Форматы чисел Табл. 5.1.

Тип	Размер в байтах	Число разрядов порядка	Смещение порядка	Число разрядов мантиссы	Первая единица мантиссы
single	4	8	7Fh (127)	23	скрытая
real	6	8	81h (129)	39	скрытая
double	8	11	3FFh (1023)	52	скрытая
extended	10	15	3FFFh (16383)	64	явная

Для представления чисел в формате с плавающей точкой используется несколько последовательных ячеек памяти, которые образуют 32, 48, 64 или 80-разрядное двоичное слово. Так число типа single занимает 32 бита (четыре байта): 23 бита отводится под мантиссу, 8 бит – под порядок и один бит отводится под знак числа (рис.5.6.). Мантисса имеет 24 разряда с учетом скрытого.

байт	7 старший 0		7 6 0		7 0	7 0
бит	31	30…24 23		22 0
содержимое	знак	порядок		мантисса

Рис.5.6. Формат числа типа single.

Напомним, что в семействе *86 слова записываются в смежных байтах памяти, начиная с младшего. Адресом числа является адрес его младшего байта.

Так при последовательном выводе числа типа single из памяти, начиная с младшего байта (адреса числа), получим содержимое байтов

байт	7 младший 0	7 0	7 0	7 старший 0
бит числа	7 ……….. 0	15 ….. 8	23 22 ….. 16	31 30 ….. 24
содержимое	м …… … м	м …… . .м	р м ………. м	Зн р ………р
Степень разряда	-16 ………–23	-8 ……. –15	0 -1 …… .. –7	7 ………1

где: Зн – знаковый разряд, р – смещенный порядок числа, м – нормализованная мантисса.

Формат машинного представления данных типа REAL в IBM PC имеет вид

байт	7 … 0 младший	7 … 0	7 … … 0	7 ….. 0	7 … 0	7 … 0 старший
бит числа	7 ….. 0	15 ……8	23 … 16	31 … 24	39 … 32	47 46 …. 40
содержимое	p …… р	м … м	м … м	м … . .м	м …. м	Зн м…… м
степень разряда	7 … 0	-32 … -39	-24 … -31	-16… –23	-8 ... –15	-1 … -7

Для уточнения внутреннего представления данных сложной структуры необходимо обращаться к технической документации на ЭВМ и программному обеспечению.